7.1.2 全概率公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

随机变量及其分布 7.1.2　全概率公式 第七章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 互斥 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式． 2．理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率． 3．了解贝叶斯公式并会简单应用． 1．第一次抽到的卡片是偶数的概率是多少？ 2．你能否求出“第二次抽到的卡片是偶数”的概率？ 知识点一　全概率公式 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)， 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两____的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝____________________. （1）公式的直观作用：由于公式包含了乘法公式P（BAi）＝P（Ai）P（B|Ai），即先有Ai后有B，Ai对B的发生均有一定作用，只有Ai发生了，才有B发生的可能性，Ai是B发生的全部“原因”．因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”． （2）运用公式的关键：运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P（B）而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化，而选择不适当，则不利于问题的解决． [例1] (2024·广州高二期末)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8，0.9，0.7.现从这10个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是合格品”，事件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求P(Ai)，i＝1，2，3； (2)求P(B). (1)依题意，P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(A3)＝＝. (2)依题意，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7， 由(1)知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 由全概率公式得P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＋P(B|A3)P(A3) ＝0.8×＋0.9×＋0.7×＝0.81. 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). [练1] (2024·赣州高二期中)赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市．已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量(单位：箱)的占比分别为60%，40%，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为90%，80%，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为(　　) A．85% B．86% C．87% D．88% 设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C，则由题意得P(A)＝60%，P(B)＝40%，P(C|A)＝90%，P(C|B)＝80%， 由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(B|A)＝60%×90%＋40%×80%＝86%，故选B. [练2] (2024·盐城高二期末)设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同). (1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； (2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． (1)依题意，从甲袋8个球中取4个球有C种取法， 其中4个球中恰好有3个红球，即取得的球中恰好有3个红球、1个白球，有CC种取法， 4个球中恰好有3个红球的概率P＝＝. (2)记事件A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，事件A2为“从乙袋中取出2个红球”， 事件B为“从甲袋中取出2个红球”， 则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝， 所以P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＝×＋×＝. 知识点二　贝叶斯公式 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B) ＝＝__________________，i＝1，2，…，n. [例2] 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？ (1)设事件A＝“在仓库中随机地取一只元件，它是次品”，事件Bi(i＝1，2，3)＝“所取到的产品由第i家工厂提供”， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5. (2)该元件来自制造厂1的概率为 P(B1|A)＝＝＝0.24， 该元件来自制造厂2的概率为 P(B2|A)＝＝＝0.64. 该元件来自制造厂3的概率为 P(B3|A)＝＝＝0.12. 用贝叶斯公式求概率的步骤 贝叶斯公式针对的是某一过程中已知结果发生求事件过程某个条件成立的概率，解题步骤如下： (1)按照某种标准将目标事件分解为n个彼此互斥事件，并将这n个事件分别命名为Ai(i＝1，2，…，n)； (2)命名已知会发生的结果为事件B； (3)分别计算P(Ai)P(B|Ai)和P(B)； (4)代入贝叶斯公式P(Ai|B)＝(i＝1，2，…，n)求解． [练3] 试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 设A表示“该考生会做这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则 P(A)＝0.85，P()＝0.15，P(B|A)＝1，P(B|)＝0.25. (1)由全概率公式得 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.85×1＋0.15×0.25＝0.887 5. (2)由贝叶斯公式得 P(A|B)＝＝≈0.958. 1．知识清单 (1)全概率公式． (2)贝叶斯公式． 2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面． ◎随堂演练 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%. 从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 2．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 因为P(BA)＝P(A)P(B|A)， P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 答案：0.83　 3．(2024·海淀区高二期中)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是____． 在该市场中任意买一部智能手机， 则买到的是优质品的概率是50%×90%＋30%×80%＋20%×70%＝0.83. 4．(2024·大庆高二期末)已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1∶2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为__________． 答案：　 设事件B表示“中途停车维修”，事件A1表示“公路上经过的汽车是货车”，事件A2表示“公路上经过的汽车是客车”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01， 则由全概率公式，可知一辆车中途停车维修的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.02＋×0.01＝. $$