10.2 事件的相互独立性 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 目录 知识点一：事件的相互独立性 1 知识点二：相互独立事件的概率计算公式 1 题型1： 相互独立性的判断 2 题型2： 相互独立事件概率的计算 4 题型3：复杂事件概率的计算 5 知识点一：事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生. 当事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立. 知识点二：相互独立事件的概率计算公式 1. 对于个相互独立事件，有。这个公式叫作概率的和与积的互补公式. 2. 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件A，B的情形 概率计算公式 A，B同时发生 P()=P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型1： 相互独立性的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，则这两个事件是相互独立的. 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 【例1.1.】 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【例1.2.】 甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例1.3.】 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.4.】 已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【例1.5.】 （多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【例1.6.】 （多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【例1.7.】 （多选）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【例1.8.】 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 题型2： 相互独立事件概率的计算 【例2.1.】 已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ． 【例2.4.】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【例2.5.】 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 【例2.6.】 某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（     ） A． B． C． D． 【例2.7.】 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【例2.9.】 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【例2.10.】 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ． 【例2.11.】 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 题型3：复杂事件概率的计算 方法提炼 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例3.1.】 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 【例3.2.】 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. (1)求丙每局都获胜的概率 (2)求甲获得比赛胜利的概率. 【例3.3.】 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题分别加分、分、分、分，答错任一题减分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求甲考生本轮答题结束时恰答了道题的概率； (2)求甲考生能进入下一轮的概率. 【例3.4.】 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【例3.5.】 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【例3.6.】 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; (2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【例3.7.】 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为． 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 【例3.8.】 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【例3.9.】 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【例3.10.】 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 事件的相互独立性 目录 知识点一：事件的相互独立性 1 知识点二：相互独立事件的概率计算公式 1 题型1： 相互独立性的判断 2 题型2： 相互独立事件概率的计算 7 题型3：复杂事件概率的计算 13 知识点一：事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生. 当事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立. 知识点二：相互独立事件的概率计算公式 1. 对于个相互独立事件，有。这个公式叫作概率的和与积的互补公式. 2. 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件A，B的情形 概率计算公式 A，B同时发生 P()=P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型1： 相互独立性的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，则这两个事件是相互独立的. 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 【例1.1.】 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【详解】 ， 故选：B 【例1.2.】 甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 【例1.3.】 若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，则， 而，， 所以，所以事件相互独立， 反过来，当，， 此时，，满足， 事件相互独立，所以不一定， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 【例1.4.】 已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 【例1.5.】 （多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【答案】ABC 【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、， 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生， 故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误； 事件包含的基本事件有、、， 事件包含的基本事件有， 当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥， 显然不对立，故B错误； 又事件包含的基本事件有，所以， 所以，故C错误； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 即事件、、两两独立，故D正确. 故选：ABC 【例1.6.】 （多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】BCD 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 【例1.7.】 （多选）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 【例1.8.】 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； (2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 【详解】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：. （2）事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为， 故至少收到一个正确信号的概率为； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 因为，所以事件A与事件B不互相独立. 题型2： 相互独立事件概率的计算 【例2.1.】 已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 【例2.2.】 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝， 所以P（AB）＝P（A）P（B）＝， 所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-= 故选：C 【例2.3.】 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ． 【答案】. 【详解】设甲同学收到李老师和张老师的信息分别为事件A，B，且相互独立，∴， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知为：. 故答案为：. 【例2.4.】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 【例2.5.】 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 【答案】 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：；. 【例2.6.】 某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C， 则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率 ， 故选：C. 【例2.7.】 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 【例2.8.】 高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为， 则①， 又三个社团都进不了的概率为， 所以②， 由①②可得，． 故选：A． 【例2.9.】 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 【例2.10.】 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ． 【答案】0.18 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【例2.11.】 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 题型3：复杂事件概率的计算 方法提炼 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例3.1.】 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以 (2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分” 所以 【例3.2.】 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. (1)求丙每局都获胜的概率 (2)求甲获得比赛胜利的概率. 【详解】（1）丙每局都获胜有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜， 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率， 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率， 丙每局都获胜的概率. （2）设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件， 比赛进行三局，甲获胜的概率为， 比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA， 甲获胜的概率为， 比赛进行七局，有一下8种情况： AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，. 甲获胜的概率为， 故甲获得比赛胜利的概率为. 【例3.3.】 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题分别加分、分、分、分，答错任一题减分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求甲考生本轮答题结束时恰答了道题的概率； (2)求甲考生能进入下一轮的概率. 【详解】（1）设分别为第一、二、三、四个问题，用分别表示甲考生在第k个问题回答正确的概率，则， 记“本轮答题结束时甲恰答了道题”为事件. 则. （2）记“甲考生能进入下一轮”为事件，则 【例3.4.】 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； （2）甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 【例3.5.】 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【例3.6.】 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; (2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【详解】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为. 设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球, 则, 故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为. （2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为 . ②比分为2:2的概率为. ③比分为3:2的概率为 . 综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 【例3.7.】 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为． 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 【详解】（1）记“他得分不低于10分”为事件，则 ； （2）记“方案一通过决赛”为事件， 则， 记“方案二通过决赛”为事件， 则， 因为， 所以推荐方案二给小红． 【例3.8.】 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 【例3.9.】 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 【例3.10.】 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$