专题09 多边形内角和问题（4题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题09 多边形内角和问题 1多边形的内角和 n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°  2多边形的外角和 n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。 3 有关角的模型 【模型1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【模型2 A字模型】 【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A 【模型3 双内角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 【模型4 内外角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线. 【结论】∠A=∠P. 【模型5 双外角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 【模型6 8字模型】 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【模型7 燕尾模型】 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 【模型8 筝型】 【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P 【模型9折角模型】 【模型10 双垂倒角模型】 压轴题型一：多算或少算一个角问题 √满分技法 根据题意先得出这个多加的内角为x，然后再根据多边形内角和定理可得出：（n-2）×180＝新的角度-x，求出n即可得出答案． 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 3．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 4．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 压轴题型二：多边形截角后内角和问题 √满分技法 n边形去掉一个角后变为n-1,n,n＋1边形。 5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（    ） A． B． C． D．或或 8．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为360°，那么原多边形的边数为（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 压轴题型三：复杂图形的内角和问题 √满分技法 涉及较为复杂的图形时，一般可构造8字型，转化角的关系即可。 9．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 10．定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 11．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 12．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置， （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③探索 、与之间的数量关系，并说明理由； （2）直接按照所得结论，填空： ①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ； ②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ； ③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ； （3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由. 压轴题型四：内角和与外角和的综合问题 13．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 14．小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 15．已如在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，点、在轴上且关于轴对称．       （1）求点的坐标； （2）动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴正方向向终点运动，设运动时间为秒，点到直线的距离的长为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，当点到的距离为时，连接，作的平分线分别交、于点、，求的长． 1．某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形． 2．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 4．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 5．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 6．如图1，，是直线上的一点，且，是直线上的一动点，是的中点，直线且与交于点，设，． （1）在图2中，当时，______；在图3中，当时，______； （2）研究及明：与之间关系的图象如图4所示（不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当时，______． （3）探究：当______时，点与点重合，并在答题卡上画出此时图形． （4）探究：当时，求与之间的关系式______． 7．（1）一个多边形的外角和是其内角和的，求这个多边形的边数． （2）小马和小虎两人在计算时，由于小马抄错了a的符号，得到结果，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 多边形内角和问题 1多边形的内角和 n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°  2多边形的外角和 n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。 3 有关角的模型 【模型1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【模型2 A字模型】 【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A 【模型3 双内角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 【模型4 内外角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线. 【结论】∠A=∠P. 【模型5 双外角平分线模型】 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 【模型6 8字模型】 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【模型7 燕尾模型】 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 【模型8 筝型】 【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P 【模型9折角模型】 【模型10 双垂倒角模型】 压轴题型一：多算或少算一个角问题 √满分技法 根据题意先得出这个多加的内角为x，然后再根据多边形内角和定理可得出：（n-2）×180＝新的角度-x，求出n即可得出答案． 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 2．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 3．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 4．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 【答案】B 【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解． 【详解】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n， 则(n-2)×180+x=1500， (n-2)×180=8×180+60-x， ∵n-2为正整数， ∴60-x能被180整除， 又∵x＞0， ∴60-x=0， ∴(n-2)×180=8×180， ∴n=10， 故选B 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键． 压轴题型二：多边形截角后内角和问题 √满分技法 n边形去掉一个角后变为n-1,n,n＋1边形。 5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 6．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 7．一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；然后分别求出每一种情况下的多边形的内角和． 【详解】解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变； ①四边形的内角和为：360°； ②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°； ③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°； 故选D． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况． 8．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为360°，那么原多边形的边数为（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】首先求得内角和为360°的多边形的边数，再分类解答即可． 【详解】解：内角和为360°的多边形是四边形， 如图，剪切后的图形有三种情况： 不经过顶点剪切，则比原来的边数多1； 只过一个顶点剪切，则和原来边数相等； 按照顶点连线剪切，则比原来边数少1； 综上，原多边形的边数为3或4或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，全面分类、熟知多边形的内角和公式是解题的关键． 压轴题型三：复杂图形的内角和问题 √满分技法 涉及较为复杂的图形时，一般可构造8字型，转化角的关系即可。 9．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 10．定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定： （1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF． ①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数． ②求证：AB∥EF． ③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质． （2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论． （3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？ 【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135° 【分析】（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论； ②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明； ③根据题目提供的信息，总结出结论即可； （2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论； （3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°. 【详解】（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540° ∵∠A=∠H=∠G= ∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135° 即∠ABF＋∠GFB＝135°． ②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥EF． ③等角八边形的每一组正对边平行． （2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF， ∵AB＝EF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AF＝BE，AF∥BE， 又∵BC∥FG， ∴∠AFG＝∠EBC， 又∵BC＝FG， ∴△AFG≌△EBC， ∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB， ∵∠HGF＝∠BCD＝135°， ∴∠AGH＝∠ECD， 又∵∠H＝∠D＝135°， ∴△AGH≌△ECD， ∴CD＝GH，DE＝HA． （3）结论：至少需要已知5个内角为135°． ①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°， 如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形； ②若5个内角等于135°： ∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H． ∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和为（n-2）×180°；是解题的关键. 11．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 12．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置， （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③探索 、与之间的数量关系，并说明理由； （2）直接按照所得结论，填空： ①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ； ②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ； ③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ； （3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3） 【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可； ②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出84°； ③由邻补角定义可知，从而，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合，可求出； （2）① 由（1）得2∠C，2∠B，2∠A，从而2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；   ②由①可知， 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;      ③由①可知， ； （3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得. 【详解】解：（1）①∵， ∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°， ∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°, ∴∠C= 180°-80°-65°=35°；       ②∵， ∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°, ∴∠CEC′+∠CDC′=276°， ∴360°-276°=84°；   ③，       因为，， 所以，   因为在四边形中，， 所以，   因为， 所以.       （2）① 由①得 2∠C，2∠B，2∠A， ∴2(∠A+∠B +∠C)=360°;   ②∵2∠C，2∠B，2∠A，2∠D， ∴ 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;      ③∵n边形内角和是， ∴ ；    （3）. ∵∠2=∠3+∠C， ∠3=∠1+∠=∠1+∠C， ∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C， ∴. 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键. 压轴题型四：内角和与外角和的综合问题 13．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 14．小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 15．已如在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可； （2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论； （3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算． 【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°， ∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠NDC=180°-110°=70°； （2）DE∥BF，如图，连接BD， ∵∠ABC+∠ADC=180°， 且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°， ∴∠MBC+∠CDN=180°， ∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°， ∴DE∥BF； （3）∵∠MBC+∠CDN=180°， ∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°， 连接PC并延长， ∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP， ∴∠DPB=90°-36°=54°． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，点、在轴上且关于轴对称．       （1）求点的坐标； （2）动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴正方向向终点运动，设运动时间为秒，点到直线的距离的长为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，当点到的距离为时，连接，作的平分线分别交、于点、，求的长． 【答案】（1）C（4，0）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据对称的性质知为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案； （2）利用面积法可求得，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得，利用角平分线的性质证得，求得，利用面积法求得，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案． 【详解】（1）∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点C的坐标为：； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）∵点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 延长交于点，过点作轴于点，连接、， ∵为的角平分线，为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键． 1．某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形． 【答案】这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18． 【分析】n边形的内角和是（n−2）•180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数． 【详解】解：设少加的内角为x度，边数为n． 则（n−2）×180＝2750＋x， 即（n−2）×180＝15×180＋50＋x， 因此x＝130，n＝18． 答：这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 2．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 4．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 5．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 6．如图1，，是直线上的一点，且，是直线上的一动点，是的中点，直线且与交于点，设，． （1）在图2中，当时，______；在图3中，当时，______； （2）研究及明：与之间关系的图象如图4所示（不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当时，______． （3）探究：当______时，点与点重合，并在答题卡上画出此时图形． （4）探究：当时，求与之间的关系式______． 【答案】（1）102°，40°；（2）10或170；（3）15或105，见解析；（4） 【分析】（1）当x=12时，根据三角形外角的性质即可得∠MNE；当x=50时，根据直角三角形两锐角互余可得∠MNE； （2）观察图象，可直接得出结论； （3）分两种情况：①P在E的左侧，②P在E的右侧，根据平行线的性质和垂直平分线的性质可得结论； （4）根据三角形外角和为360°列式可得结论． 【详解】（1）如图2， ∵AB∥CD， ∴∠BAP=∠APN=x° ∵MN⊥AP ∴∠PMN=90° ∴∠MNE=∠PMN＋∠APN=90°＋x° 当x=12时，∠MNE=90°＋12°=102° 即y=102． 如图3，当x=50时，∠APN=50°， ∴y=∠MNE=90°－x°=90°－50°=40° 故答案为102，40． （2）如图2，当0<x<30时，y=90＋x 此时，y=100，90＋x=100，x=10 由图4可知，y=100时，还有x=170 ∴当y=100时，x=10或170 故答案为10或170． （3）①P在E的左侧时，当N与E重合时，如图5，∠BAE=∠AEP=30°， ∵MN是AP的垂直平分线 ∴AE=PE ∴∠AEM=∠PEM=15° ∴∠EAP=90°－15°=75° ∴∠BAP=x°=30°＋75°=105° ②P在E的右侧时，当N与E重合时，如图6 ∵AB∥CD ∴∠BAP=∠APE=x° 同理可得AE=PE ∴∠EAM=∠EPM=x° ∵∠BAE=30° ∴∠BAP=x°=∠EAP=∠BAE=15° 综上所述，当x=15或105时，点N与点E重合． 故答案为15或105 （4）当x>105时，如图7 ∵AB∥CD ∴∠APC=∠BAP=x° ∵∠APC＋∠MNE＋∠AMN=360°，∠AMN=90° ∴∠APC＋∠MNE=360°－90°=270° ∴∠MNE=270°－∠APC=270°－∠BAP 即y=270－x． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质、垂直平分线的性质、三角形外角定理，属于动点问题的函数图像，利用分类讨论、数形结合思想是解决本题的关键． 7．（1）一个多边形的外角和是其内角和的，求这个多边形的边数． （2）小马和小虎两人在计算时，由于小马抄错了a的符号，得到结果，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是，求的值． 【答案】（1）9；（2）４ 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，多项式乘以多项式，解二元一次方程组 ： （1）根据n边形内角和为，外角和为360度列出方程求解即可； （2）根据甲的计算结果可得，则可得到，；根据乙的计算结果可得，则可得到，，据此得到方程组 ，解之即可得到答案. 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， 依题意得：，     解得． 答：这个多边形的边数为9．                     （2）解：小马的计算结果为：， ∴，；                     小虎的计算结果为：． ∴，，                         联立， 解得，                                     ∴原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$