10.2 事件的相互独立性讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题10.2 事件的相互独立性 (知识梳理及题型总结) ·模块一 事件的相互独立 ·模块二 课后作业 模块一 事件的相互独立 1. 事件相互独立的定义 对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立。 2. 事件相互独立的性质 （1） 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立； （2） 必然事件、不可能事件∅都与任意事件相互独立。 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称读点概型。 3. 判断两个事件相互独立的方法 （1） 直接法：由事件本身的特点直接判断两个事件发生是否相互影响。 （2） 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立。 4. 相互独立事件与互斥事件的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发何时能的概率没有影响。 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。 5. 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1） 用恰当的字母表示题中有关事件； （2） 分析事件间的关系，明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等。 事件 表示 概率 A,B互斥 A,B相互独立 A,B中至少有一个发生 A P(A)+P(B) 1 A,B都发生 AB 0 P(A)P(B) A,B都不发生 A,B恰有一个发生 P(A)+P(B) P(A)P( A,B中至多有一个发生 1 1 当直接计算所求事件的概率较复杂时，可间接地计算其对立事件的概率。 【考点1 相互独立事件与互斥事件】 【例1.1】已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 【例1.2】已知事件和事件相互独立，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据独立事件的性质可得事件和事件相互独立，再根据独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立， 则. 故答案为：. 【变式1.1】已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 【变式1.2】某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【考点2 独立事件的乘法公式】 【例2.1】甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 ． 【答案】/0.875 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率列式求解. 【详解】由三人中只有甲通过测试的概率为，得，解得， 所以甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率． 故答案为： 【例2.2】甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出第次是丙投篮的所有情况，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的加法公式可求得所事件的概率. 【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示： 第1次投篮 第2次投篮 第3次投篮 第4次投篮 第5次投篮 情况1 甲（投中） 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙 情况2 甲（投中） 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况3 甲（未投中） 乙（投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况4 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况5 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况6 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙（投中） 丙 因此第次是丙投篮的概率为， 故选：B. 【变式2.1】已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的性质可知事件，也是相互独立事件，再由相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件， 又，，所以，， 所以. 故选：A 【变式2.2】甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球，乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第2次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合古典概型概率公式，即可求解；若第2次交换后，甲的口袋依然只有1个白球，包含这两次甲和乙都交换的黑球，以及第一次甲的白球和乙的黑球交换，第二次甲的黑球和乙的白球交换，再结合概率公式，即可求解. 【详解】若第1次交换后，甲的口袋有3个黑球，则甲第一次取到白球与乙交换， 所以概率； 若第2次交换后，甲的口袋依然只有1个白球，包含2种情况， 第一种情况，这两次甲和乙都交换的黑球，概率为， 第二种情况，第一次甲的白球和乙的黑球交换，第二次甲的黑球和乙的白球交换，概率， 所以第2次交换后，甲的口袋依然只有1个白球的概率. 故答案为：； 【考点3 独立事件的实际应用】 【例3.1】甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率; (2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 【例3.2】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 【变式3.1】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 模块二 课后作业 1．已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助相互独立事件的性质可得. 【详解】由事件，相互独立，则. 故选：A. 2．（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：利用相互独立的性质即可判断；对于选项B：由互斥可得到，而不一定为0，进而做出判断；对于选项C：由，结合与互斥即可判断；对于选项D：由事件的关系可得与是对立事件，结合概率的性质即可判断. 【详解】对于选项A：因为相互独立，所以与也相互独立，所以,故选项A正确； 对于选项B：因为互斥，所以与不能同时发生，故，而不一定为0,故选项B错误； 对于选项C：因为，而与互斥，故，故选项C正确； 对于选项D：因为，，故与是对立事件，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 3．（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【分析】对于AB：根据独立事件的定义分析判断；对于C：先求，根据独立事件的乘法公式分析判断；对于D：根据互斥事件与独立事件的关系分析判断. 【详解】对于选项A：把一枚硬币掷两次，对于每次而言结果都是相互独立的， 即其结果不受先后次序的影响．所有事件是相互独立事件，故A正确； 对于选项B：不放回地摸球，显然事件A与事件不相互独立，故B错误； 对于选项C：事件A为出现1，3，5点，， “出现点数为3或4”，则， “出现点数为3”，则， 因为，所以事件相互独立，故C正确； 对于选项D：可知两事件是互斥事件，所以事件不是相互独立事件，故D错误． 故选：AC. 4．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 5．设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设样本空间含有个样本点，根据已知求出，结合独立事件的概率公式列出方程，求解得出，即可得出答案. 【详解】设样本空间含有个样本点， 由已知可得，， 所以，. 因为事件A与事件相互独立， 所以， 即，解得． 故选：B. 6．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，可得两次掷出点数之和为奇数为事件，利用并事件与互斥事件的概率公式可求概率. 【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件， 则， 记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件， 则， 则两次掷出点数之和为奇数为事件， 所以. 故选：B. 7．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率计算出对应概率，再由独立事件乘法公式计算即可. 【详解】设事件为从中抽取的三个元素之和不大于8，设事件为从中抽取的三个元素之和大于8， 根据题意,从集合中任取3个不同的元素，则有4种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和不大于8有3种可能，所以， 从集合中任取三个不同的元素，则事件有10种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和大于8有6种可能，所以， 所以， 即则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为. 故选：B 8．已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 【答案】 【分析】利用求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 . 【答案】0.46/ 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 10. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 【答案】/0.104 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 11. 某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）第一题结束时甲获得1分的概率为. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为， 两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率， 故甲获得胜利的概率. 12. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 13. 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即 14. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，，故； （2）用表示“两人共命中2次”， ． 15. （1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；    （2）已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立. 【答案】（1）平均分；中位数为；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知求出，利用平均数和中位数的定义和公式求解即可； （2）利用相互独立事件概率公式和和事件概率公式推导即可. 【详解】（1）由已知得， 则， 所以. 该班学生数学成绩的平均分的估计值为： ， 因为， ， 所以中位数在内， 故中位数为. （2） 因为， 因为事件，相互独立， 所以， 所以， 则， 所以事件，相互独立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 事件的相互独立性 (知识梳理及题型总结) ·模块一 事件的相互独立 ·模块二 课后作业 模块一 事件的相互独立 1. 事件相互独立的定义 对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立。 2. 事件相互独立的性质 （1） 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立； （2） 必然事件、不可能事件∅都与任意事件相互独立。 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称读点概型。 3. 判断两个事件相互独立的方法 （1） 直接法：由事件本身的特点直接判断两个事件发生是否相互影响。 （2） 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立。 4. 相互独立事件与互斥事件的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发何时能的概率没有影响。 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。 5. 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1） 用恰当的字母表示题中有关事件； （2） 分析事件间的关系，明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等。 事件 表示 概率 A,B互斥 A,B相互独立 A,B中至少有一个发生 A P(A)+P(B) 1 A,B都发生 AB 0 P(A)P(B) A,B都不发生 A,B恰有一个发生 P(A)+P(B) P(A)P( A,B中至多有一个发生 1 1 当直接计算所求事件的概率较复杂时，可间接地计算其对立事件的概率。 【考点1 相互独立事件与互斥事件】 【例1.1】已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【例1.2】已知事件和事件相互独立，，则 ． 【变式1.1】（多选）已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【变式1.2】某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【考点2 独立事件的乘法公式】 【例2.1】甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 ． 【例2.2】甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球，乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第2次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【考点3 独立事件的实际应用】 【例3.1】甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【例3.2】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【变式3.1】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 模块二 课后作业 1．已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 3．（多选）下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 4．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 5．设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 6．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有两面点数为1，三面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 . 10. 甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 11. 某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 12. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 13. 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 14. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 15. （1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；    （2）已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$