8.1 条件概率（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

8.1 条件概率 课程标准 学习目标 （1）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． （2）能利用条件概率和独立性等概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. （1）结合古典概型，了解条件概率的定义. （2）掌握条件概率的计算方法. （3）了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. （4）会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． （5）结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式 知识点01 条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 【即学即练1】（2025·高二·陕西渭南·期末）已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 【即学即练2】（2025·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ． 知识点03 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 【即学即练3】（2025·高二·全国·课时练习）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 题型一：条件概率的理解 【典例1-1】（2025·高二·河北邢台·阶段练习）下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【典例1-2】（多选题）（2025·高二·全国·课时练习）下面几种概率不是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【方法技巧与总结】 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 【变式1-1】（2025·高二·江苏·专题练习）判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 题型二：利用定义求条件概率 【典例2-1】（2025·河北·三模）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【变式2-1】（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A．0.4 B．0.9 C．0.8 D．0.75 【变式2-2】（2025·河北沧州·一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 题型三：概率的乘法公式 【典例3-1】（2025·高二·湖北宜昌·阶段练习）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： (1)第一、第二次都取得白球的概率； (2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率； (3)求第二次取得白球的概率． 【典例3-2】（2025·高二·江苏·专题练习）10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 【方法技巧与总结】 概率的乘法公式 公式反映了知二求一的方程思想． 【变式3-1】（2025·高二·湖南·课时练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 题型四：条件概率的性质及应用 【典例4-1】（2025·高二·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【典例4-2】（2025·高三·上海·课堂例题）已知，，则 ． 【方法技巧与总结】 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率． 【变式4-1】（2025·高二·河南南阳·期末）已知，，则 . 【变式4-2】（2025·高三·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 【变式4-3】（2025·高二·辽宁鞍山·期中）已知，且若，，则 ． 题型五：全概率公式 【典例5-1】“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 【典例5-2】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【方法技巧与总结】 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 【变式5-1】（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【变式5-2】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 题型六：贝叶斯公式 【典例6-1】（2025·高二·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【典例6-2】（2025·高二·全国·课后作业）已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为 ，若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ． 【方法技巧与总结】 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 【变式6-1】（2025·高二·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【变式6-2】（2025·高三·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【变式6-3】（2025·高二·河北沧州·阶段练习）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【变式6-4】（2025·高一·全国·专题练习）某班共有10名女生，20名男生，在一次联欢会上，将30人的姓名写成签条，从中任意抽取一张（假定抽中任何一张的可能性是相同的），然后由抽中姓名的人掷一次骰子（假定无姓名相同的人），规定：若掷得一点，则由掷骰子人任意指定一名与其本人性别不同的同学表演；若掷出的点数是除1之外的奇数，则在余下的签中任意抽取一张，由抽中姓名的人表演；若掷出的点数是双数，则由掷骰子人自己表演．问最后由男同学表演的概率是多少？又如果实际上表演的是女同学，问第一次抽中的是男同学的概率是多少？（假定掷骰子时出现1，2，3，4，5，6点中任何一种的可能性是相同的）． 题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例7-1】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【典例7-2】（2025·高二·河南信阳·期末）芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%． (1)求任取一个芯片是正品的概率； (2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率． 【方法技巧与总结】 是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 【变式7-1】（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）(1)对于任意两个事件，若，，证明：； (2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，. （i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？ （ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？ 【变式7-2】（2025·高二·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 1．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 3．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏南通·阶段练习）甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 7．（2025·高二·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 10．（多选题）（2025·高二·山东泰安·阶段练习）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 11．（多选题）（2025·高二·湖南·阶段练习）已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 12．（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 13．（2025·高二·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 14．（2025·高二·福建福州·阶段练习）一玩具制造厂的某一配件由三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂概率为 ． 15．（2025·高二·福建厦门·阶段练习）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： (1)该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ (2)入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ (3)若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 16．（2025·高二·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 17．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 18．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 (1)求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； (2)设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 条件概率 课程标准 学习目标 （1）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． （2）能利用条件概率和独立性等概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. （1）结合古典概型，了解条件概率的定义. （2）掌握条件概率的计算方法. （3）了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. （4）会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． （5）结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式 知识点01 条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 【即学即练1】（2025·高二·陕西渭南·期末）已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件概率定义，所以D正确. 故选：D. 知识点02 条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 【即学即练2】（2025·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 知识点03 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 【即学即练3】（2025·高二·全国·课时练习）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【解析】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 （2）若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 题型一：条件概率的理解 【典例1-1】（2025·高二·河北邢台·阶段练习）下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】C 【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率． 选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率； 选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； 选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； 选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率． 故选：C 【典例1-2】（多选题）（2025·高二·全国·课时练习）下面几种概率不是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】ACD 【解析】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率． 故选：ACD． 【方法技巧与总结】 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 【变式1-1】（2025·高二·江苏·专题练习）判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 【解析】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 题型二：利用定义求条件概率 【典例2-1】（2025·河北·三模）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令事件为“该运动员没有全部命中”， 令事件“恰好命中两次”， 则，， 由条件概率知所求概率为， 故选：B. 【典例2-2】（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，故. 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【变式2-1】（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A．0.4 B．0.9 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【解析】同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：0.4+0.5-0.6=0.3， 设“该同学爱好羽毛球”为事件A，“该同学爱好乒乓球”为事件B. 则,, 所以. 故选：D. 【变式2-2】（2025·河北沧州·一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 【变式2-3】（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 【变式2-4】（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 题型三：概率的乘法公式 【典例3-1】（2025·高二·湖北宜昌·阶段练习）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： (1)第一、第二次都取得白球的概率； (2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率； (3)求第二次取得白球的概率． 【解析】（1）记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到白球”，事件为“第一次未取到白球”， 则第一、第二次都取得白球为事件. 根据题意可得, 所以, 所以第一、第二次都取得白球的概率为. （2）根据题意可得， 所以己知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率为. （3）根据题意可得， 所以第二次取得白球的概率为. 【典例3-2】（2025·高二·江苏·专题练习）10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 【解析】（1）记事件A表示甲抽到难签，抽签的试验有10个不同结果，它们等可能， 事件A含有4个不同结果，所以. （2）记事件B表示乙抽到难签，由于甲先抽、乙后抽，则，由（1）知，， 所以甲、乙都抽到难签的概率. （3）由（1）知甲没有抽到难签的概率，， 所以甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 【方法技巧与总结】 概率的乘法公式 公式反映了知二求一的方程思想． 【变式3-1】（2025·高二·湖南·课时练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 【解析】（1）甲抽到难签的概率为； （2）甲、乙都抽到难签的概率为； （3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为； （4）甲、乙、丙都抽到难签的概率为． 题型四：条件概率的性质及应用 【典例4-1】（2025·高二·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【解析】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 【典例4-2】（2025·高三·上海·课堂例题）已知，，则 ． 【答案】 【解析】， 故答案为： 【方法技巧与总结】 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率． 【变式4-1】（2025·高二·河南南阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，则， 所以，. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高三·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 【答案】15 【解析】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而． 故答案为：15. 【变式4-3】（2025·高二·辽宁鞍山·期中）已知，且若，，则 ． 【答案】/ 【解析】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 题型五：全概率公式 【典例5-1】“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 【答案】 【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 【典例5-2】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【解析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 【变式5-1】（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【解析】（1）设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 【变式5-2】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【解析】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 题型六：贝叶斯公式 【典例6-1】（2025·高二·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【解析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 【典例6-2】（2025·高二·全国·课后作业）已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为 ，若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ． 【答案】 【解析】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，此人患色盲的概率． 则． 故答案为： 【方法技巧与总结】 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 【变式6-1】（2025·高二·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【解析】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 【变式6-2】（2025·高三·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 【变式6-3】（2025·高二·河北沧州·阶段练习）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【解析】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 【变式6-4】（2025·高一·全国·专题练习）某班共有10名女生，20名男生，在一次联欢会上，将30人的姓名写成签条，从中任意抽取一张（假定抽中任何一张的可能性是相同的），然后由抽中姓名的人掷一次骰子（假定无姓名相同的人），规定：若掷得一点，则由掷骰子人任意指定一名与其本人性别不同的同学表演；若掷出的点数是除1之外的奇数，则在余下的签中任意抽取一张，由抽中姓名的人表演；若掷出的点数是双数，则由掷骰子人自己表演．问最后由男同学表演的概率是多少？又如果实际上表演的是女同学，问第一次抽中的是男同学的概率是多少？（假定掷骰子时出现1，2，3，4，5，6点中任何一种的可能性是相同的）． 【解析】设表示抽中男生，则表示抽中女生， 表示掷骰子得i点 表示男生表演，则表示女生表演， 最后由男同学表演的有四种情况， , ． 题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例7-1】（2025·高二·河北张家口·阶段练习）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【解析】（1）设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”； 则，， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 【典例7-2】（2025·高二·河南信阳·期末）芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%． (1)求任取一个芯片是正品的概率； (2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率． 【解析】（1）记事件A：机器生产的芯片为次品，记事件：第i台机器生产的芯片，则，， ，，， ． ． 即任取一个芯片是正品的概率0.987． （2）； ； ． 故如果取到的芯片是次品，是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率分别为，，． 【方法技巧与总结】 是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 【变式7-1】（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）(1)对于任意两个事件，若，，证明：； (2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，. （i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？ （ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？ 【解析】(1)因为，，所以 (2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B， 由题意可得：，，由贝叶斯公式得 ， 因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是. （ii）同（i），. 【变式7-2】（2025·高二·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【解析】（1） 记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 1．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 2．（2025·高二·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 3．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为关于原点对称，且，所以①为既是奇函数又是偶函数； ，定义域为，所以②为奇函数； ，定义域为，所以③为奇函数； ，定义域为，所以④为偶函数； ，所以⑤为非奇非偶函数； 定义域为，所以⑥为非奇非偶函数； 所以事件包含①②③，事件包含①④，， 对于A，，故A错误； 对于B，表示取到的函数不是奇函数，表示取到的函数不是偶函数，故故B正确； 对于C，，由于，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4．（2025·高二·江苏南通·阶段练习）甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 5．（2025·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 6．（2025·高三·江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】D 【解析】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 7．（2025·高二·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 8．（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 9．（多选题）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，故与相互独立，即A正确； 对于B，若与相互独立，则与也相互独立， 则，故B错误； 对于C，若与互斥，则， ，故C正确； 对于D，由全概率公式可得， 所以，故D正确； 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·高二·山东泰安·阶段练习）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、设第一摸出黄球求事件，第二次摸出红球为事件， 由前面的计算可得， 由条件概率公式，所以选项D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（2025·高二·湖南·阶段练习）已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若为互斥事件，则，，故B错误； 对于C，若相互独立，则，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 12．（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【解析】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 13．（2025·高二·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【答案】 【解析】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”， 因为，， 所以. 故答案为：. 14．（2025·高二·福建福州·阶段练习）一玩具制造厂的某一配件由三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂概率为 ． 【答案】/0.12 【解析】设设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂， 事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂， 则，， 所以， ， 所以， 故答案为：. 15．（2025·高二·福建厦门·阶段练习）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题： (1)该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？ (2)入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？ (3)若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 【解析】（1）分两步：第一步先安排最左端和最右端，有种；第二步安排中间的人，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种. （2）分两类：第一类，没有班长，有种；第二类，一个班长，有种. 根据分类加法计数原理，共有种. （3）记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”， ，，， 所以在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率. 16．（2025·高二·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【解析】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 17．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【解析】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 18．（2025·高二·河北沧州·阶段练习）某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 (1)求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； (2)设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 【解析】（1）由题意可得：， 所以， 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：； 甲，乙或，概率为：； 甲，乙，概率为：； 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为： （2）有以下情况： 甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 所以, 所以 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$