专题11 （特殊）平行四边形中动点和面积问题（2题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题11 （特殊）平行四边形中动点和面积问题 1.平行四边形的判定方法 (1)几种平行四边形的判定方法的推理过程基本相同，都是由已知条件证明两个三角形全等，然后由全等三角形的对应边相等，对应角相等来证明结论。 (2)平行四边形的这些判定方法既可以作为判定平行四边形的依据，也可以作为“画平行四边形”的依据，同时也是后面证明几种特殊平行四边形的基础.当几种方法都能判定一个四边形是平行四边形时，应选择较为简单的方法。 (3)平行四边形的性质的题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们是互逆的关系。 2.矩形的判定 (1)矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ②有三个角是直角的四边形是矩形。 ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）。 (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等 ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形。 3.菱形的判定： 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 4.正方形的判定方法 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 压轴题型一：动点问题 √满分技法 先把各个线段用时间t表示出来，根据题目分析属于哪一类四边形的判定，根据判定方法列方程即可。 1．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 2．如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系； (3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由． 4．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 5．如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)求的长． (2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． (3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 6．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 7．如图，为坐标原点，四边形为矩形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当________时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)在点运动的过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值． 8．如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． (1)请直接写出直线的函数表达式； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 10．如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 压轴题型二：利用对称性求阴影部分面积问题 11．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 12．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 13．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 14．已知：在四边形中，，，，． （）求四边形的面积． （）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长． （）点是线段上的动点，、为边上的点，，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值． 15．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 1．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 2．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 3．如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 4．如图1，将矩形放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E．    (1)求点E坐标． (2)如图2，过点D作，交于点G，交于点H，连接， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出四边形的面积． (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图所示，在，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间t秒，过点D作于点F，连接、．    (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由． 6．漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、    (1)当　 　cm时，点P到达点B； (2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系； (3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 （特殊）平行四边形中动点和面积问题 1.平行四边形的判定方法 (1)几种平行四边形的判定方法的推理过程基本相同，都是由已知条件证明两个三角形全等，然后由全等三角形的对应边相等，对应角相等来证明结论。 (2)平行四边形的这些判定方法既可以作为判定平行四边形的依据，也可以作为“画平行四边形”的依据，同时也是后面证明几种特殊平行四边形的基础.当几种方法都能判定一个四边形是平行四边形时，应选择较为简单的方法。 (3)平行四边形的性质的题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们是互逆的关系。 2.矩形的判定 (1)矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ②有三个角是直角的四边形是矩形。 ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）。 (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等 ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形。 3.菱形的判定： 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 4.正方形的判定方法 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 压轴题型一：动点问题 √满分技法 先把各个线段用时间t表示出来，根据题目分析属于哪一类四边形的判定，根据判定方法列方程即可。 1．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 2．如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为． (1)__________； (2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值． 【答案】(1)3． (2)当时，；当时，． (3)． 【分析】（1）过点A作，垂足为，可得四边形是矩形，先求出，再在中求出即可求解； （2）分点在、上两种情况由三角形面积公式即可求解； （3）过点P作，垂足为，可得四边形是矩形，再在中，，由此列方程求解即可. 【详解】（1）解：如解图1，过点A作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：3． （2）解：如解图2，当时，，， ∵，即， ∴点P在上，此时， 当时，如解图3， 点P在上，，， 此时， 综上所述：； （3）解：如解图4．过点P作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，（不合题意舍去）． ∴当点在线段上运动，且点之间的距离为时，此时． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，函数解析式、一元二次方程的应用，灵活运用分类思想是解题的关键 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系； (3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析； (2) (3)可能，． 【分析】（1）由矩形的性质可得出，再得出，即可得出四边形是平行四边形． （2）得出，再根据四边形的面积代入求解即可． （3）由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，再根据代入求出t值即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴， ∵点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴； （3）解：四边形可能为菱形． ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，勾股定理等知识，利用t值表示出各边是解题的关键 4．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【详解】（1）四边形能够成为菱形，理由如下： ∵中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； （2）四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 5．如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)求的长． (2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． (3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)的值为或或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据菱形的性质，证明是等边三角形，即可求出的长． （2）由题意可知，动点运动的路程为，动点运动的路程为，从而得出点与点重合，点是中点，再结合等边三角形三线合一的性质，即可求解； （3）由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为，则，，分两种情况讨论：①当点运动到点，且点在上时；②当点运动到点，且点在上时，利用含30度角的直角三角形的特征分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由题意可知，动点运动的速度为，动点运动的速度为，运动时间为12秒， 动点运动的路程为，动点运动的路程为， 动点从点出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到达点，即点与点重合， 动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到点的距离为，动点到达中点，即点是中点， 是等边三角形，点是中点， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 由题意可知，动点的速度为，动点的速度为， 秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为， 从沿原路返回， ， ， ①如图，当点运动到点，且点在上时，则， ， 为直角三角形，，不能为， ，， ，即， 解得：； ②当点运动到点，且点在上时，则， 为直角三角形， 若，如图， ， ， ，即， 解得：； 若，如图，此时， ， ， ， ， ， 综上可知，若为直角三角形，的值为或或． 6．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键． （1）在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案； （2）在四边形中，，当时，四边形是平行四边形，列方程解方程即可； （3）由四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中求解的答案，分析看此时能否为菱形，求出，即可得到不可能为菱形． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴当时，四边形是矩形， ∴解得 ∴当时，四边形是矩形； （2）当时，四边形是平行四边形， ∴解得：， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）得， ∴． 过点D作于点R， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∴四边形P不可能是菱形． 7．如图，为坐标原点，四边形为矩形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当________时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)在点运动的过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值． 【答案】(1)6 (2)存在，点的坐标为或 (3)四边形的周长最小为 【分析】（1）若四边形是平行四边形，则，即，即可求解； （2）若四边形是菱形，则，即，解得或2，进而求解； （3）作点关于直线的对称点，将点向左平移5个单位得到点，连接，交于点，点向右5个单位得到点，此时，四边形的周长最小，进而求解． 【详解】（1）由题意得：，则， 四边形是平行四边形， ，即，解得， 故答案为6； （2）如图1，连接，过点作于点， 则，， ， 四边形是菱形， ， 即，解得或2， 故点的坐标为或， 当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置， 即点； 当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置， 即点， 故点的坐标为或； （3）作点关于直线的对称点，将点向左平移5个单位得到点， 连接，交于点，点向右5个单位得到点，此时，四边形的周长最小， 理由：四边形的周长 为最小， 由点的坐标得，， 则四边形的周长最小为． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、点的对称性等，其中（3），用点的对称性确定四边形周长最小值的方法，是本题的难点． 8．如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可； （2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解； （3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可； （4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线与之间的距离是， ∵，平行四边形的面积为， ∴， ∴，即直线与之间的距离是， （2）过点作于，如图所示： ∵直线与之间的距离是， ∴， ∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动， ∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，， ∴四边形的面积 ∴； （3）过点作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得，不符合题意． ∴当PQ⊥BC时，t的值为或； （4）∵平行四边形的面积为， ∴当平分平行四边形的面积时，， 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得． 综上所述，当平分平行四边形的面积时或或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． (1)请直接写出直线的函数表达式； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）根据点A，E的坐标，利用待定系数法即可求出的函数表达式； （2）两组对边平行的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，再证，可知四边形是菱形； （3）①时，点F在线段上，求出，边上的高即可求出的面积S；分点F在线段上和在线段上两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，， ，， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为， 点C为射线上一点， 直线的函数表达式为； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 轴， ， 又， 四边形是平行四边形； 如图，设与y轴交于点D， 点C为射线上一点且纵坐标为8， ， 将代入，得， 解得， ， ， ， 四边形是菱形； （3）解：①由（2）知四边形是菱形， ， 点A以每秒2个单位的速度匀速运动， 时，点F在线段上，， ， ，， 中边上的高， 的面积； ②的面积为9，点F在线段上时， 由①中结论得， 解得，符合要求； 的面积为9，点F在线段上时， 由题意知， 如图，作于点， 则， 又， ， 解得， 的面积， 解得， 综上可知，的面积为9时t的值为2或． 【点睛】本题考查特殊平行四边形上的动点问题，涉及待定系数法求一次函数解析式，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 10．如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为．假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为，点在上，．记三角形的面积为，三角形的面积为．设出发时间为： (1)两人同时运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度： ______m；______m；______m；______m； (2)他们出发多少秒后？ (3)是否存在这样的时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；；； (2)秒 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，由题意得，，，； （2）由三角形面积得出，解方程即可； （3）由题意得方程，解得 （不符合，舍去）． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由题意得：，，，， 故答案为：；；；； （2），， ， ， 则， 即：， 解得：， 他们出发秒后； （3）不存在，理由如下： 由题意得：， 解得： （不符合，舍去）； 不存在这样的时刻，使得． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，求出三角形面积是解题的关键． 压轴题型二：利用对称性求阴影部分面积问题 11．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是；不是；（2）是，理由详见解析；（2）81608 【分析】（1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用平方差公式计算，即可得到；两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3）利用阴影部分面积为，进而求得答案即可． 【详解】解：（1）∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； （2）结论：两个连续奇数构造的奇特数是的倍数 理由：∵ ∴两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3） 【点睛】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式：，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． 12．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）证，得出即可； （2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 13．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 14．已知：在四边形中，，，，． （）求四边形的面积． （）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长． （）点是线段上的动点，、为边上的点，，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值． 【答案】（）．（）．3．（）． 【详解】试题分析：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四边形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，连接CG交AD于P，则BC+PB+PC=BC+PG+PC即为△BCP周长的最小值，根据勾股定理得到，于是得到△BCP周长的最小值为：4+12；根据三角形中位线的性质得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到结论． （3）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图所示，设，则．因为，所以∽，得；同理可得∽，∽，得：，，所以，进而求得答案. 试题解析：（）如图1，过作于，于． 则四边形是矩形． ∴，． ∴． ∴． （）如图2，作点关于直线的对称点， 连接交于，则． 即为的最小周长． 由（）知． 在中，． ∴的． ∵，， ∴． ∵， ∴． （）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图3所示，设，则． 因为，所以∽， 所以，又，所以； 同理可得∽，∽， 所以，， 求得：，，其中， 所以， 即 ． 因此当时，有最大值；当或时，有最小值了． 15．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 1．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用， 对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案； 对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案； 对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可． 【详解】（1）∵四边形时菱形， ∴． 根据题意可知， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 无解； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 2．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能； (3)或4；理由见解析 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； （2）根据含有角的直角三角形的性质及菱形的性质解答即可； （3）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的性质即可解答． 本题考查了含有角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，斜边的中线等于斜边的一半，菱形的性质，掌握含有角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：设点运动的时间是秒（）， ∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， ∴， ∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形；理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为平行四边形， ∴若使为菱形，则需， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形，理由如下： 根据题意，分三种情况讨论： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， 解得； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 3．如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)出发秒时，间的距离是 (3)时，四边形的形状可能为矩形 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，根据题意表示出是解题的关键． （1）依题意得：，，根据，即可得出答案； （2）作于，则根据两点间的距离是，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）当四边形为矩形，则，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：，， ∵矩形中，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是． 依题意， 如图，作于，则 四边形是矩形， ∴， 则， 在中， 即：， 解得或， ∵t的最大值是（秒）， ∴, 答：出发秒时，间的距离是； （3）当时，四边形的形状为矩形； 理由：若四边形为矩形，则， 即，解得：． 4．如图1，将矩形放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E．    (1)求点E坐标． (2)如图2，过点D作，交于点G，交于点H，连接， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出四边形的面积． (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)菱形； (3), )， ， ， 【分析】（1）证明，时，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）四边形是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；在中根据等面积法，算出，再根据勾股定理算出，根据菱形面积计算公式即可解答； （3）有5种情形，画出图形分别求解即可； 【详解】（1）x的一元二次方程的两个根是：4和8， ∵四边形是矩形， 由翻折可知，， 设则 在中， ∵， （2）①四边形是菱形；    ， 由翻折的性质可知，，， ， 四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②由题意可得：， 由（1）可得：， ， 在中，可得：， ， ， 四边形是菱形， ； （3）当点与重合，点与重合，四边形是平行四边形，    ∴， 当四边形是平行四边形时，, )； 当四边形是平行四边形时，和点C重合，， ； 当四边形是平行四边形时，点与点A重合，中点坐标为：， 故根据中点坐标公式可得：， 解得：， 故； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，解得：， 将代入直线解析式可得直线解析式为：， 点N是直线上一点，将代入解得：， 故； 综上所述，满足条件的点的坐标为 , )， ， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 5．如图所示，在，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间t秒，过点D作于点F，连接、．    (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形为菱形． 【分析】（1）利用已知用未知数表示出，的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ． 又， ； （2）四边形能够成为菱形． 理由如下：，， ． 又， 四边形为平行四边形． ∵，，，， ∴，， ∴，， ． 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质以及勾股定理的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 6．漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、    (1)当　 　cm时，点P到达点B； (2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系； (3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由． 【答案】(1)4 (2)且 (3)与的数量关系不发生改变，理由见解析 【分析】（1）用路程除以速度即可得到答案； （2）由四边形是正方形，得，，而点P，点Q以同样的速度运动，有，即可证明，故，，从而可得，； （3）在上取T，使，连接，由四边形是正方形，，可得，，，又平分，可得，根据，可得，从而可证，，故与的数量关系不发生改变． 【详解】（1）解：∵（s）， ∴当时，点P到达点B， 故答案为：4； （2）且；理由如下： 证明：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点P，点Q以同样的速度运动， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （3）与的数量关系不发生改变，理由如下： 在上取T，使，如图：    ∵四边形是正方形， ，， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴与的数量关系不发生改变． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$