专题19.8 正方形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.8 正方形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围． 【思路点拨】 （1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接，证，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：（1）如图1，取的中点P，连接． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图3，过D作交于点H，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当与相等时，即A、D、F三点共线， 此时， 则； ∴的周长c的取值范围是． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，交于点F，己知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点，连接．若，．下列四个结论中：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、交于点，为上一点，，，垂足分别为、，连接、，与交于点，在下列结论中：①；②是等腰三角形；③；④；⑤平分正确个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 13．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点是正方形内一点，且，垂足为，连接，点，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 14．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知中，，，以、为边作正方形、正方形，连接，取和中点N、M，连接，则的最大值为 ． 16．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ． 17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的是 ． 18．（2025九年级下·江苏南通·专题练习）正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值为 ． 19．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 20．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知F、E分别是边长2为的正方形的边的动点，且，与交于点G，连接、，则下列结论：①，②的最小值为，③若点E，F分别为、边上的中点，则，④若点E，F分别为、边上的中点．其中正确结论的有 ． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有 ． 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 23．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求证：； （3）当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长． 24．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 25．（24-25八年级下·北京密云·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直线的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． （1）在图1中补全图形，_____（填“”“”或“”）； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 26．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； （3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，则的值． 28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在正方形中，点E是边所在直线上的任意一点，连接，把线段绕着点E顺时针旋转90°得线段（即，），连接．    （1）如图1，当点E在线段上时，求线段与的数量关系，并说明理由； （2）若点E在的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长度为________． 29．（24-25八年级下·福建莆田·期中）在正方形中，E是边上一点（不与点A，B重合），作点D关于的对称点F，连接．    （1）如图1，连接，若，求证：E是的中点； （2）如图2，连接，，作于点G，M，N分别为，的中点，连接，． ①求的大小； ②猜想线段与的关系，并证明． 30．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点．          （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）射线与射线交于点，和交于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分； ②连接若，，请直接写出的面积． 31．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形为正方形，连接，上有一点E在的垂直平分线上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，射线交边于点，交的延长线于点，的周长为12，，连接交于点，求的长． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． （1）【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； （2）【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； （3）【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 34．（2025·黑龙江绥化·二模）已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.8 正方形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围． 【思路点拨】 （1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接，证，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：（1）如图1，取的中点P，连接． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图3，过D作交于点H，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当与相等时，即A、D、F三点共线， 此时， 则； ∴的周长c的取值范围是． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【思路点拨】 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接，利用转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可，解题的关键是理解两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 【解题过程】 解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可知，， ， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接交于H，，根据三角形的面积公式求出，从而求得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出的长，再证明是的高，进而求出的面积． 【解题过程】 解：连接交于H，如图， ∵正方形纸片，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 由折叠可知：点B与点F关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边的高等于， ∴． 故选：C． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，延长交于点E，根据正方形的性质结合已知条件证得，再根据勾股定理的逆定理证得和是直角三角形，再证，从而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． 【解题过程】 解：如图，延长交于点E， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴， ∵， ∴是直角三角形且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解． 【解题过程】 解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小，为， ． 故选：C． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则可证，然后可得，过点A作于点K，进而可得，设，则有，最后根据勾股定理可进行求解． 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点K，如图所示： ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即； 故选B． 6．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，交于点F，己知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 过点E作于点M，点E作于点N，先证明，．延长交于点Q，再利用矩形的判定和性质，勾股定理，解答即可． 【解题过程】 解：过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 延长交于点Q， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 【思路点拨】 证明，可以判断选项A正确；证明是等腰直角三角形，推出，可以判断选项B正确；证明，可以判断选项C正确，如图，过作于，则，过作于，证明，可得结论． 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由翻折变换的性质可知，，，， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 由翻折变换的性质可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意． 如图，过作于，则， 过作于，而， ∴ ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点，连接．若，．下列四个结论中：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，即可判断出③错误；由勾股定理可求得，即可求正方形的面积，从而判断④正确． 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 如图，过点B作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴点到直线的距离为；故③说法错误； ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有：①②④， 故选：B． 9．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 【思路点拨】 过E作，过E作于N，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②正确；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，故④错误． 【解题过程】 解：过E作，过E作于N，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故③正确； ∴， 故②正确； 当时，点C与点F重合，则，， ∴不一定等于， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：C． 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，证明四边形，四边形是正方形，进而得，由此证明和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，则，再求出，，继而证明和全等得，然后问题可求解． 【解题过程】 解：过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、交于点，为上一点，，，垂足分别为、，连接、，与交于点，在下列结论中：①；②是等腰三角形；③；④；⑤平分正确个数是（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 由正方形性质证明≅，从而可判断①；再证明，可证明为等腰直角三角形，所以，，即平分，从而可判断②⑤；设交于点，连接，由知，，由为等腰直角三角形知，证明，可得，，从而为等腰直角三角形，故得，在中，由勾股定理可得，即，可判断④；如图所示，作，因为，故，当且仅当时，成立，故可判断③． 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，①正确；， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； 设交于点，连接，如图所示， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，故④正确； 如图所示，作， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，成立，故③不一定正确． 综上，正确的序号为①②④⑤， 故选：． 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【思路点拨】 连接，根据四边形和四边形是正方形，得出，，，，即可得，连接，证明，得出，即可证明点三点共线，延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，则四边形和四边形是矩形，则，证明，得出，即可得，证出四边形是正方形，即可得，从而得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可得出，即，故①正确；连接，证明，得出，即可得，从而证出点三点共线，故②正确. 【解题过程】 解：连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 则四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 即，故①正确； 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线，故②正确； 故选：A． 13．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点是正方形内一点，且，垂足为，连接，点，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线，直角三角形斜边中线的性质，取中点，连接、、，则，，由结合斜边中线得到，即可得到，再由是的中位线，得到，求出，即可得到的最小值． 【解题过程】 解：取中点，连接、、， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，当、、三点共线时取等号， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【思路点拨】 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值． 【解题过程】 解：延长交于点M， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知中，，，以、为边作正方形、正方形，连接，取和中点N、M，连接，则的最大值为 ． 【思路点拨】 如图，连接、，与相交于O点，与交于点，先证，得，，再证，连接，取的中点，连接，，分别交，于，，结合三角形中位线可得且，可知，由，当点在上时，取等号，可知，即可求解． 【解题过程】 解：如图，连接、，与相交于O点，与交于点， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， 连接，取的中点，连接，，分别交，于，， ∴为的中位线， ∴，且，同理，，且， ∴且， ∴， ∵，当点在上时，取等号， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是 ． 【思路点拨】 先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 【解题过程】 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 延长到点，使得， ， ， ， 连接， ， 当，，三点共线时，取得最小值， ，， ，， ， ， ， 故的最小值是， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的是 ． 【思路点拨】 由正方形和折叠的性质可得，，证明可得，即可由线段垂直平分线的性质判断①；由，，可得，，设，则，，在中由勾股定理得，得，可得，即可判断②；利用三角形的面积公式可得，即可判断③；由，可得即可判断④； 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，故①正确； ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 18．（2025九年级下·江苏南通·专题练习）正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强．过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接．先证明，得到是等腰直角三角形．再证明，得到．设，则，从而证明，．设，，结合勾股定理求出，即可证明． 【解题过程】 解：如图所示，过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接． ∵正方形中，对角线，交于点， ∴，， ∴， ∴． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，， ∴， ∴， ∵于点，， ∴． 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 19．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握特殊化思想成为解题的关键．由正方形的性质以及题意可得；再根据折叠的性质可得、；如图：延长交于K，连接，则，易证可得，设，则有，根据勾股定理列方程可得，即；连接, 根据等边对等角、三角形内角和定理可得, 再根据折叠的性质可得，H是线段的中点，最后由勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：∵正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接， ∴， ∵将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到， ∴, 如图：延长交于K，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， 在中，, ∴，解得：， ∴， 如图：连接, ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴, ∵将沿翻折至同一平面得到， ∴垂直平分， ∴，； ∵， ∴， ∴， 即H是线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知F、E分别是边长2为的正方形的边的动点，且，与交于点G，连接、，则下列结论：①，②的最小值为，③若点E，F分别为、边上的中点，则，④若点E，F分别为、边上的中点．其中正确结论的有 ． 【思路点拨】 证明，可得，，进一步可得①符合题意；如图，取的中点，连接，，求解，结合，当三点共线时，最小，进一步可得②符合题意；如图，点E，F分别为、边上的中点，过作交于，交于，证明四边形为矩形，进一步利用勾股定理计算可得③④符合题意． 【解题过程】 解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，取的中点，连接，， ∴， ∴， ∵， 当三点共线时，最小， ∴的最小值为，故②符合题意； 如图，点E，F分别为、边上的中点， ∴， 过作交于，交于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有 ． 【思路点拨】 本题主要考查了正方形,全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明即可证明，故①正确；过点E作于点M，作于点N，证明，推出是等腰三角形，故③正确；过点E作交于点H，由和都是等腰三角形，，利用等腰三角形的性质求解即可推出． 【解题过程】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点E作于点M，作于点N，如图所示， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； ∵点E为对角线上一动点， ∴没办法说明，故②错误； 过点E作交于点H，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④， 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【思路点拨】 当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【解题过程】 解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 23．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求证：； （3）当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）过点作，，如图所示，由正方形的判定与性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定得到，则，再由正方形的判定即可得证； （2）由正方形性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定即可得证； （3）由五边形为轴对称图形，正方形的边，得到，，在中，由勾股定理求得，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：过点作，，如图所示： 四边形是矩形， 是正方形的对角线， 是的角平分线， ， 四边形是正方形， 为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 为矩形， 矩形是正方形； （2）证明：由（1）知矩形是正方形， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ； （3）解：五边形为轴对称图形，正方形的边， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 由（2）知， ， ． 24．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 【思路点拨】 （1）证明，得，由即可证明； （2）证明，得，由即可证明； （3）取中点N，延长到Q，使，取中点P，连接，点M在射线上运动，当时，最短；利用勾股定理及面积关系即可求得最小值． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下： ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点N，延长到Q，使，取中点P，连接， 则点M在射线上运动，当时，最短； ∵四边形是正方形， ∴， ∵中点为N，，中点为P， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 25．（24-25八年级下·北京密云·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直线的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． （1）在图1中补全图形，_____（填“”“”或“”）； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）根据对称的性质，正方形的性质即可求解； （2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合（1）的结论即可得到结论； （3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：补全图形如图所示； ∵点D、F关于对称， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴． 又∵，， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点A作，与射线交于点Q． ∵， ∴， 由对称性可知， 又∵， ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 26．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； （3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【思路点拨】 （1）证明，得出，进而得到， 由此得证； （2）过点作交于点， 可证出，得， 解直角三角形即可得证； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据勾股定理解答即可． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，则的值． 【思路点拨】 （1）利用证明即可； （2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在正方形中，点E是边所在直线上的任意一点，连接，把线段绕着点E顺时针旋转90°得线段（即，），连接．    （1）如图1，当点E在线段上时，求线段与的数量关系，并说明理由； （2）若点E在的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长度为________． 【思路点拨】 本题考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、垂直定义等知识，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明，再结合勾股定理即可得出结论； （2）同理（1）即可得出结论； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，，再由勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作延长线于点，      由旋转得，， ∴， 又∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴. ，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，    由旋转得，， ∴， 又∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴. ，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如解图3-1，当在线段延长线上时，过点作延长线于点，    同理（1）得：，， ∴，、 ∴在中， 如解图3-1，当在线段反向延长线上时，过点作延长线于点，    同理（1）得：，， ∴，、 ∴在中， 综上所述：的长为或 29．（24-25八年级下·福建莆田·期中）在正方形中，E是边上一点（不与点A，B重合），作点D关于的对称点F，连接．    （1）如图1，连接，若，求证：E是的中点； （2）如图2，连接，，作于点G，M，N分别为，的中点，连接，． ①求的大小； ②猜想线段与的关系，并证明． 【思路点拨】 （1）根据证明，得出，即可求证； （2）①根据题意易得，设，则，根据等腰三角形的性质得出，，最后根据即可求解；②延长，过点G作，交延长线于点T，连接，延长，交延长线于点H，令交于点P，先证明，得出，，再证明，得出，，推出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：如图1中，连接DE． ∵点D和点F关于的对称， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 即E是的中点； （2）解：①∵点D和点F关于的对称， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴； ②结论：，， 证明：延长，过点G作，交延长线于点T，连接，延长，交延长线于点H，令交于点P， ∵， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，， ∵，点M为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点M为中点， ∴，则， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 30．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点．          （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）射线与射线交于点，和交于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分； ②连接若，，请直接写出的面积． 【思路点拨】 （1）由题意易得，根据同角的余角相等得，再由即可判断； （2）①连接，根据全等三角形的性质可得，，进而可得，即，根据等边对等角得，再由，可得，进而得出四边形是平行四边形，进一步得出，即可得出结论； ②设与交于点，由题意易得，，再由等腰直角三角形的性质得，由正方形的性质可知点是的中点，，再由中位线的性质得，进而可算出三角形的面积． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴． （2）①证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是正方形 的对角线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴与互相平分． ②解：如图，设 与交于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵正方形中，与交于点， ∴点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 31．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 【思路点拨】 （1）根据正方形性质证明，得出即可； （2）①先证明垂直平分，再根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，再根据勾股定理求出，则可得出结果； ②连接并延长到H，使得，连接，，证明，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，证明也是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出． 【解题过程】 （1）证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， ∵把线段沿向上平移到位置，， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴； ②连接并延长到H，使得，连接，，如图所示： ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形为正方形，连接，上有一点E在的垂直平分线上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，射线交边于点，交的延长线于点，的周长为12，，连接交于点，求的长． 【思路点拨】 （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再设，分别求出，，则可得，然后根据等腰三角形的性质即可得证； （3）如图，过点作，交延长线于，过点作于，于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，根据得出，可证明，得出，，根据角平分线的性质得出，的周长为12得出，利用勾股定理，设，则，，，利用勾股定理列方程求出，，，设，则，，利用勾股定理求出，，，利用面积法得出，即可得答案． 【解题过程】 （1）证明：如图1，连接 ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 设，则， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． （3）解：如图，过点作，交延长线于，过点作于，于， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． （1）【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； （2）【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； （3）【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【思路点拨】 （1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【解题过程】 （1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 34．（2025·黑龙江绥化·二模）已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）过点作于点，，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （2）过点作，证明，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （3）在上取点，使得，证明，则，则，那么，由勾股定理得，可得是的中位线，则，即可求证． 【解题过程】 （1）证明：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：在上取点，使得，如图； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为P，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$