江西省余江市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 余江一中 2024 年高二年级下学期第一次月考考试数学考试卷 考试时间：120 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中， 只有 一项符合题目要求。） 1．已知等比数列 na 中， 3 3a = ， 7 27a = ，则 5a =（ ） A．15 B．9 C． 9− D． 9 2．下列命题错误．．的是（ ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设 ( )21N  ， ，且 ( 0) 0.2P   = ，则 (1 2) 0.2P   = C．线性回归直线 ˆˆ ˆy bx a= + 一定经过样本点的中心 ( )，x y D．随机变量 ( )B n p  ， ，若 ( ) ( )30 20E D = =， ，则 90n = 3．已知数列 na n− 是等比数列，且 1 2a = ，公比为 2，则数列 na 的前 5 项之和为（ ） A．62 B．66 C．56 D．46 4．若 1 2 n x x   −    的展开式的二项式系数之和为 64，则其展开式的常数项为（ ） A． 240− B． 60− C．60 D．240 5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复 进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 4 2 1→ → → ，这就是数学史上著 名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列 na 满足：1 20a = ， ( ) ( ) 1 2 3 1 n n n n n a a a a a +   =   + 为偶数 为奇数 ， 则 2025a =（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．甲､乙､丙､丁､戊 5 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 , ,A B C 三个小区可供选 择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概 率为（ ） 试卷第 2 页，共 4 页 A． 193 243 B． 100 243 C． 2 3 D． 5 9 7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量 ( )~ ,B n p ，则当 5np  且 ( )1 5n p−  时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差 分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子 2500 次，利用正态分布 估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300 的概率为（ ） 附：若： ( )2~ ,N   ，则 ( ) 0.6827P     −   +  ， ( )2 2 0.9545P     −   +  ， ( )3 3 0.9973P     −   +  ． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 8．已知数列 na 的前n项和 12 2nnS += − ，等差数列 nb 满足 1 5b = − ， 5 25b b= ，数列 nc 满 足 n n nc a b= − ，设数列 nc 的前n项和为 nT ，若对于 *n N ，都有 n kT T ，则 k =（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题给出的四个选项中， 有多 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列有关数列的说法正确的是（ ） A．数列-2023,0,4 与数列 4,0,-2023 是同一个数列 B．数列{ }na 的通项公式为 ( )1na n n= + ,则 110 是该数列的第 10 项 C．在数列1, 2, 3,2, 5, 中,第 8 个数是2 2 D．数列 3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 2 1 n na = + 10．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 1 1a = ， 2 3a = ， ( )1 13 2 2n n na a a n+ −= −  ，则下 列说法正确的有（ ） A．数列 1n na a+ − 为等差数列 B．数列 1 2n na a+ − 为等比数列 C． 2 1 n na = − D． 12 2nnS n += − − 11．在 2024 年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两 支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前， 积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.若每场 试卷第 3 页，共 4 页 比赛中两队胜、平、负的概率都为 1 3 ，则在比赛结束时（ ） A．四支球队的积分总和可能为 15 分 B．甲队胜 3 场且乙队胜 1 场的概率为 5 2 3 C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D．丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 5 2 3 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．《张邱健算经》是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题： “有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织 5 尺，一个月（按 30 天计）共织 了 440 尺，推算第 10 天该女子织了 尺布.” 13．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司 员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 1 1 1 , , 3 3 3 ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 1 1 1 , , 4 5 6 ，结果这一天他迟到 了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ． 14．若数列 na 满足 π cos 3 n n a n= ，在 1, nna a + 中插入 n个 2，按照原有顺序构成数列 nb ， 则数列 nb 的前 480 项和为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．现有一个六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6 的正方体骰子，连续抛掷两次，设 ,m n分别为 第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数， X m n= − . (1)求 2X  的概率； (2)求 X 的数学期望. 16．（15 分）已知等比数列 na 的公比 1q  ， 3 1 60a a− = ， 2 16a = ． (1)求 na ； (2)设 210 logn nb a= + ，若 1 2 242kb b b+ + + = ，求 k ． 试卷第 4 页，共 4 页 17．（15 分）已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 1 1,3 2 1.n na a S= = + (1)证明数列 na 为等比数列，并求它的通项公式； (2)设 n nb n a=  ，求数列 nb 的前 n项和 .nT 18．（17 分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽 取3 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中2 道题便可通过面试.已知6 道 备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都 是 2 3 ，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 19．（17 分）已知数列  na 的前 n 项和 nS 满足 ( )( )*1 Nn nS na n n n= − −  ，且 2 3a = . (1)证明数列  na 为等差数列，并求  na 的通项公式; (2)设 1 1 1 ,n n n n n n b T a a a a+ + = + 为数列  nb 的前 n 项和，求使 2 5 nT  成立的最小正整 数 n 的值; (3)在数列  nc 中，对任意 *Nn ，当 112 2 N, 2 k kna k+ +    时， nc k= ，若满足 2 4 8 16 23m m m m mc c c c c+ + + +  ，求正整数 m 的最小值. 答案第 1 页，共 12 页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B B D A BCD BCD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】推导出 5 0a  ，再利用等比中项的性质可求得 5a 的值. 【详解】设等比数列 na 的公比为 ( )0q q  ，则 2 2 5 3 3 0a a q q= =  ， 由等比中项的性质可得 2 5 3 7 3 27 81a a a= =  = ，故 5 9a = . 故选：B. 2．B 【分析】利用相关关系判断 A；由正态分布的性质判断 B；由线性回归直线的性质判断 C； 由随机变量条件建立方程组解出即可判断 D. 【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于1， 故 A 正确； 由 ( )2~ 1,N  ，知 1 = ， 即概率密度函数的图像关于直线 1x = 对称， 所以 ( 0) ( 2) 0.2P P  =  = ， 则 ( ) 1 2 ( 0) 1 2 0.3 2 P P   −    = = ， 故 B 错误； 根据线性回归直线的性质可知， 线性回归直线 ˆˆ ˆy bx a= + 一定经过样本点的中心 ( )，x y ， 故 C 正确； 随机变量 ( )B n p  ， ，若 ( ) ( )30 20E D = =， ， 则 ( ) 1 30 3 1 20 90 np p np p n  = =   − =  = ， 故 D 正确； 答案第 2 页，共 12 页 故选：B. 3．D 【分析】先求出数列 na 的通项公式，再由分组求和法求解即可. 【详解】数列 na n− 是首项为 1 1 1a − = ，公比为 2 的等比数列， 所以 12nna n −− = ，所以 12nna n −= + ， 所以数列 na 的前 5 项之和为 0 1 2 3 41 2 3 4 5 2 2 2 2 2+ + + + + + + + + ( ) 55 1 5 1 2 15 32 1 46 2 1 2 + − = + = + − = − . 故选：D. 4．C 【分析】由二项式系数性质求出n，由二项展开式通项公式可求得常数项． 【详解】由题意2 64n = ，解得 6n = ． 展开式通项为 ( ) ( ) 6 3 3 2 1 6 6 1 C 2 C 2 r rr rr r rT x x x − − +   = − = −    ， 由得 3 3 0 2 r − = ，解得 2r = ，∴常数项为 ( ) 22 0 3 6C 2 60T x= − = ． 故选：C． 5．B 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1320, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2a a a a a a a a a a a a a= = = = = = = = = = = = = , 可知数列 na 可看作从第 8 项起以 3 为周期的数列， 因为2025 7 3 672 2= +  + ， 所以 2025 9 4a a= = ， 故选：B 6．B 【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去A 的情况数，从而得到甲不去A 小区 的情况数，再结合概率公式，即可得到结果. 【详解】首先求所有可能情况，5 个人去 3 个地方，共有 53 243= 种情况， 答案第 3 页，共 12 页 再计算 5 个人去 3 个地方，且每个地方至少有一个人去， 5 人被分为3,1,1或2,2,1 当 5 人被分为3,1,1时，情况数为 3 3 5 3C A 60 = ; 当 5 人被分为2,2,1时，情况数为 1 2 3 5 4 3 2 2 C C A 90 A   = ； 所以共有60 90 150+ = . 由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可， 当 5 人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为 1，则 3 2 4 2C A 8 = ，甲若为 3，则 2 2 4 2C A 12 = 共计8 12 20+ = 种， 当 5 人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为 1，则 2 24 22 2 C A 6 A  = ，甲若为 2，则 1 1 2 4 3 2C C A 24  = ， 共计6 24 30+ = 种， 所以甲不在A 小区的概率为 ( )150 20 30 100 243 243 − + = 故选：B. 7．D 【分析】先得到 1 ~ 2500, 2 B       ，满足 5np  且 ( )1 5n p−  ，从而计算出期望和方差，得到 ( )21250,25N ，利用正态分布的对称性求解. 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率 1 2 p = ，故 1 ~ 2500, 2 B       ， 显然 ( ) 1 1 2500 5 2 np n p= − =   ，其中 1250np = ， ( )1 625np p− = ， 故 ( )21250,25N ， 则 2 1250 50 1300 + = + = ， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300 的概率为 1 0.5 0.9545 0.9773 2 +   . 故选：D 8．A 【分析】根据题意，先求出 n na b、 可得 nc ，判断出数列 nc 的单调性可得答案. 答案第 4 页，共 12 页 【详解】因为 12 2nnS += − ， 2n  时， ( )11 2 2 2 2 2n n nn n na S S +−= − = − − − = ， 由 1 1 1 1 2 2 2a S += = − = ，所以 2nna = ， 设等差数列 nb 的公差为d ，由 5 25b b= 得 14 0+ =b d ， 解得 20d = ，所以 20 25nb n= − ，可得 2 20 25 n nc n= − + ， 则 ( )11 2 20 1 25 2 20 25 2 20 n n n n nc c n n + + − = − + + − + − = − ， 所以当 5n  时， 1n nc c+  ；当 5n  时， 1n nc c+  ， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8c c c c c c c c        ， 又因为 1 7 0c =  ， 2 11 0c = −  ， 6 31 0c = −  ， 7 13 0c =  ， 所以当 1n = 时， 1 0c  ；当2 6n  时， 0nc  ； 当 7n  时， 0nc  ，因此当 6n  时，数列 nT 单调递减； 当 6n  时， nT 单调递增，所以 6nT T ，故 6k = . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出数列 nc 的单调性. 9．BCD 【分析】根据数列概念即可得选项 A 正误;利用数列的通项公式等于 110,计算出结果,即可得 选项 B 的正误;根据数列的规律,即可得选项 C、D 的正误. 【详解】解:因为数列-2023,0,4 的首项是-2023,而数列 4,0,-2023 的首项是 4, 所以两个数列不是同一个,故选项 A 错误; 当 ( )1 110na n n= + = 时,解得: 10n = 或 11n = − (舍), 即 110 是该数列的第 10 项,故选项 B 正确; 因为数列1, 2, 3,2, 5, 可写为:1, 2, 3, 4, 5,  , 所以第 8 个数是 8 2 2= ,故选项 C 正确; 因为 1 2 3 1 2 32 1 3, 2 1 5, 2 1 9,a a a= + = = + = = + = 4 5 4 52 1 17, 2 1 33,a a= + = = + = 所以 2 1 n na = + 可以看做数列的一个通项公式,故选项 D 正确. 答案第 5 页，共 12 页 故选：BCD 10．BCD 【分析】根据递推式可得 ( )1 12n n n na a a a+ −− = − 、 1 12 2n n n na a a a+ −− = − ，再根据等差、等比 数列的定义判断 A、B；应用累加法求数列通项公式判断 C；应用分组求和及等比数列前 n 项和公式求 nS 判断 D. 【详解】因为 ( )1 13 2 2n n na a a n+ −= −  ，所以 ( )1 12n n n na a a a+ −− = − ， 则 1n na a+ − 是首项为 2 1 2a a− = ，公比为 2 的等比数列，故 A 错误； 根据题意得 1 1 1 13 2 2 2n n n n n n na a a a a a a+ − + −= −  − = − ， 2 12 1a a− = ， 所以数列 1 2n na a+ − 为首项为 1，公比为 1 的等比数列，则 1 2 n n na a+ − = ，故 B 正确； 所以 ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1n n na a a a a a a a −= + − + − + + − ( )1 1 1 21 2 4 2 2 1 1 2 n n n−  − = + + + + = = − − ，故 C 正确； ( ) ( ) 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n n n nS n n n +  − = + + + + − = − = − − − ，故 D 正确. 故选：BCD 11．AC 【分析】根据甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平可判断 A，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜 丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平判断 C，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断 BD. 【详解】四支球队共 6 场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 对于 A，四支球队共 6 场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得 9 分，乙、丙、丁各得 2 分，所以四支球队的积分总和可能为 15 分，故 A 正确； 对于 B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 1 3 ， 则甲队胜 3 场且乙队胜 1 场的概率为 3 5 1 1 2 4 2 3 3 3 3      =    ，故 B 错误； 对于 C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平， 则甲、乙、丙各得 4 分，丁得 3 分， 出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况，故 C 正确； 答案第 6 页，共 12 页 对于 D，丙队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输， 1 3 3  ，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平， 则丙只得 4 分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于 4 分，不合题 意， 在甲输的情况下，乙、丁已有 3 分，那么它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于 4 分，不合题意； 若丙全赢（概率是 2 1 3       ）时，丙得 6 分，其他 3 人分数最高为 5 分， 这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于 6 分，只有全平或全输， ①若甲一平一输，概率是 2 1 2 3       ，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是 2 3 ； ②若甲两场均平，概率是 2 1 3       ，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场甲都输，概率是 2 1 3       ，乙丁这场比赛只能平，概率是 1 3 ； 综上概率为 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 8 3 2 3 3 3 3 3 3 3 243               + +  =                   ，故 D 错误. 故选：AC. 12．11 【分析】记公差为d ，根据已知求出 2 . 3 d = 再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项 1 5a = ，记公差为d ， 由题得 30 30 29 5 30 440 2 S d  =  + = ，所以 2 . 3 d = 所以 10 2 5 9 11 3 a = +  = . 故答案为：11 13． 15 37 【分析】法 1：设事件 A表示“自驾”，事件 B表示“坐公交车”，事件 C表示“骑共享单车”， 事件 D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案； 答案第 7 页，共 12 页 法 2：直接在迟到的前提下计算概率 1 154 1 1 1 37 4 5 6 P = = + + . 【详解】法 1：由题意设事件 A表示“自驾”，事件 B表示“坐公交车”， 事件 C表示“骑共享单车”，事件 D“表示迟到”， 则 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 3 4 5 6 P A P B P C P D A P D B P D C= = = = = =∣ ∣ ∣ ； 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 5 6 P D P A P D A P B P D B P C P D C   = + + =  + +    ∣ ∣ ∣ ， 小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是 1 1 ( ) ( ) ( ) 153 4( ) 1 1 1 1( ) ( ) 37 3 4 5 6 P AD P A P D A P A D P D P D  = = = =    + +    ∣ ∣ ， 法 2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率 1 154 1 1 1 37 4 5 6 P = = + + ， 故答案为： 15 37 ． 14．1215 【分析】由题意，根据等差数列前n项和公式求出数列 nb 的项数和前 480 项中 2 的个数， 再求出数列 na 的前 30 项和即可. 【详解】数列 nb 中从 1a 到 na 的项数为： ( 1) 1 2 3 2 n n n + + + + + = ，令 ( 1) 480 2 n n +  ，得 30n  ，且 30 31 465 2  = ， 所以数列 nb 的前 480 项中 30a 后面还有 15 项， 则数列 nb 的前 480 项中 2 的个数为1 2 3 29 15 450+ + + + + = ． 由 π cos 3 n n a n= ，得 3 2 3 1 3 1 1 3 (3 2) (3 1) 3 6 2 2 2 k k ka a a k k k k− −+ + = −  + −  + = − ， 故数列 na 的前 30 项和是数列 3 6 2 n   −    的前 10 项和，且和为 3 3 6 60 2 2 10 315 2 − + −  = ， 所以数列 nb 的前 480 项和为315 450 2 1215+  = ． 故答案为：1215 答案第 8 页，共 12 页 【点睛】难点点睛：本题的难点是推出数列 nb 的前 480 项中 30a 后面还有 15 项. 15．(1) 4 9 ； (2) 35 18 . 【分析】（1）根据已知及列举法求出 X 0= 、 1X = 对应概率，应用互斥事件加法求概率即 可； （2） X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5，同（1）方法求对应可能值的概率，进而求期望. 【详解】（1）由题设， 2X  ，即 X 0= 或 1X = ， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组 ( , )m n 共有 36 种可能， X 0= 的情况有 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)共 6 种，故 1 ( 0) 6 P X = = ， 1X = 的情况有 (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5)(5,4), (5,6), (6,5) 共 10 种，故 5 ( 1) 18 P X = = ， 所以 2X  的概率为 1 5 4 ( 0) ( 1) 6 18 9 P X P X= + = = + = . （2）由题意， X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5，同（1）分析， 2X = 的情况有 (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)共 8 种，则 8 2 ( 2) 36 9 P X = = = ， 3X = 的情况有 (1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3)共 6 种，则 6 1 ( 3) 36 6 P X = = = ， 4X = 的情况有 (1,5), (5,1), (2,6), (6,2)共 4 种，则 4 1 ( 4) 36 9 P X = = = ， 5X = 的情况有 (1,6), (6,1)共 2 种，则 2 1 ( 5) 36 18 P X = = = ， 所以 1 5 2 1 1 1 35 ( ) 0 1 2 3 4 5 6 18 9 6 9 18 18 E X =  +  +  +  +  +  = . 16．(1) 4 n na = ； (2) 11k = . 【分析】（1）由题设结合等比数列通项公式列出等比数列首项和公比的方程组即可求解； （2）先求出 nb 的通项公式，再由等差数列前n项和公式结合题设列出等量关系式计算即 可求解. 答案第 9 页，共 12 页 【详解】（1）由题意得 ( )21 1 1 1 60 4 16 4 1 a q a a q q q  − =  = =   =   ， 所以 14 4 4n nna −=  = . （2）由（1）得 2 210 log 10 log 4 10 2 n n nb a n= + = + = + ， 所以 ( ) ( ) 2 1 2 1 10 2 1 2 ... 10 2 11 242 2 k k k b b b k k k k k + + + + = + + + + = +  = + = ， 解得 11k = 或 22k = − （舍去）. 17．(1)证明见解析， 13nna −= ； (2) 1 (2 1) 3 4 4 n n n T −  = + . 【分析】（1）根据递推式可得 1 3n na a+ = ，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前 n项和公式求 .nT 【详解】（1）由题设 1 13 2 1n na S+ += + ，则 1 13( ) 2n n na a a+ +− = ，整理得 1 3n na a+ = ， 又 1 1 0a =  ， 所以 na 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 13nna −= . （2）由 13nnb n −=  ，则 0 1 2 11 3 2 3 3 3 3nnT n −=  +  +  + + L ， 所以 1 2 3 13 1 3 2 3 3 3 ( 1) 3 3n nnT n n −=  +  +  + + −  +  ， 所以 0 1 2 3 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 2 n n n n nT n n −− − = + + + + + −  = −  − ， 所以 1 (2 1) 3 4 4 n n n T −  = + . 18．(1)分布列见解析； ( ) 2E  = (2)分布列见解析； ( ) 2 3 D  = (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出 期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差 即可； 答案第 10 页，共 12 页 （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为1，2 ，3， ( ) 1 2 4 2 3 6 C C 1 1 C 5 P  = = = ， ( ) 2 1 4 2 3 6 C C 3 2 C 5 P  = = = ， ( ) 3 4 3 6 C 1 3 C 5 P  = = = ， 所以甲正确完成面试题数的分布列为：  1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 ( ) 1 3 1 1 2 3 2 5 5 5 E  =  +  +  = . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：0 ，1， 2，3 ( ) 3 0 3 2 1 0 C 1 3 27 P    = = − =    ， ( ) 2 1 3 2 2 2 1 C 1 3 3 9 P    = =  − =    ， ( ) 2 1 2 3 2 2 4 2 C 1 3 3 9 P      = =  − =        ， ( ) 3 3 3 2 8 3 C 3 27 P    = = =    ， 所以乙正确完成面试题数的分布列为：  0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 所以 ( ) 1 2 4 8 0 1 2 3 2 27 9 9 27 E  =  +  +  +  = ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 2 4 8 2 0 2 1 2 2 2 3 2 27 9 9 27 3 D  = −  + −  + −  + −  = . （3）因为 ( ) 3 1 4 2 5 5 5 P   = + = ， ( ) 4 8 20 2 9 27 27 P   = + = ， 所以 ( ) ( )2 2P P    ，所以甲通过面试的可能性大. 19．(1)证明见解析； 2 1na n= − (2)12 (3)8 【分析】（1）根据题意，由 na 与 nS 的关系代入计算，结合等差数列的定义即可证明，再由 等差数列的通项公式即可得到结果； 答案第 11 页，共 12 页 （2）根据题意，先对数列 nb 的通项公式进行化简，再由裂项相消法求解 nT 的表达式，然后 代入计算，求解不等式，即可得到结果； （3）根据题意，先根据数列 na 的通项公式确定 nc 与n的关系，即可得到 2 4 8 16m m m m mc c c c c+ + + + 的表达式，然后求解不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为 ( )( )*1 Nn nS na n n n= − −  ①， 当 2n  时， ( ) ( )( )1 11 1 2n nS n a n n− −= − − − − ②， 由①−②可得： ( ) ( )( )2 11 1 2n n na na n n n a n n−= − + − − + − − ， 化简可得 ( ) ( ) ( )11 1 2 1n nn a n a n n−− − − = − ， 2n  ， 即 1 2n na a −− = ， 2n  ， 又 2 3a = ，当 2n = 时， 2 1 2 22 2S a a a= + = − ，解得 1 1a = ， 所以数列 na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 且 ( )1 1 2 2 1na n n= + −  = − . （2） ( )1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n b a a a a a a a a+ + + + = = +  + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + − − = =  + −  + − ( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 22 2 1 2 12 2 1 2 1 n n n n a a a na n n nn n + + + − −   = = = −  +− +  − −  ， 则 1 2 3n nT b b b b= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n   = − + − + − + + −  − +  1 1 1 2 2 1n   = −  +  ， 由 2 5 nT  可得 1 1 2 1 2 52 1n   −   +  ，化简可得 2 1 5n +  ，解得 12n  ， 答案第 12 页，共 12 页 所以使 2 5 nT  成立的最小正整数n的值为12 . （3）由 2 1na n= − 可得 1 2 1 1 2 2 na n n + − + = = ， 因为当 12 2 N,k kn k+   时， nc k= ， 设 12 2s sm +  ， Ns ， 则 1 22 2 2s sm+ +  ， 2 32 4 2s sm+ +  ， 3 42 8 2s sm+ +  ， 4 52 16 2s sm+ +  ， 所以 2 4 8 16, 1, 2, 3, 4m m m m mc s c s c s c s c s= = + = + = + = + ， 由 2 4 8 16 23m m m m mc c c c c+ + + + ，即5 10 13s +  ，解得 13 5 s  ， 且 Ns ，所以 3s  ， 当 3s = 时， 3 42 2m  ，即8 16m  ，所以正整数m 的最小值为8 .