精品解析：江苏省无锡市查桥中学2024-2025学年八年级下学期3月阶段性练习数学试题

初二数学阶段性测试 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 5. 为了清楚地反映各种兴趣小组人数占全班人数的百分比情况，最好选用（ ）统计图． A. 折线 B. 条形 C. 扇形 D. 不能确定 6. 某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有增根，则a的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 8. 如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　） A. 与的周长相等 B. 菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C. 与的面积相等 D. 菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 9. 如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 要了解南京市初中学生的视力状况，从在校初中学生中抽查了1000名学生的视力，则这次抽样的样本容量是______． 13. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 14. 若，则的值为__________． 15. 若分式的值为零，则x的值是______． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为_____． 17. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 18. 在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________． 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 先简化，再求值：（1+），其中x=3． 22. 如图，在中，点E、F在上，，． （1）求证：； （2）连接、，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，点的坐标为______； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，画出，连接，的面积为_____． 24. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图（如图）．请根据以上信息，解答下列问题． （1）参加调查的学生人数为_________名，图中的 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1560名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？ 25. 某校开展了一次作文竞赛，现随机选取了部分学生的作文竞赛成绩x（单位：分，成绩均不低于分），整理并制作成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 作文竞赛成绩频数分布直方图 作文竞赛成绩频数分布表 分数段 频数 百分比 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）上表中的 ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）若将调查结果按成绩分为优秀（）、良好（）和及格（）三个等级，并以此绘制成扇形统计图，求等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数． 26. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 27. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学阶段性测试 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出答案，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解分式有意义的条件：“分式的分母不为零．”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：， 故选：A． 3. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件； B、“水涨船高”是必然事件； C、“一箭双雕”是随机事件； D、“缘木求鱼”是不可能事件； 故选B． 5. 为了清楚地反映各种兴趣小组人数占全班人数的百分比情况，最好选用（ ）统计图． A. 折线 B. 条形 C. 扇形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、折线统计图的选择，熟练掌握它们各自特点是解决问题的关键． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据具体情况选择即可． 【详解】为了清楚地反映各种兴趣小组人数占全班人数的百分比情况，最好选用扇形统计图． 故选：C． 6. 某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，原计划每天制作套，则实际上平均每天制作套，再结合“提前4天完成任务”，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程：． 故选：C． 7. 若关于x的方程有增根，则a的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程有增根， ，即 将代入整式方程，得：，即． 故选：D． 8. 如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　） A. 与的周长相等 B. 菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C. 与的面积相等 D. 菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质依次进行判断即可． 【详解】解：A．在菱形中，， ∵由图可知，的周长，的周长， ∴的周长大于的周长 故选项错误，不符合题意； B．菱形的周长与两条对角线之和无关，故选项错误，不符合题意； C．，，则与的面积相等，故选项正确，符合题意； D．菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的运用，正确灵活的运用菱形的性质是解决问题的关键． 9. 如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算的长度，利用等边三角形的性质得到的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而确定点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点与点关于轴对称，点的坐标是， ∴的坐标为 ，， 是以的对角线为边的等边三角形， ， ， ， ， ， ∴点的坐标是， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答． 【详解】解：神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，由于事关重大，宜采用普查的调查方式． 故答案为：普查． 12. 要了解南京市初中学生的视力状况，从在校初中学生中抽查了1000名学生的视力，则这次抽样的样本容量是______． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了样本容量．根据样本容量的定义（样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位）解答即可． 【详解】解：要了解南京市初中学生的视力状况，从在校初中学生中抽查了1000名学生的视力，则这次抽样的样本容量是1000， 故答案为：1000． 13. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 【答案】④③②① 【解析】 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②①． 故答案为：④③②①． 14. 若，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 18. 在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6， ①如图： 由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15， 求出AE＝，AF＝3， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， 把AB＝5，AE＝代入求出BE＝， 同理DF＝3， ∴CE＝6+，CF＝3+5， 即CE+CF＝11+， ②如图： ∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝， 同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5， ∴CE+CF＝1+， 故答案为：11+或1+． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论． 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的减法运算法则即可求出答案． （2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 则是分式方程的增根，故原方程无解． 21. 先简化，再求值：（1+），其中x=3． 【答案】. 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= = =， 当x=3时，原式=． 考点：分式的化简求值． 22. 如图，在中，点E、F在上，，． （1）求证：； （2）连接、，求证：． 【答案】（1） 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴； （2） 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得，则，再得出，证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，则，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，点的坐标为______； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，画出，连接，的面积为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求，点； （2） 如图，即为所求，面积为15． 【解析】 【分析】（）关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解； （）根据题意作出相应图形，即可求解； 本题考查了中心对称和旋转作图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 24. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图（如图）．请根据以上信息，解答下列问题． （1）参加调查的学生人数为_________名，图中的 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1560名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？ 【答案】（1）； （2） 补全条形图如下： （3）估计该校四大名著一部没有读过的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本的百分比估计总体等知识，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据读部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数； （2）求出读1部的人数，可以将条形统计图补充完整； （3）用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为：（人）， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：读完部的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：（人） ∴估计该校四大名著一部没有读过的学生有人． 25. 某校开展了一次作文竞赛，现随机选取了部分学生的作文竞赛成绩x（单位：分，成绩均不低于分），整理并制作成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 作文竞赛成绩频数分布直方图 作文竞赛成绩频数分布表 分数段 频数 百分比 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）上表中的 ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）若将调查结果按成绩分为优秀（）、良好（）和及格（）三个等级，并以此绘制成扇形统计图，求等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数． 【答案】（1）； （2） 解：补全条形图如下： （3）等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数为． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）先由的频数及所占百分比求出样本容量，再进一步求解即可； （2）根据所求结果即可补全图形； （3）用乘以优秀等级人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数为． 26. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 【答案】（1）A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元； （2）所需的最少经费为6480元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．根据题意可得，解得；设所需经费为元，则，然后根据一次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：型垃圾桶的单价为100元，型垃圾桶的单价为120元． 【小问2详解】 解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个． 型垃圾桶的数量不超过型垃圾桶的倍， ，解得． 设所需经费为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为（元）． 答：所需的最少经费为6480元 27. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm． （2）①以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12﹣4t， ∴5t=12﹣4t， 解得， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $