10.3频率与概率【六大考点+六大题型】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦高中数学“频率与概率”核心知识点，系统梳理频率稳定性、随机模拟等知识，通过“频率与概率关系、频率计算、用频数及随机模拟估计概率、生活概率解析、概率思想应用”六大考点，构建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 该资料以生活实例设计题型，如天气预报模拟、吸烟调查等，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过随机模拟试验和频率计算培养数学思维，双基达标含多样题型，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

10.3频率与概率 【考点梳理】 · 考点一：频率与概率的关系 · 考点二、计算频率 · 考点三：用频数计算概率问题 · 考点四：用随机模拟估计概率 · 考点五：生活中概率的解析 · 考点六：概率思想的实际应用 【知识梳理】 知识点01：频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点02：　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【题型归纳】 题型一：频率与概率的关系 【典例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【变式1】．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【变式2】．．（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） （1）概率反映随机事件发生的可能性大小； （2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率； （3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值； （4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、计算频率 【典例2】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【变式1】．．（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【变式2】．．（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 题型三：用频数计算概率问题 【典例3】．（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．．（25-26高二上·海南·阶段检测）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 题型四：用随机模拟估计概率 【典例4】．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一下·河南·阶段检测）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 题型五：生活中概率的解析 【典例5】．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【变式1】．．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式2】．．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 题型六：概率思想的实际应用 【典例6】．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【变式1】．．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 【变式2】．．（23-24高一上·湖北十堰·自主招生）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 4．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 6．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 7．（23-24高二下·重庆·阶段检测）敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 8．（2023高三·全国·专题练习）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 二、多选题 9．（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 11．（2022·山东潍坊·模拟预测）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（    ） A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B．骑车时间的众数的估计值是21分钟 C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟 D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 12．（2022·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（    ） A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人 B．该医院青年患者所占的频率为 C．该医院的平均治愈率约为28.7% D．该医院的平均治愈率约为31.3% 13．（21-22高一上·贵州遵义·期末）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（    ） A．m的值是32% B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 三、填空题 14．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 15．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 16．（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 17．（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为________，成绩优秀的经验概率是________． 四、解答题 18．（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求，的值； (2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 20．（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 21．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3频率与概率 【考点梳理】 · 考点一：频率与概率的关系 · 考点二、计算频率 · 考点三：用频数计算概率问题 · 考点四：用随机模拟估计概率 · 考点五：生活中概率的解析 · 考点六：概率思想的实际应用 【知识梳理】 知识点01：频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点02：　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【题型归纳】 题型一：频率与概率的关系 【典例1】．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 【变式1】．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 【变式2】．．（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） （1）概率反映随机事件发生的可能性大小； （2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率； （3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值； （4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据频率与概率的概念逐个分析可得答案. 【详解】概率反映随机事件发生的可能性大小，故（1）正确； 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率是事件发生的概率的近似值，故（2）不正确； 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依濑于试验次数的理论值，故（3）正确； 在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值，故（4）正确. 故选：C 题型二、计算频率 【典例2】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 【变式1】．．（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【详解】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 【变式2】．．（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（    ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 题型三：用频数计算概率问题 【典例3】．（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 【变式1】．．（25-26高二上·海南·阶段检测）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 【变式2】．．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 题型四：用随机模拟估计概率 【典例4】．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 【变式1】．．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 【变式2】．．（24-25高一下·河南·阶段检测）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 题型五：生活中概率的解析 【典例5】．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B 【变式1】．．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【变式2】．．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 题型六：概率思想的实际应用 【典例6】．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 【变式1】．．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【详解】（1）由题可知，，解得. （2）若第一次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 故这两次取出的球的颜色不同的概率为. （3）若黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为. 【变式2】．．（23-24高一上·湖北十堰·自主招生）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 【详解】（1）设袋中黄球的个数为，依题意得，解得； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有1种，所以两次摸到都是红球的概率为； （3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，依题意得， 整理得， 当时，，（舍去）；当时，，（舍去）； 当时，，；当时，，；当时，，； 所以小芳的摸法有： 2次摸到红球、4次摸到黄球、0次摸到蓝球； 3次摸到红球、2次摸到黄球、1次摸到蓝球； 4次摸到红球、0次摸到黄球、2次摸到蓝球. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 3．（24-25高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 【答案】B 【分析】分别计算出两种策略的平均总成本，进行比较即可判断． 【详解】先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）．下个月价格：上涨后为元，下跌后为元，概率各，则下月购买第2件的平均成本为元； 所以总平均成本：元． 再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，总成本固定为元（享受折扣后无价格风险）． 所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优， 故选：B． 4．（24-25高二上·湖北·期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【分析】由频率可得到概率估计值. 【详解】设事件为 “甲获胜”， 20组随机数，其中事件发生了18次， . 故选：A. 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 6．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 7．（23-24高二下·重庆·阶段检测）敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从而可分别计算出回答问题A、B的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 8．（2023高三·全国·专题练习）某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（    ） A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图结合统计、概率相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故A正确； 对于B，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故B正确； 对于C，该校高三年级学生的平均做作业的时间为 ， 故C不正确； 对于D，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的频率为， 估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间，故D正确． 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可． 【详解】对于A，次品率是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误； 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确； 对于C，“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件”每次投骰子出现1的概率是， 连续10次出现1的概率是，虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误； 对于D，概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果（5次中1次）来直接确定，这只是这次试验的频率，不是概率，故D错误． 本题选择不正确的，故选：ACD． 11．（2022·山东潍坊·模拟预测）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（    ） A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B．骑车时间的众数的估计值是21分钟 C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟 D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 【答案】BCD 【分析】对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可； 对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值； 对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可； 对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可. 【详解】对于A：，， 所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误； 对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确； 对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确； 对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为： ， 骑车时间的平均数的估计值为： ， 则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确. 故选：BCD. 12．（2022·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（    ） A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人 B．该医院青年患者所占的频率为 C．该医院的平均治愈率约为28.7% D．该医院的平均治愈率约为31.3% 【答案】ABC 【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项. 【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确； 对于B，青年患者所占的频率为，正确； 对于C，平均治愈率为，正确； 对于D，由C知错误. 故选：ABC. 13．（21-22高一上·贵州遵义·期末）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（    ） A．m的值是32% B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ACD 【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误； 对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 14．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【分析】利用独立重复试验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 15．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 16．（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 17．（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为________，成绩优秀的经验概率是________． 【答案】 100 0.15/ 【分析】由各组的频率和为1，求出第二小组的频率，再根据第二小组的频数可求出参赛的人数，求出80分以上的频率可得成绩优秀的经验概率. 【详解】因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05， 所以第二小组的频率为， 因为第二小组的频数是40，所以参赛的人数为， 因为80分以上的频率为， 所以成绩优秀的经验概率是. 故答案为：100， 四、解答题 18．（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求，的值； (2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由频率直方图的性质得， ， 化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得， 代入得，． （2）样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，组抽2人，记为 从6人中选2人，总共抽法为： ， ，共计种； 两人来自不同小组的事件为： ，共计8种， 故概率为：． （3）已知这个分数的平均数，故总和为：， 剔除和后，剩余8个分数总和：， 故剩余8个分数的平均数为：． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】(1) (2) (3)青年人 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． （2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． （3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 20．（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【答案】(1)，71； (2)不需要调整，理由见解析； (3)82% 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解； （2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论； （3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； （2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； （3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 21．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $