第5章 5.3.2 事件之间的关系与运算(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是(　　) A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶 解析　某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为： ①第一次中靶，第二次中靶； ②第一次中靶，第二次未中靶； ③第一次未中靶，第二次中靶； ④第一次未中靶，第二次未中靶． 至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶． 答案　B 2．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有(　　) ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有1件为次品”，B：“所取3件中有2件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有1件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有1件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 解析　在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有1件为次品与所取3件中有2件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有1件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有1件是正品都包含2件次品1件正品，以及1件次品2件正品，以及3件正品，所以④不是互斥事件，故选B． 答案　B 3．已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是(　　) A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 解析　由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图，事件A，B，C用集合表示为 则选项A，B正确，事件⊆，则C正确，D错误，故选D． 答案　D 4．掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不大于3”，B＝“出现的点数为偶数”，则(　　) A．A∪B＝Ω B．事件A与B是互斥事件 C．A∩B＝{2} D．事件A与B是对立事件 解析　掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果， 即Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{1，2，3}，B＝{2，4，6}， 故A∪B＝{1，2，3，4，6}≠Ω，A∩B＝{2}，即事件A，B既不互斥也不对立． 显然C正确． 答案　C 5．已知事件A与事件B是互斥事件，P(A∪B)＝0.8，P(B)＝0.2，则P(A∩B)＝ ，P(A)＝ ． 解析　由于A，B互斥，所以事件A，B不可能同 时发生，因此，P(A∩B)＝0，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.8－0.2＝0.6. 答案　0　0.6 6．同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少出现一个5点或6点的概率为 ． 解析　设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少出现一个5点或6点”的事件为B，则A与B是对立事件．所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 答案　 7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数和是2，3，4，…，11，12中的一个，事件A＝{2，5，7}，事件B＝{2，4，6，8，10，12}，那么A＋B＝ ，A＝ ． 解析　∵事件A＝{2，5，7}， 事件B＝{2，4，6，8，10，12}， ∴A＋B＝{2，4，5，6，7，8，10，12}， ＝{3，5，7，9，11}，∴A＝{5，7}． 答案　{2，4，5，6，7，8，10，12}　{5，7} 8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“只订乙报”，事件C为“至少订一种报纸”，事件D为“至多订一种报纸”，事件E为“一种报纸也没订”，事件F为“两种报纸都订”．根据上述事件回答下列问题： (1)请列举出包含关系的事件； (2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； (3)从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件． 解析　(1)由题意可知，A发生，C一定发生，即A⊆C．同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D． (2)由题意及事件的相互关系可知，C＝A＋B＋F，D＝A＋B＋E，全集Ω＝A＋F＋B＋E. (3)由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是(　　) A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．(A1∪A2)∪A3是必然事件 C．P(A2∪A3)＝0.8 D．P(A1∪A2)≤0.5 解析　事件A1，A2，A3不一定两两互斥，所以P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)≤0.5，P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)≤0.8，P[(A1∪A2)∪A3]≤1，所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件，无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件，所以A、B、C说法错误．故选ABC． 答案　ABC 10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为(　　) A．60% B．50% C．40% D．30% 解析　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A＋C，则P＝P＝P＋P， 所以P＝P－P＝40%，乙获胜的概率为10%， 则乙不输的概率为50%＋10%＝60%. 答案　A 11．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是 ． 解析　由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. 答案　[0，0.9] 12．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．则： (1)任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是 ； (2)任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是 ． 解析　任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，①“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据概率的加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64；③B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37. 答案　(1)0.64　(2)0.37 13．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？ 解析　(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，1－(0.3＋0.2)＝0.5，1－(0.4＋0.1)＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． [核心价值·探索创新] 14．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为 ；乙射击一次，不中靶的概率为 ． 解析　由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，所以P2＝，因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝， 乙射击一次，不中靶的概率为1－＝. 答案　　 15．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2020年后出版的书”．问： (1)AB表示什么事件？ (2)在什么条件下有ABC＝A? (3)⊆B表示什么意思？ (4)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 解析　(1)AB表示事件“2020年或2020年前出版的中文版的数学书”． (2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A． (3)⊆B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的． (4)是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书． 学科网（北京）股份有限公司 $