精品解析：浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

2024学年第二学期高一年级3月四校联考 数学学科 试题卷 命题人：余杭高级中学 郑敏杰 校对人：余杭高级中学 孙建忠 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点位于第一象限. 故选：A. 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：C 3. 在中，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角形的内角和定理逐项判断可得结果. 【详解】对于A，因为，所以， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4. 设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，若，根据复数的模的计算公式求出的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 若，则，即，解得或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由可以推出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 所以是偶函数， 又函数在上单调递增，则， 而在上单调递增，则， ，则， . 故选：B. 6. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数定义得到，再利用两角差的正余弦公式判断. 【详解】如图所示： 设 则点 又 所以 故选：A 7. 如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为 ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：B. 【点睛】运用平面向量线性运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于x的二次函数，再求最值. 8. 锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得，再由锐角三角形可得，将化简再利用二次函数取得最值条件可得当时，可取得最大值，即可求得结果. 【详解】由利用正弦定理可得， 即可得，又，可得； 又， 所以；因此，即，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 由二次函数性质可得，若存在最大值， 则，解得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理得出角的关系，由三角形形状以及诱导公式和二倍角公式，并根据二次函数取得最值的条件解不等式可得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于选项B和D，取特殊复数即可判定. 【详解】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确； 对于选项B，取，此时，，满足， 但，故选项B错误； 对于选项C，若，则，所以或，可得或，故选项C正确； 对于选项D，取，，可得，故选项D错误 故选：AC. 10. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为等边三角形，可判断C；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断D. 【详解】如图，过作直径，依题意， 为定值，A正确； 若，则， 则， 又，则， 同理可得，故，B正确； 如图，当时，若为等边三角形， 则， 下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接， 则在中，，则， 又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误. 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】 由可知，复数对应点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即取值范围是. 故答案为：. 13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 14. 设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若，则m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图，令，， 解得， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，且， 则点，关于直线对称，且， 所以， 所以点的横坐标为， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）若，求； （2）设，若，求，的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据及数量积的运算律求出； （2）依题意可得，，将两式两边平方结合两角和差余弦公式及夹角定义得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 即，即， 所以，，所以， 所以，的夹角. 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）若的面积为，，求角B的大小； （2）若,的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式与所给面积建立等量关系，可求解，代入，可求，结合三角形内角和以及两角和的余弦公式可求出，从而求出结果. （2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长. 【小问1详解】 解：的面积为，则，即， 又，即，所以， 则， ，. 【小问2详解】 因为的角平分线与边相交于点， 所以，即， 所以，所以， 又由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 17. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示、三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得； （2）由（1）问过程知，，代入所求化简可将所求转化为，即先求出，化边为角，利用三角形内角和定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系将转化为关于角的三角函数式，再利用角的范围求得的范围. 【小问1详解】 ，且， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ， ， ，． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 为锐角三角形，，则， ，． ． ，，， ，， 的取值范围为，则， 所以的范围为. 18. 已知函数，满足，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由，得，又在区间上单调递增，可得，运算得解； （2）求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，即得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，则函数关于点中心对称， 所以，即，解得， ， 又在区间上单调递增，则，即， ，即， 所以当时，. 【小问2详解】 由（1）， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为2， 而函数与存在相同的最大值， 故当时，在上取得最大值2， 可得，， 当时，得，则，解得， 当时，得，则，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值范围为. 19. 定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数. （）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值. （）若为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点. （）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3). 【解析】 【详解】（Ⅰ）由题设，当时，， ∴． ∵函数为二阶伸缩函数， ∴对任意，都有． ∴． （Ⅱ）当时，． 由为三阶伸缩函数，有, ∵时，． ∴． 令，解得x=0或x=3m，它们均不在内． ∴函数在上无零点． （Ⅲ） 由题设，若函数为k阶伸缩函数，有， 且当时，的取值范围是[0，1）． ∴当时，． ∵，所以． ∴当时，． 当x∈（0，1]时， 则使， ∴，即，∴． 又，∴，即． ∵k≥2， ∴在上的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一年级3月四校联考 数学学科 试题卷 命题人：余杭高级中学 郑敏杰 校对人：余杭高级中学 孙建忠 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ） A. B. C D. 7. 如图，在中，已知，，，，分别是，边上点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则或 D 若，则 10. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是______. 13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米. 14. 设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若，则m的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，，. （1）若，求； （2）设，若，求，的夹角. 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）若的面积为，，求角B的大小； （2）若,的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 17. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 18. 已知函数，满足，且在区间上单调递增. （1）求的值； （2）设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 19. 定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数. （）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值. （）若为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点. （）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$