第15课 乘法公式-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第15课 乘法公式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握平方差公式、完全平方公式. 2.会运用平方差公式、完全平方公式进行多项式的乘法运算. 3.会运用平方差公式、完全平方公式进行简便计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 平方差公式 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 知识点02 完全平方公式 完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ( 能力拓展 )考点01 平方差公式及应用 【典例1】计算： （1）（a+b）（a﹣2）； （2）； （3）（m+n）（m﹣n）； （4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）． 【即学即练1】计算： （1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）； （2）； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）； （4）； （5）． 考点02 完全平方公式及应用 【典例2】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【即学即练2】计算： （1）（a﹣b）2；（2）（﹣x2+3y2）2；（3）（﹣a2﹣2b）2；（4）（0.2x+0.5y）2． 考点03 公式的几何背景 【典例3】 我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a﹣b）2+2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． （1）根据以上变形填空： 已知a2+b2＝10，（a+b）2＝16，则ab＝ 　 　； （2）若2x+3y＝11，xy＝4，求2x﹣3y的值； （3）如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x、y，若x2+y2＝29，AE＝3，求图中阴影部分的面积之和． 【即学即练3】 【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　 　图②　 　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　 　； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）； 【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为　 　． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y） 2．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 3．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（　　） A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2 4．给出下列式子： ①（3a+4）（3a﹣4）＝9a2﹣4； ②（2a2﹣b）（2a2+b）＝4a2﹣b2； ③（3x﹣y）（3x+y）＝9x2﹣y2； ④（xy﹣3z）（xy+3z）＝x2y2﹣9z2． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．计算：（x﹣y）（﹣y+x） 的结果为（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．x2﹣2xy+y2 D．﹣x2﹣2xy﹣y2 6．化简：（a+1）2﹣（a﹣1）2＝（　　） A．2 B．4a C．4 D．2a2+2 7．利用完全平方公式计算992，下列变形最恰当的是（　　） A．（100﹣1）2 B．（101﹣2）2 C．（98+1）2 D．（50+48）2 8．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（　　） A．30ab B．60ab C．15a D．12ab 9．下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a+b）2＝a2﹣ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4 10．计算（3y+2）（3y﹣2）的结果为　 　． 11．计算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）＝ 　 　． 12．下列多项式中①（﹣a﹣b）（﹣b+a），②（xy+a）（xy﹣a），③（﹣2a﹣b）（2a+b），④能用平方差公式计算的：　 　（填写正确结论的序号）． 13．计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）； （2）（x3+2）（x3﹣2）： （3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 14．利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x﹣）（x2+）（x+）． 15．计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣b）2； （3）（a﹣b）2； （4）（﹣mn+）2． 16．计算： （1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2； （4）； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （6）． 题组B 能力提升练 17．计算（a+b）（﹣a﹣b）的结果是（　　） A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣2ab+b2 D．﹣a2﹣2ab﹣b2 18．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（　　） A．27 B．9 C．54 D．18 19．在运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x2﹣（2y﹣1）2] C．[（x﹣2y）2﹣1] D．[x+（2y+1）]2 20．已知x﹣＝1，则x2+＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 21．20242﹣2022×2026＝ 　 　． 22．某同学在计算4（5+1）（52+1）时，把4写成（5﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．请借鉴该同学的经验，计算：＝ 　 　． 23．【探索发现】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到等式 　 　． 【解决问题】若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ 　 　． 【拓展提升】如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝10，图中阴影部分面积为42，则两个正方形的面积和S1+S2＝ 　 　． 题组C 培优拔尖练 24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　） A．56 B．60 C．62 D．88 25．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 26．将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上． （1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值； （2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积． 27．【问题提出】 当多项式ax2+bx+c（a≠0）是某一个多项式的平方时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，发现：（﹣2）2＝4×1×1 当a＝1，b＝6，c＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2，发现：62＝4×1×9； 【问题解决】 （1）当ax2+bx+c＝（mx+n）2（a≠0）时，猜想a，b，c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 （2）若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式． 28．有边长分别为a，b（b＜a＜2b）的两种正方形（如图1）卡片若干． （1）将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； （2）将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； （3）将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c（a+b＞c＞a）的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若a2+b2＝c2，请直接写出S1与S2的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15课 乘法公式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握平方差公式、完全平方公式. 2.会运用平方差公式、完全平方公式进行多项式的乘法运算. 3.会运用平方差公式、完全平方公式进行简便计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 平方差公式 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 (a+b)(a-b)=a2-b2 知识点02 完全平方公式 完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ( 能力拓展 )考点01 平方差公式及应用 【典例1】计算： （1）（a+b）（a﹣2）； （2）； （3）（m+n）（m﹣n）； （4）（0.1﹣x）（0.1+x）； （5）（x+y）（﹣y+x）． 【思路点拨】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．即可解答本题． 【解析】解：（1）（a+b）（a﹣2） ＝a2+ba﹣2a﹣2b， （2）（x﹣）（x+） ＝， （3）（m+n）（m﹣n） ＝m2﹣n2， （4）（0.1﹣x）（0.1+x） ＝0.01﹣x2， （5）（x+y）（﹣y+x） ＝x2﹣y2． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，难度适中． 【即学即练1】计算： （1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）； （2）； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）； （4）； （5）． 【思路点拨】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即可解答本题． 【解析】解：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）＝25﹣4a2； （2）（+）（﹣）＝； （3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）＝9x2﹣25a2b2； （4）（）（）﹣（x+8）， ＝﹣4﹣﹣2x， ＝﹣2x﹣4； （5）（x﹣y）（）﹣（）（）， ＝（x﹣y）（）﹣（）， ＝． 【点睛】本题考查了平方差公式，属于基础题，关键是掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 考点02 完全平方公式及应用 【典例2】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【思路点拨】直接利用完全平方公式计算即可． 【解析】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y+； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 【点睛】此题考查完全平方公式在计算中的运用． 【即学即练2】计算： （1）（a﹣b）2；（2）（﹣x2+3y2）2；（3）（﹣a2﹣2b）2；（4）（0.2x+0.5y）2． 【思路点拨】利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2计算即可． 【解析】解：（1）原式＝a2﹣ab+b2； （2）原式＝x4﹣6x2y2+9y4； （3）原式＝a4+4a2b+4b2； （4）原式＝0.04x2+0.2xy+0.25y2． 【点睛】本题主要考查对完全平方公式的运用，准确确定出公式中的a、b是解题的关键． 考点03 公式的几何背景 【典例3】 我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a﹣b）2+2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． （1）根据以上变形填空： 已知a2+b2＝10，（a+b）2＝16，则ab＝ 　3　； （2）若2x+3y＝11，xy＝4，求2x﹣3y的值； （3）如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x、y，若x2+y2＝29，AE＝3，求图中阴影部分的面积之和． 【思路点拨】（1）根据2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）即可求解； （2）根据（2x﹣3y）2＝（2x+3y）2﹣24xy求出（2x﹣3y）2，即可求解； （3）根据题意可得：AB＝AD＝CD＝BC＝x，BE＝EF＝GF＝BG＝y，AE＝CG＝x﹣y＝3，得到，根据x2+y2＝29，x﹣y＝3，求出2xy，进而得到（x+y）2＝49，可求出x+y的值，即可求解． 【解析】解：（1）由条件可知2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝16﹣10＝6， ∴ab＝3， 故答案为：3； （2）由条件可知（2x﹣3y）2＝（2x+3y）2﹣24xy＝112﹣24×4＝25， ∴2x﹣3y＝±5； （3）∵正方形ABCD、BEFG的边长分别为x、y， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝x，BE＝EF＝GF＝BG＝y， ∴AE＝CG＝x﹣y＝3， ∴， ∵x2+y2＝29，x﹣y＝3， ∴2xy＝（x2+y2）﹣（x﹣y）2＝29﹣32＝20， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝29+20＝49， ∴x+y＝7（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． 【即学即练3】 【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　a2﹣b2　图②　（a+b）（a﹣b）　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　12　； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）； 【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为　264﹣1　． 【思路点拨】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，而图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，可表示出面积为（a+b）（a﹣b）． （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式； ①利用公式将4m2﹣n2写成（2m﹣n）（2m+n）进而求出答案， ②连续两次利用平方差公式进行计算即可， 将原式转化为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再连续使用平方差公式，得出最后的结果． 【解析】解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12， 故答案为：12； ②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81； 【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）， ＝264﹣1． 【点睛】考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y） 【思路点拨】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【解析】解：A、（x+2）（x+2）＝（x+2）2，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，符合平方差公式的特点，故C选项正确； D、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键． 2．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【思路点拨】根据平方差公式计算即可． 【解析】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（　　） A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2 【思路点拨】因为本题是“括号的平方”这种形式，因此我们可以从括号里面提出一个﹣1，平方后变为1，剩下的就是（x+2y）2，展开后就能得出答案． 【解析】解：（﹣x﹣2y）2＝（x+2y）2＝x2+4xy+4y2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查我们的公式变形能力，熟练掌握公式结构是求解的关键． 4．给出下列式子： ①（3a+4）（3a﹣4）＝9a2﹣4； ②（2a2﹣b）（2a2+b）＝4a2﹣b2； ③（3x﹣y）（3x+y）＝9x2﹣y2； ④（xy﹣3z）（xy+3z）＝x2y2﹣9z2． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】运用平方差公式运算即可判断． 【解析】解：（3a+4）（3a﹣4）＝9a2﹣16，则①错误， （2a2﹣b）（2a2+b）＝4a4﹣b2，则②错误， （3x﹣y）（3x+y）＝9x2﹣y2，则③正确， （xy﹣3z）（xy+3z）＝x2y2﹣9z2，则④正确， 综上，只有③④正确，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算—平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 5．计算：（x﹣y）（﹣y+x） 的结果为（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．x2﹣2xy+y2 D．﹣x2﹣2xy﹣y2 【思路点拨】根据完全平方公式求出答案即可． 【解析】解：（x﹣y）（﹣y+x） ＝（x﹣y）（x﹣y） ＝（x﹣y）2 ＝x2﹣2xy+y2， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：（a±b）2＝a2±2 a b+b2． 6．化简：（a+1）2﹣（a﹣1）2＝（　　） A．2 B．4a C．4 D．2a2+2 【思路点拨】根据完全平方公式展开计算即可． 【解析】解：（a+1）2﹣（a﹣1）2 ＝a2+2a+1﹣a2+2a﹣1， ＝4a， 故选：B． 【点睛】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行计算． 7．利用完全平方公式计算992，下列变形最恰当的是（　　） A．（100﹣1）2 B．（101﹣2）2 C．（98+1）2 D．（50+48）2 【思路点拨】选择最简单的计算方式即可． 【解析】解：992＝（100﹣1）2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键． 8．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（　　） A．30ab B．60ab C．15a D．12ab 【思路点拨】已知等式利用完全平方公式化简，即可确定出A． 【解析】解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A， ∴A＝（5a+3b）2﹣（5a﹣3b）2 ＝25a2+30ab+9b2﹣（25a2﹣30ab+9b2） ＝25a2+30ab+9b2﹣25a2+30ab﹣9b2 ＝60ab． 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a+b）2＝a2﹣ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4 【思路点拨】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算判断即可． 【解析】解：A、（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，故此选项不符合题意； B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意； D、（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握这两个乘法公式是解题的关键． 10．计算（3y+2）（3y﹣2）的结果为　9y2﹣4　． 【思路点拨】根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（3y+2）（3y﹣2）＝9y2﹣4， 故答案为：9y2﹣4． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 11．计算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）＝ 　a﹣9　． 【思路点拨】利用平方差公式以及单项式乘多项式将式子展开，然后合并同类项即可． 【解析】解：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a） ＝a2﹣9+a﹣a2 ＝a﹣9． 故答案为：a﹣9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 12．下列多项式中①（﹣a﹣b）（﹣b+a），②（xy+a）（xy﹣a），③（﹣2a﹣b）（2a+b），④能用平方差公式计算的：　①②　（填写正确结论的序号）． 【思路点拨】对多项式逐项运算，再根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可． 【解析】解：①∵（﹣a﹣b）（﹣b+a）＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴能用平方差公式计算，故①符合题意； ②∵（xy+a）（xy﹣a）＝（xy）2﹣a2＝x2y2﹣a2，∴能用平方差公式计算，故②符合题意； ③∵（﹣2a﹣b）（2a+b）＝﹣（2a+b）（2a+b）＝﹣（2a+b）2，∴不能用平方差公式计算，故③不合题意； ④∵，∴不能用平方差公式计算，故④不合题意； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 13．计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）； （2）（x3+2）（x3﹣2）： （3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 【思路点拨】（1）直接运用平方差公式展开； （2）先根据平方差公式展开得到原式＝（x3）2﹣22，然后根据幂的乘方法则运算； （3）先提负号得到原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n），然后根据平方差公式计算． 【解析】解：（1）原式＝x2﹣9y2； （2）原式＝（x3）2﹣22 ＝x6﹣4； （3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n） ＝﹣（4m2﹣n2） ＝﹣4m2+n2． 【点睛】本题考查了平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 14．利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x﹣）（x2+）（x+）． 【思路点拨】（1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【解析】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 ＝x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x﹣）（x2+）（x+） ＝（x2﹣）（x2+） ＝x4﹣． 【点睛】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 15．计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣b）2； （3）（a﹣b）2； （4）（﹣mn+）2． 【思路点拨】利用完全平方公式求解即可． 【解析】解：（1）（﹣5a+4b）2 ＝（﹣5a）2+2×（﹣5a）×4b+（4b）2 ＝25a2﹣40b+16b2， （2）（2a﹣b）2 ＝（2a）2﹣2×2a×（b）+（）2 ＝4a2﹣+， （3）（a﹣b）2 ＝﹣2×+ ＝， （4）（﹣mn+）2 ＝ ＝． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，要注意符号． 16．计算： （1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2； （4）； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （6）． 【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【解析】解：（1）原式＝1+8a+16a2； （2）原式＝25﹣30y+9y2； （3）原式＝x4﹣12x2y+36y2； （4）原式＝4x2+x+； （5）原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1； （6）原式＝x2+2xy+4y2+x2﹣2xy+4y2＝x2+8y2． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 题组B 能力提升练 17．计算（a+b）（﹣a﹣b）的结果是（　　） A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣2ab+b2 D．﹣a2﹣2ab﹣b2 【思路点拨】首先把（a+b）（﹣a﹣b）变为﹣（a+b）（a+b），然后利用完全平方公式是即可求解． 【解析】解：（a+b）（﹣a﹣b） ＝﹣（a+b）（a+b） ＝﹣（a2+2ab+b2） ＝﹣a2﹣2ab﹣b2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用完全平方公式进行多项式的乘法，解题时关键是首先把其中一个因式的负号提出来即可利用公式解决问题． 18．已知xy＝9，x﹣y＝﹣3，则x2+3xy+y2的值为（　　） A．27 B．9 C．54 D．18 【思路点拨】把x﹣y＝﹣3两边平方后得到x2﹣2xy+y2＝9，再把代数式变形后，代入数据即可求值． 【解析】解：∵x﹣y＝﹣3， ∴（x﹣y）2＝9， 即x2﹣2xy+y2＝9， ∴x2+3xy+y2＝x2﹣2xy+y2+5xy＝9+45＝54． 故选：C． 【点睛】主要考查了完全平方公式两个公式的区别和联系．要求熟悉公式的特点，并利用整体代入思想达到简便解题的目的． 19．在运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x2﹣（2y﹣1）2] C．[（x﹣2y）2﹣1] D．[x+（2y+1）]2 【思路点拨】利用平方差公式直接变形即可． 【解析】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1） ＝[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] ＝[x2﹣（2y﹣1）2]． 故选：B． 【点睛】此题考查平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，解题关键是分清几个数的符号． 20．已知x﹣＝1，则x2+＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解． 【解析】解：∵x﹣＝1， ∴（x﹣）2＝1， 即x2﹣2+＝1， ∴x2+＝3． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母． 21．20242﹣2022×2026＝ 　4　． 【思路点拨】原式变形为20242﹣（2024﹣2）×（2024+2），运用平方差公式计算即可． 【解析】解：原式＝20242﹣（2024﹣2）×（2024+2） ＝20242﹣（20242﹣22） ＝20242﹣20242+4 ＝4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 22．某同学在计算4（5+1）（52+1）时，把4写成（5﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．请借鉴该同学的经验，计算：＝ 　2　． 【思路点拨】将要求的式子变形为2 ，然后连续利用平方差公式计算即可． 【解析】解： ＝2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方差公式，理解题意正确变形是解题的关键． 23．【探索发现】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到等式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． 【解决问题】若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ 　12　． 【拓展提升】如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝10，图中阴影部分面积为42，则两个正方形的面积和S1+S2＝ 　16　． 【思路点拨】[探索发现]根据大正方形的面积等于两个小正方形和两个长方形的面积之和列等式即可； [解决问题]根据图1所得等式计算即可； [拓展提升]设AC＝a，BC＝b，则，，由题意可得a+b＝10，ab＝42，再根据完全平方公式计算出a2+b2＝16，即可得到答案． 【解析】解：[探索发现] 如图1可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； [解决问题] 由图1所得等式转化可得，2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）， ∵x+y＝8，x2+y2＝40， ∴2xy＝82﹣40＝24， ∴xy＝12， 故答案为：12； [拓展提升] 设AC＝a，BC＝b， 则，， 由条件可知a+b＝10，ab＝42， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×42＝16， ∴， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． 题组C 培优拔尖练 24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　） A．56 B．60 C．62 D．88 【思路点拨】利用“神秘数”定义判断即可． 【解析】解：∵60＝162﹣142， ∴60是“神秘数”， 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 25．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 【思路点拨】（1）利用完全平方公式将两式展开后利用等式的性质依次求得a2+b2＝5，ab＝﹣2即可得出结论； （2）利用完全平方公式解答即可． 【解析】解：（1）∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9， ∴a2+2ab+b2＝1①，a2﹣2ab+b2＝9②， ①+②得：2a2+2b2＝10， ∴a2+b2＝5， ①﹣②得：4ab＝﹣8， ∴ab＝﹣2， ∴a2+b2﹣ab＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7； （2）∵（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047， ∴（a﹣2024）（2025﹣a）＝﹣2047， ∵（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝[（a﹣2024）+（2025﹣a）]2﹣2（a﹣2024）2+（2025﹣a）2， ∴（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝12﹣2×（2047）＝1+4094＝4095． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 26．将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上． （1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值； （2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）根据平方差公式代入计算即可； （2）用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式的结构特征进行计算即可． 【解析】解：（1）∵y2﹣x2＝20，即（y+x）（y﹣x）＝20，而x+y＝10， ∴y﹣x＝2， 答：y﹣x的值为2； （2）由题意得， S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG ＝x2+y2﹣x（x+y）﹣y2 ＝x2﹣xy+y2 ＝[（x+y）2﹣2xy]﹣xy 当x+y＝8，xy＝14时， 原式＝×（64﹣28）﹣×14 ＝18﹣7 ＝11， 答：阴影部分的面积是11． 【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 27．【问题提出】 当多项式ax2+bx+c（a≠0）是某一个多项式的平方时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，发现：（﹣2）2＝4×1×1 当a＝1，b＝6，c＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2，发现：62＝4×1×9； 【问题解决】 （1）当ax2+bx+c＝（mx+n）2（a≠0）时，猜想a，b，c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 （2）若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式． 【思路点拨】（1）猜想b2＝4ac，由题意得到ax2+bx+c＝（mx+n）2＝m2x2+2mnx+n2，进而得到a＝m2，b＝2mn，c＝n2，即可验证结论； （2）设单项式为py或qy4，得到4y2+py+4＝（2y±2）2，得出py＝±2×2y×2＝±8y，或qy4+4y2+4＝（y2+2）2，即可得到答案． 【解析】解：（1）猜想b2＝4ac， 验证：∵ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2， ∴a＝m2，b＝2mn，c＝n2， ∴b2＝4m2n2＝4ac； （2）这个单项式为乘积2倍时，设单项式为py， ∴py＝±2×2y×2＝±8y， 这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为qy4， ∴qy4+4y2+4＝（y2+2）2， 这个单项式为y4， ∴单项式为8y或﹣8y或y4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 28．有边长分别为a，b（b＜a＜2b）的两种正方形（如图1）卡片若干． （1）将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； （2）将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； （3）将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c（a+b＞c＞a）的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若a2+b2＝c2，请直接写出S1与S2的数量关系． 【思路点拨】（1）根据正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，得AE＝a﹣b，CH＝a﹣b，由此可得出阴影部分的周长； （2）根据正方形ABC的边长为b，正方形EFPA和正方形KHQD的边长均为b，得AE＝b﹣KE，再根据AD＝AE+DE＝a得b﹣KE+b＝a，则KE＝2b﹣a，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形ABCD的边长为c，正方形AEFG的边长为a，正方形HKCP的边长为b，得DG＝c﹣a，DP＝c﹣b，BE＝c﹣a，HQ＝b﹣c+a，QF＝b﹣c+a，进而得S1＝DG•DP＝c2﹣ac﹣bc+ab，S2＝HQ•QF＝b2+a2+c2﹣2bc﹣2ac+2ab，再根据a2+b2＝c2得S2＝2（c2﹣ac﹣bc+ab），由此可得出S1与S2的数量关系． 【解析】解：（1）如图2所示： ∵正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，EF＝FH＝HD＝DE＝b， ∴AE＝a﹣b，CH＝a﹣b， ∴阴影部分的周长为：AB+BC+AE+CH+EF+FH＝2a+2（a﹣b）+2b＝4a； （2）如图3所示： ∵正方形ABC的边长为b，正方形EFPA和正方形KHQD的边长均为b， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，AP＝EF＝OH＝KH＝AK＝EF＝FQ＝QD＝DE＝b， ∴AE＝b﹣KE， ∵AD＝AE+DE＝a， ∴b﹣KE+b＝a， ∴KE＝2b﹣a， ∴阴影部分的周长为：2（KE+EF）＝2（2b﹣a+b）＝6b﹣2a； （3）S1与S2的数量关系是：2S1＝S2，理由如下： 如图4所示： ∵正方形ABCD的边长为c，正方形AEFG的边长为a，正方形HKCP的边长为b， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝c，AE＝EF＝FG＝GA＝a，HK＝KC＝CP＝PH＝b， ∴DG＝AD﹣GA＝c﹣a，DP＝CD﹣CP＝c﹣b，BE＝AB﹣AE＝c﹣a， ∴HQ＝HK﹣BE＝b﹣（c﹣a）＝b﹣c+a，QF＝HP﹣DG＝b﹣（c﹣a）＝b﹣c+a， ∴S1＝DG•DP＝（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣ac﹣bc+ab，S2＝HQ•QF＝（b﹣c+a）（b﹣c+a）＝b2+a2+c2﹣2bc﹣2ac+2ab， ∵a2+b2＝c2， ∴S2＝2c2﹣2bc﹣2ac+2ab＝2（c2﹣ac﹣bc+ab）， ∴2S1＝S2． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，准确识图，熟练掌握正方形的性质，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$