6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理的综合应用，涵盖组数、选取分配、涂色种植等问题。通过“问题初探”了解预习情况，衔接原理基础，以典例为支架构建应用思路。 其亮点是问题驱动探究，结合典例与母题迁移，通过分类讨论等方法链培养数学抽象和运算素养，如组数问题按个位分类、涂色问题分区域讨论。反思领悟总结策略，随堂评估及时反馈，助力学生系统掌握，教师可高效教学。

第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 [学习目标]　1．进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．(数学抽象) 2．会正确应用两个计数原理计数．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理在实际应用中有哪几种类型？ 问题2．解决实际问题时，如何正确运用两个计数原理？ 第2课时　两个计数原理的综合应用 探究建构 关键能力达成 探究1　组数问题 [典例讲评]　【链接教材P6例5】 1．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)密码锁的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2 000大的四位偶数？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解]　(1)分步解决． 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共6×5×4×3＝360(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (2)分步解决． 第一步：千位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3＝300(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (3)法一：按个位是0，2，4分为三类： 第一类：个位是0的有4×4×3＝48(个)； 第二类：个位是2的有3×4×3＝36(个)； 第三类：个位是4的有3×4×3＝36(个)． 则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)，即可以组成120个比2 000大的四位偶数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 法二：能被2整除的数即偶数，个位数字可取0，2，4， 因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×4×3＝48(种)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排千位，因0不能在千位，故有3种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，则有2×3×4×3＝72(种)排法． 故共有48＋72＝120(种)排法， 即可以组成120个比2 000大的四位偶数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [母题探究]　由本例中的六个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ [解]　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分四步： 第一步定个位，只能从1，3，5中任取一个，有3种方法； 第二步定千位，把1，2，3，4，5中除去用过的一个，在剩下的4个中任取一个，有4种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的4个数字先排百位有4种方法，再排十位有3种方法． 由分步乘法计数原理知共有3×4×4×3＝144(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 【教材原题·P6例5】 例5　给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给多少个程序模块命名？ [分析]　要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解]　由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7＋6＝13． 后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9． 由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 13×9×9＝1 053， 即最多可以给1 053个程序模块命名． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 反思领悟　对于组数问题应掌握的两个原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，这是采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊数字(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位以上数字的最高位． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ [学以致用]　【链接教材P7练习T5】 1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24　　　 B．18　　 C．12　　　 D．6 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 B　[按是否选0分为2类： 选到0时，有3×2＝6(种)排法； 选到2时，有2×3×2＝12(种)排法， 故奇数的个数为6＋12＝18(个)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 【教材原题·P7练习T5】 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)? [解]　5×5×5＝125(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ 探究2　选取与分配问题 [典例讲评]　【链接教材P6例4】 2．(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 　 B．18种 C．37种 　 D．48种 (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为__________． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (1)C　(2)2　[(1)法一(直接法)： 第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案； 第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3＝9(种)； 第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3＝27(种)． 由分类加法计数原理，共有1＋9＋27＝37(种)不同的分配方案． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 法二(间接法)： 若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4＝64(种)情况； 若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3＝27(种)方法， 则符合条件的分配方案有64－27＝37(种)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (2)法一：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种)． 法二：(列举法)甲、乙、丙依次取贺卡，不同的取法有：乙丙甲、丙甲乙，共2种．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 【教材原题·P6例4】 例4　要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？ [分析]　要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解]　从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为 N＝3×2＝6． 这6种挂法如图6.1­2所示． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 反思领悟　解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接法：使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 提醒：解题时一定要明确是分类还是分步． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ [学以致用]　2．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　) A．280种 　 B．240种 C．180种 　 D．96种 B　[由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 探究3　涂色与种植问题 [典例讲评]　3．(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法． (2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (1)18　[法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法． 故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块不同的土地上，有4×3×2＝24(种)方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)方法，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (2)[解]　第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法． ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法． ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法． 由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [母题探究]　(变条件)本例(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？ 1 3 2 4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 [解]　依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(种)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)． 综上可知，根据分类加法计数原理，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 反思领悟　涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ [学以致用]　3．(1)将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为(　　) A．80　　　 B．100 C．110　　　 D．120 (2)(源自人教B版教材)在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？         课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (1)D　[如图，若先染A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，C有3种颜色可选，D有2种颜色可选，则不同染色方法共有5×4×3×2＝120(种)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 (2)[解]　用R表示红色，用B表示蓝色，例如，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色． 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻． 涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种． 依据分类加法计数原理，李明共有3＋3＝6(种)不同的填涂方法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 应用迁移 随堂评估自测 1．从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　) A．7 　 B．9 C．10 　 D．13 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 C　[①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411，共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321，共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数222． ∴符合题意的三位数共有3＋6＋1＝10(个)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ 2．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为(　　) A．11　　　 B．30 C．56　　　 D．65 B　[先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，依据分步乘法计数原理，共有6×5＝30(种)不同的组队方法．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 √ 3．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 　 B．5种　 C．6种 　 D．12种 C　[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 4．(教材P27习题6.2T17改编)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 72　[①当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)． ②当使用三种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法． 由分步乘法计数原理得，有4×3×2＝24(种)．综上，不同的着色方法共有48＋24＝72(种)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 1．知识链：   2．方法链：组数问题、选取与分配问题及涂色与种植问题的解题策略，分类讨论法、直接法、间接法的应用． 3．警示牌：分类讨论的过程中分类标准不明确，出现重复或遗漏． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．选用分步乘法计数原理的依据是什么？ [提示]　当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有所有步骤都完成后，这件事才完成，此时就采用分步乘法计数原理． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 2．解决较复杂的计数问题应注意什么？ [提示]　解决较复杂的计数问题一般要用两个计数原理，需注意合理分类，准确分步． 分类标准要明确，做到不重不漏，分步要步步独立，步骤完整． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二)　两个计数原理的综合应用 √ 一、选择题 1．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中大于40的个数是(　　) A．6　　　 B．8　　 C．10　　　 D．12 42 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个， 故大于40的个数为2×4＝8． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有(　　)       A．24种 　 B．30种 C．36种 　 D．48种 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[如图，假设4个区域为A，B，C，D，分4步进行分析：第一步，对于A，有4种农作物供选择；第二步，对于B，与A相邻，有3种农作物供选择；第三步，对于C，与A，B相邻，有2种农作物供选择；第四步，对于D，与B，C相邻，有2种农作物供选择．则不同的种植方法种数为4×3×2×2＝48．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有(　　) A．6个 　 B．18个 C．24个 　 D．12个 D　[先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2＝6(种)选择， 根据分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12(个)不重复的三位偶数． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 46 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主左数第1个号码只想在数字3，5，6，8，9中选择，后三个号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 　 B．360种　 C．720种 　 D．960种 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[按照车主的要求，左数第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 48 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)以下说法正确的是(　　) A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是43 B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有43种不同的送法 C．60有12个不同的正因数 D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是43，A选项正确； B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是4×3×2＝24，B选项错误； C选项，60＝22×3×5，所以正因数有(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝12(个)，C选项正确； D选项，根据题意，所得差有±2，±4，±6，±10，±12，共10个不相等的差，D选项错误． 故选AC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种．           课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42　[从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6(种)方法，所以有48－6＝42(种)不同的种植方法．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．如图，提供4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ________种． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48　[先对B区域涂色，共有4种不同的涂法， 再对D区域涂色，共有3种不同的涂法， 再对A区域涂色，共有2种不同的涂法， 最后对C区域涂色，共有2种不同的涂法， 根据分步乘法计数原理，则不同的涂法共有4×3×2×2＝48(种)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1＝0，a2＝2，a3＝4，…，若an＝2 024，则n＝________． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 33　[根据题意，由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{an}， 则一位自然数有3个，即0，2，4， 两位自然数有6 个，即20，22，24，40，42，44， 三位自然数有18个，即200，202，204，220，222，224，240，242，244，400，402，404，420，422，424，440，442，444， 而四位自然数，从小到大依次为2 000，2 002，2 004，2 020，2 022，2 024，则2 024为四位自然数中的第6个， 所以n＝3＋6＋18＋6＝33．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法， 第二、三位可以排0，因此，根据分步乘法计数原理，共有4×5×5＝100(个)． (2)三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法， 因此，根据分步乘法计数原理，共有4×4×3＝48(个)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类： 一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法． 因此有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．如图所示，棱长为1的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构．若要将这一个立方体上的14个点染上红、黄、蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是(旋转和镜像对称后重合的视为同一种)(　　) A．3 　 B．6 C．9 　 D．12 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 60 A　[记红、黄、蓝三种颜色为a，b，c， 假设正方体的一对对顶点是在(0，0，0)和(1，1，1)， 若将(0，0，0)染成a色，(0，0.5，0.5)，(0.5，0.5，0)，(0.5，0，0.5)三个点染成b色， 则(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)必然都是c色． 如此递推可以恰好染完整个正方体． 而当b色固定的时候通过旋转就可以得到ac互换的正方体． 从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红、黄、蓝三种颜色． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　) A．10个 　 B．14个 C．15个 　 D．21个 √ A　[由题意知b≤4≤c<b＋4，当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4，5；当b＝3时，c＝4，5，6；当b＝4时，c＝4，5，6，7，故共有10个这样的三角形．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 62 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是(　　) A．在组成的三位数中，奇数的个数为60 B．在组成的三位数中，偶数的个数为30 C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[对于A，个位数只能是1，3中的一个，有2种选法，百位从剩下的三个非零数中选一个，有3种选法，十位数字有3种选法，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3＝18(个)奇数，故A错误； 对于B，将组成的三位数中的偶数分为两类，①个位为0，则有4×3＝12(个)，②个位为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确； 对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 9　[由题意知本题是一个分类计数问题， 第一格填2，则第二格有3种，第三、四格自动对号入座，不用排列； 第一格填3，则第三格有3种，第二、四格自动对号入座，不用排列； 第一格填4，则第四格有3种，第二、三格自动对号入座，不用排列． 根据分类加法计数原理知，共有3×3＝9(种)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)1号盒中无球，即A，B，C三球只能放入2，3，4号盒子中，有33＝27(种)放法． (2)1号盒中有球可分三类： 第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法； 第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法； 第三类是1号盒中有三个球，有1种放法．故共有27＋9＋1＝37(种)放法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 69 24　112　[第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法． 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24． 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4．再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　两个计数原理的综合应用 $