6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修3（人教A版2019）

计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 第六章 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别． 2．会正确应用这两个计数原理来解决问题． 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第三册 A　 综合应用一　组数问题 [例1] 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ (1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种排法，即可以排出125个三位数字的电话号码． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100种排法，即可以排成100个三位数． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因此共有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [变式探究] 由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步把剩下的包括0在内的3个数字排百位有3种方法；第四步排十位有2种方法．由分步乘法计数原理得本例中的五个数字可组成2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数． 常见的组数问题的解题原则 (1)首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数； (2)其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等； (3)最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． [练1] (2024·哈尔滨高二期中)由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有(　　) A．168个 B．174个 C．232个 D．238个 由0，1，2，3这四个数字组成的四位数一共有3×4×4×4＝192个， 由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，没有重复数字的四位数有3×3×2×1＝18个， 因此由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有192－18＝174个． 综合应用二　抽取与分配问题 [例2] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种 方法一(间接法)　先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37种方案． 方法二 (直接法)　以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第 2 类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有 3×3＝9种；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有 3×3×3＝27种. 综上所述，不同的分配方案 有 1＋9＋27＝37种．故选C. 抽取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：先不考虑限制条件计算所有的抽取方法数，然后再减去 所有不符合条件的抽取方法数即可． [练2] 元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有(　　) A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 方法一　设A，B，C，D四人写的贺卡分别是a，b，c，d. 当A拿贺卡b，则B可拿a，c，d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿贺卡b时有三种不同的分配方式；同理，A拿贺卡c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有3＋3＋3＝9种分配方式，故选B. 方法二　让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺卡. 如果A先拿贺卡，有3种取法，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理得，四张贺卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9种．故选B. 综合应用三　涂色问题 [例3] 给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有(　　) A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故根据分步乘法计数原理得，共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．故选D. 求解涂色(种植)问题的常用方法 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； (2)以颜色(或种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； (3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题． [练3] (2024·临沂高二期中)在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，不同的种植方式有(　　) A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 根据题意，从五种庄稼秧苗中选出4种庄稼秧苗，共有5种选择， 则土地1，5种植相同庄稼或土地2，4种植相同庄稼，共有2×(4×3×2×1)＝48种选择， 根据分步乘法计数原理可知，有5×48＝240种． 1．知识清单 (1)两个计数原理的区别与联系． (2)两个计数原理的应用：组数问题、抽取与分配问题、涂色与种植问题． 2．方法归纳：分类讨论、正难则反． 3．常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题． ◎随堂演练 1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理得，共有6＋3＝9种不同的选派方法． 2．(2024·忻州高二阶段练习)从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则大于40的两位数的个数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 数字排列问题，根据题意选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即大于40的两位数的个数为2×4＝8. 3．(2024·张家口高二阶段检测)如图，用5种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色种数为(　　) A．360 B．280 C．180 D．120 如图所示，根据ABCD的顺序依次着色，共有5×4×3×3＝180种方法．故选C. 4．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个，其中偶数有________个． 答案：8　5　 十位数字为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位数字为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个无重复数字的“驼峰数”．偶数为214，312，314，412，324，共5个． $$