精品解析：江苏省苏州市昆山中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

江苏省昆山中学2024—2025年第二学期高二模块测试一试卷 数学学科 （命题人：张志华 审核人：温忱炜） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 2. 正弦曲线在点处的切线斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 设集合，集合，定义，则子集的个数是（ ） A. B. C. D. 10 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C点，A，B，C的横坐标分别为，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示． 现有下列四种说法正确的有（ ） A. 前四年该产品产量增长速度越来越快 B. 前四年该产品产量增长速度越来越慢 C. 第四年后该产品停止生产 D. 第四年后该产品年产量保持不变． 10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 11. 若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的平均变化率为15，则实数的值为____________. 13. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 14. 已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一场晚会有4个演唱节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单. （1）2个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ （2）前三个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 16. 已知函数，点在曲线上． （1）求函数的解析式； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 17. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧、分别与边、相切于点、. （1）当长为分米时，求的长； （2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？并求容积的最大值 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 19. 材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出的值； （2）写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； （3）求证：.其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省昆山中学2024—2025年第二学期高二模块测试一试卷 数学学科 （命题人：张志华 审核人：温忱炜） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接求导计算即可. 【详解】由题意可得： 故选：C 2. 正弦曲线在点处的切线斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】， 所以， 故选：D 3. 函数的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴为奇函数， 从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B， 又∵，排除D，从而答案为C. 故选：C. 4. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 5. 设集合，集合，定义，则子集的个数是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集和并集，根据新定义的集合规则，得到和分别有种和种情况，最后由分步计数原理得出的元素个数，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得. 【详解】因为，，所以，， 又， 则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个， 所以子集的个数是. 故选：B 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性及单调性，转化为解不等式求解. 【详解】由知，， 又，故为偶函数， 当时，，所以单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 所以由可得， 平方得：， 解得， 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，， ，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， （当且仅当时取等号），， 即（当且仅当时取等号），，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系. 8. 已知直线与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C点，A，B，C的横坐标分别为，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性和最大值，作出两个函数的图象，利用图象结合对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，令..，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 又由函数，可得，令，可得， 当当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 作出两个函数和的图象，如图所示， 由，可得，所以A正确； 因为且在上单调递增， 又因为，所以，所以，所以B错误； 因为且在上单调递减， 又因为，，所以，所以C正确； 由，所以D正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示． 现有下列四种说法正确的有（ ） A. 前四年该产品产量增长速度越来越快 B. 前四年该产品产量增长速度越来越慢 C. 第四年后该产品停止生产 D. 第四年后该产品年产量保持不变． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得答案. 【详解】设产量与时间的关系为，由题图可知在点，，，处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确； 由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且，故C错误，D正确，故说法正确的有BD． 故选：BD 10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【解析】 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 11. 若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对和分别求导，结合选项，判断导数正负可得答案. 【详解】，， ，， 当时，，函数在单调递增； 由， 令，则， 此时，、恒成立，， 也即在单调递减，，则函数在单调递增， 又有是的子集，故A、B满足. 当时，，，在时，，在时，， 可能大于，也可能小于，故C不满足. 当时，，函数在单调递增， ，函数在单调递增，故D满足. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的平均变化率为15，则实数的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】由已知可得，再由函数在区间上的平均变化率为15，得，从而可求出实数的值 【详解】由区间可知，可得， 又由，解得. 故答案为：1 13. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点. 14. 已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法，结合导数的性质、数形结合思想、分类讨论思想进行求解即可. 【详解】由于，方程等价于，即依题意与图象有四个交点，令， 若，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当 ，取最大值， ， 若，， 当当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当，的最小值， ， 函数的图象如下图所示： 所以与的图象有四个交点时，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用转化法，结合导数的性质是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一场晚会有4个演唱节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单. （1）2个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ （2）前三个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 【答案】（1）288 （2）576 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排好有条件限制的首尾两个位置，再全排，再利用分步计数原理即可得出结果. （2）利用“正难则反”，先全排，再去掉不符合条件的排法数即可求出结果. 【小问1详解】 先从4个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的2个演唱节目，2个舞蹈节目排在中间4个位置上有种排法， 故共有不同排法(种). 【小问2详解】 先不考虑排列要求，有种排法，其中前三个节目没有舞蹈节目的情况，可先从4个演唱节目中选3个节目排在前三个位置，然后将剩余三个节目排列在后三个位置，有种排法， 所以前三个节目要有舞蹈节目的排法有(种). 16. 已知函数，点在曲线上． （1）求函数的解析式； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数过点，代入即可求解； （2）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程； （3）设切点坐标为，切线的斜率为，表示出切线方程，再利用点在切线上，解出，从而得到切线方程. 【小问1详解】 当时，， 所以 【小问2详解】 由（1）可知：， 则点处的切线的斜率为， 所以切线方程为：，即； 【小问3详解】 设切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为：， 将点代入切线方程得：，则， 解得或， 所以切线方程为：或. 17. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧、分别与边、相切于点、. （1）当长为分米时，求的长； （2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？并求容积的最大值 【答案】（1）分米 （2）当分米时，折卷成的包装盒容积最大，最大值为立方分米 【解析】 【分析】（1）在图甲中，连接交于点，设，根据可求得的值，再利用的长度等于的长度可求得的长； （2）设，则，其中，利用柱体的体积公式可得出包装盒的容积关于的函数表达式，利用导数可求得该包装盒的容积的最大值. 【小问1详解】 解：在图甲中，连接交于点，设， 图甲 在中，易知为的中点，则，则， 所以，，所以，则. ，， 等于的长度，所以，，则， 因为，所以，， 所以，当长为分米时，的长为分米. 【小问2详解】 解：设，则， 则所得柱体的底面积. 又所得柱体的高， 所以，其中. 令，， 则由，解得，列表如下： x 增 极大值 减 所以当时，取得最大值，并且. 所以当分米时，折卷成的包装盒容积最大，最大值为立方分米. 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为，所以， 故整数的最小值为1． 【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解. 19. 材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出的值； （2）写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； （3）求证：.其中. 【答案】（1） （2）； （3） 由麦克劳林公式， 当时，令，有猜想 令，有 猜想. 令 ，由，所以，即. 令 ，由，再令则恒成立，所以在上为增函数，且 所以在上为增函数，且即, 又时，,,所以 ， 令，，有，即， 所以 命题得证. 【解析】 【分析】（1）分别代入公式计算即可； （2）由麦克劳林公式中取，计算即可； （3）首先利用麦克劳林公式猜想和，再构造函数求导证明猜想；然后得到，最后令， 代入上式经过拆项可得，即可证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由麦克劳林公式，令，有 在中，取，可得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $