5.3.2 事件之间的关系与运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5.3.2　事件之间的关系与运算 课程标准 学科素养 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义． 2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算． 通过对事件之间的关系与运算的学习，强化数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P62] 1．一般地，如果事件A发生时，事件B 一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A). 2．A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件． 3．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.不难看出A＝B⇔A⊆B且B⊆A，A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件． 4．当A⊆B时，有P(A)≤P(B).当A＝B时，有P(A)＝P(B). 同时抛掷两枚硬币，朝上的面都是正面为事件M，朝上的面至少有一枚是正面为事件N，则有(　　) A．M⊆N　 B．M⊇N　 C．M＝N　 D．M<N A　解析：因为事件M＝{(正，正)}，N＝{(正，反)，(反，正)，(正，正)}，当M发生时，事件N一定发生．所以有M⊆N. 1．给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B).事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生． 2．P(A＋B)≤P(A)＋P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝“向上的点数是1”，事件Q＝“向上的点数是3或4”，用集合表示P∪Q＝________． {1，3，4}　解析：因为事件P＝{1}，Q＝{3，4}， 所以P∪Q＝{1，3，4}． 1．给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B).事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生． 2．P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B). 　抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件Q＝“向上的点数是3或4”，M＝“向上的点数是1或3”，用集合表示M∩Q＝________． {3}　解析：因为事件Q＝{3，4}，M＝{1，3}， 所以M∩Q＝{3}． 1．给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅).任意两个基本事件都互斥的，∅与任意事件互斥． 2．互斥事件的概率加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作.如果B＝，则称A与B相互对立． 4．对立事件的概率公式：P(A)＋P()＝1． 1．思考辨析 (1)互斥的事件一定是对立事件．(　　) (2)事件A的对立事件，相当于集合A在全集U中的∁UA补集．(　　) 答案：(1) ×　(2)√ 2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．必然事件 D．不可能事件 B　解析：“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥事件，又甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生．∴它们不是对立事件． [对应学生用书P63] 掷一枚骰子，观察朝上的面的点数．设事件A＝“出现1点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”． 求：(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合的形式表示，C，∪C，＋. 解：(1)因为掷一枚骰子，试验的结果为1，2，3，4，5，6，所以试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{1}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}，D＝{3，4，5，6}，E＝{3，6}． (2)因为A⊆C，所以事件C包含事件A；因为C∩D＝∅，C∪D＝Ω，所以事件C与事件D互为对立事件；因为D⊇E，所以事件D包含事件E. (3)＝{1，2}，C＝{2}，∪C＝{1，2，3，5}，D∩E＝{3，6}，＋＝{1，2，4，5}． 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示，利用集合间的运算判断事件间的运算，必要时可利用Venn图判断． [训练1]　盒子里有6个红球，3个白球，现从中任取三个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”． 问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解：(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球2个白球”，或“2个红球1个白球”，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球2个白球”，“2个红球1个白球”，“3个红球”，故C∩A＝A. 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“至少订一种报纸”，事件C＝“至多订一种报纸”，事件D＝“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)A与D. 解：方法一　(概念法) (1)由于事件C＝“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B＝“至少订一种报纸”与事件D＝“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与D是互斥事件；由于事件B发生会导致事件D一定不发生，且事件D发生会导致事件B一定不发生，故B与D是对立事件． (3)事件B＝“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C＝“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (4)事件A＝“只订甲报”与事件D＝“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与D是互斥事件．但在一次试验中，事件A与事件D有可能都不发生，故A与D不是对立事件．所以A与D是互斥事件，但不是对立事件． 方法二　(集合法)用x1，x2分别表示甲、乙两种报纸的订阅情况，以1表示订阅报纸，0表示不订阅报纸，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}． A＝{(1，0)}，B＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)}， C＝{(1，0)，(0，1)，(0，0)}，D＝{(0，0)}． (1)因为A∩C＝{(1，0)}，所以A与C不是互斥事件． (2)因为B∩D＝∅，B∪D＝Ω，所以B与D是对立事件． (3)因为B∩C＝{(1，0)，(0，1)}，所以B与C不是互斥事件． (4)因为A∩D＝∅，A∪D≠Ω，所以A与D是互斥事件，但不是对立事件． 互斥事件与对立事件的判断方法 (1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点：设事件A、B所包含的样本点组成的集合表示分别是A、B. ①事件A与B互斥，即A∩B＝∅； ②事件A与B对立，即A∩B＝∅，且A∪B＝Ω(Ω为样本空间)，也即A＝∁ΩB或B＝∁ΩA [训练2]　从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 解：(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件． (2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件． (3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件． 向指定的目标射三发子弹，若Ai＝“第i发子弹击中目标”(i＝1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件： (1)只击中第一发；(2)只击中一发；(3)三发都没有击中；(4)至少击中一发 ；(5)最多击中一发． 解：(1)A123　(2)A123＋1A23＋12A3　 (3)123　(4)A1＋A2＋A3　 (5)A123＋1A23＋12A3＋123 事件的混合运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验的所有样本点，分析并利用这些样本点进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有样本点，把这些样本点在图中列出，进行运算 [训练3]　掷一枚骰子，下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}． 求：(1)A∩B，BC； (2)A∪B，B＋C； (3)记是事件H的对立事件，求，C，∪C，＋. 解：(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}． (2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}． (3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}， C＝BC＝{出现2点}， ∪C＝A∪C＝{出现1，2，3或5点}， ＋＝{出现1，2，4或5点}． 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？ 解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥， 所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8， 所以他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5， 故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和． 2．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题 [训练4]　据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示： 等候 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.05 0.14 0.35 0.30 0.10 0.06 求：(1)等候人数不超过1的概率； (2)等候人数大于等于4的概率． 解：设A、B、C、D分别表示等候人数为0、1、4、大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥． (1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0.05＋0.14＝0.19，即等候人数不超过1的概率为0.19. (2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D.故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0.10＋0.06＝0.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16. [对应学生用书P66] 1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 答案：B 2．袋内红、白、黑球分别为3个，2个，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个白球；红、黑球各1个 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球 答案：A 3．打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示__________________． 答案：至少有一次击中 4．一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率． 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87. (3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件， 则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29. 所以射中环数小于8环的概率为0.29. 学科网（北京）股份有限公司 $$