6.3.2 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的加、减运算． 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1．在平面内，规定{e1，e2}为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？ 2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ 3．如果向量也用(x，y)表示，那么向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？ 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． (2)坐标表示：a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示． (3)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． 3．向量的坐标与点的坐标的关系 以原点O为起点作，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． (1)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． [例1] (1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O.若|a|＝，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) (2)如图，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． (1)A　(2)①③　解析：(1)由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1). (2)由平面向量基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确；当a＝时，才有a＝(x，y)，所以②错误，③正确． 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)当向量的起点在原点时，可以求出向量终点的坐标，它与向量的坐标相同． [练1] 如图，向量a，b，c的坐标分别是______，______，________． 答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)　解析：将各向量分别向基底{i，j}所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)；b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5). 知识点二　平面向量加法、减法的坐标表示 1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 2．如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) (1)平面向量的加、减运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标． (2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算． [例2] 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). (2)设O为坐标原点． ∵＝－＝c，∴＝c＋＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，∴M(－2，4). 又＝－＝b， ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)， ∴N(－9，－7)， ∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11). 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． [练2] 已知＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为(　　) A．(1，8) B．(－1，8) C．(3，2) D．(－3，2) B　解析：设点B的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y－5)＝(1，3)，所以解得所以点B的坐标为(－1，8). 综合应用：平面向量坐标运算的应用问题 [例3] 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R).若＝＋，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的平分线上； (2)点P在第三象限． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ) ＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵＝＋， ∴则 若点P在第一、三象限的平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. (2)若点P在第三象限，则∴λ<－1. 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值． [练3] 已知点A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，若点D使得这四个点是平行四边形的四个顶点，求点D的坐标． 解：①当平行四边形为ABCD时，＝.设点D的坐标为(x，y).所以(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，即(x，y)＝(0，－1). 所以D(0，－1). ②当平行四边形为ABDC时，仿照①可得D(2，－3). ③当平行四边形为ADBC时，仿照①可得D(6，15). 综上可知，点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6，15). 1．知识清单 (1)平面向量的正交分解及坐标表示． (2)平面向量加、减运算的坐标表示． (3)平面向量坐标运算的应用问题． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点坐标减去起点坐标． ◎随堂演练 1．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(1，－2) B　解析：＝(2，3)－(3，1)＝(2－3，3－1)＝(－1，2). 2．已知＝(2，3)，则点N(　　) A．位于第一象限 B．位于第二象限 C．位于第三象限 D．位置不确定 D　解析：因为点M的位置不确定，所以点N的位置也不确定．故选D. 3．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则a－b＝(　　) A．(3，7) B．(3，9) C．(3，3) D．(3，5) C　解析：因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以a－b＝(2－(－1)，4－1)＝(3，3).故选C. 4．(2024·开封高一期中)已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________． 答案：(0，4)　解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1). 由＝，得x＝0，y＝4.故点C的坐标为(0，4). [课时梯级训练(8)见P164] 学科网（北京）股份有限公司 $$