5.3.1 样本空间与事件（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

5．2　数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(略) 5．3　概率 5．3.1　样本空间与事件 课程标准 学科素养 1.结合具体实例，理解样本点和样本空间的含义． 2．理解随机事件与样本点的关系． 3．会求简单随机试验的样本空间． 4．会用集合表示随机事件，理解样本空间与随机事件的关系． 通过对样本空间与事件的学习，达成数学抽象、数学建模的核心素养． [对应学生用书P58] 1．随机现象与必然现象的定义：一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象). 2．样本点的定义：随机试验中每一种可能出现的结果，称为样本点． 3．样本空间的定义：把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示). 1．(教材改编)某射击运动员射击靶一次，观察射中的环数，则试验的样本空间为(　　) A．Ω＝{10} B．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} C．Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} D．Ω＝{7，8，9} C　解析：因为射击时靶子有1～10环，还有脱靶的情况，脱靶表示射中0环，所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}. 2．某人将一枚硬币连续抛掷了6次，观察正面朝上的次数，则样本空间为(　　) A．{3}　　　　　　　　 B．{1，2，3，4，5，6} C．{0，1，2，3，4，5，6} D．{2，3，4} C　解析：正面朝上的次数有可能为0，1，2，3，4，5，6次，故样本空间为{0，1，2，3，4，5，6}． 1. 随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等).任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生． 2．必然事件与不可能事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件． 3．事件的表示：不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件． 1．下列事件中，不可能事件为(　　) A．钝角三角形两个小角之和小于90° B．三角形中大边对大角，大角对大边 C.锐角三角形中两个内角和小于90° D．三角形中任意两边的和大于第三边 C　解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件． 2．抛掷一枚骰子， 观察朝上的面的点数，则事件A＝“点数不大于4”的集合表示为________． {1，2，3，4}　解析：朝上的面的点数不大于4，包含的点数是1，2，3，4 点，所以A＝{1，2，3，4}． 1．事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能发生．事件A发生的概率通常用P(A)表示． 2．将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P(∅)＝0，P(Ω)＝1. 对任意事件A来说，应该有P(∅)≤P(A)≤P(Ω)，所以P(A)满足不等式0≤P(A)≤1． 思考辨析 (1)不可能事件没有概率．(　　) (2)事件A 的概率是1.2.(　　) 答案：(1)×　(2)× [对应学生用书P59] 写出下列各随机试验的样本空间： (1)出生婴儿的性别． (2)过马路交叉口时，观察遇上的交通指挥灯的颜色． (3)从含有5件次品的100件产品中任取3件，记录其中的次品数． (4)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球； (5)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球． 解：(1)因为出生婴儿的性别只有男和女两个可能结果，所以试验的样本空间为Ω＝{男，女}． (2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色，所以试验的样本空间为Ω＝{红，绿，黄}． (3)因为任取3件，次品数可能有0，1，2，3件，所以试验的样本空间为Ω＝{0，1，2，3}． (4)任取1个球，可能的基本结果为a，b，c，d，所以试验的样本空间为Ω＝{a，b，c，d}． (5)任取2个球，用样本点(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}． 1．样本空间只与问题的背景有关，根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果； 2．根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，用集合表示成样本空间．也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果． [训练1]　写出下列各随机试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果(可以是平局)； (2)小明练习投篮10次，观察小明投篮命中的次数； (3)某人射击靶两次，观察各次射击中靶或脱靶情况． 解：(1)因为比赛一场，结果有3种：甲赢、乙赢、平局，所以试验的样本空间Ω＝{甲赢、乙赢、平局}． (2)因为投篮10次，命中的次数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10次，所以试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}． (3)射击靶两次，用(中，脱)表示第一次射击中靶，第二次射击脱靶，那么试验的样本空间Ω＝{(中，中)，(中，脱)，(脱，中)，(脱，脱)}．也可以用1表示射击“中靶”，用0表示射击“脱靶”，那么试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}． 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： A＝“从甲盒子中取出3号球”； B＝“取出的两个球上标号为相邻整数”； C＝“取出的两个球上标号之和能被3整除”． 解：(1)分别用x1，x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号，则x1，x2＝1，2，3，4，那么试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)“从甲盒子中取出3号球”等价于x1＝3，所以A＝{(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}．“取出的两个球上标号为相邻整数”等价于x1，x2为相邻整数，所以B＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}．因为2≤x1＋x2≤8，所以“取出的两个球上标号之和能被3整除”等价于x1＋x2＝3，6，所以C＝{(1，2)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(4，2)}． 随机试验的每个随机事件A是试验的样本空间Ω的一个子集，即随机事件A中的元素都是样本空间Ω中的元素． [训练2]　袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： ①A＝“三次颜色恰有两次同色”； ②B＝“三次颜色全相同”； ③C＝“三次摸到的红球多于白球”． 解：(1)每个样本点表示为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，则样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}． (2)① 事件A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}． ② 事件B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}． ③ 事件C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}． 下面做投掷两个正四面体玩具(四个面上分别标有点数1，2，3，4)的试验，观察正四面体玩具朝下的点数： (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示事件A：朝下的点数之和大于3； (3)用集合表示事件B：朝下的点数相等，事件C：朝下的点数之差的绝对值小于2； (4)从直观上判断P(B)和P(C)的大小． 解：(1)用(x，y)表示样本点，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．则这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)A＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． (3)B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，C＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}． (4)因为B事件发生时，C事件一定发生，所以P(B)≤P(C). 概率直观的大小关系可以通过事件中样本点的关系来判断，具体的概率计算将在后面学习． [训练3]　一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则(　　) A．P(A)≥ P(B)　　　　 B．P(A)≤ P(B) C．P(A)＝P(B) D．无法比较 A　解析：∵5＞4，∴事件B发生时，事件A一定发生． ∴事件A发生的可能性不会比事件B发生的可能性小， ∴P(A)≥ P(B). [对应学生用书P61] 1．(多选题)下列事件是不可能事件的是(　　) A．没有水，种子发芽 B．抛掷一枚硬币，正面朝上 C．对任意x∈R，有x＋1>2x D．当a>0时，关于x的方程x2＋a＝0在实数集内有解 答案：AD 2．从5个男生、2个女生中任选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　) A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 答案：B 3．下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①在学校运动会上，学生张涛获得100 m短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③在标准大气压下，水在4 ℃时结冰． A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．0 答案：B 4．一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，写出样本点空间________． 答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8} 5．先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数． (1)写出对应的样本空间； (2)用集合表示事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不超过4. 解：(1)用(1，2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数． 因此，样本空间Ω＝{(i，j)|1≤i≤6，1≤j≤6，i∈N，j∈N}． (2)由题意得 A＝{(1，2)，(2，1)}， B＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，2)，(2，1)，(1，1)}． 学科网（北京）股份有限公司 $$