4.6 函数的应用(二)&4.7 数学建模活动：生长规律的描述（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.6　函数的应用(二) 4．7　数学建模活动：生长规律的描述 课程标准 学科素养 1.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 通过对函数的应用的学习，加强数学建模、数学运算的核心素养． [对应学生用书P36] 知识点　建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示(关键词：抽象概括). 2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域(关键词：建模). 3．求解函数模型，并还原为实际问题的解(关键词：解模、还原). 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　) A.y＝2x　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 D　解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个． 2．现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5).现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用__________作为拟合模型较好． 甲　解析：作出三个点，比较两个函数图象，选甲更好． [对应学生用书P37] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解：(1)由题意设二次函数为y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式， 得20＝25a＋17.5.解得a＝. 所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25). (2)设利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－ ＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25). 因为x＝23∈[10，25]，Q(x)取得最大值12.9， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． [训练1]　2016年汕头市开展了一场创文行动，一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号．随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便．有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表： 每辆车月 租金定价(元) 3 000 3 050 3 100 3 150 3 200 3 250 …… 能出租的 车辆数(辆) 100 99 98 97 96 95 …… 若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．由上表，他决定每辆车月租金定价满足： ①为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；②不低于3 000元；③定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车．设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆． (1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数； (2)当x为何值时，租赁公司月收益最大，最大月收益是多少？ 解：(1)由表格可知，当定价为3 000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则y＝100－(x－3 000)＝－x＋160， 令y≥10，得－x＋160≥10， 得x≤150，得x≤7 500， 所以所求函数y＝－x＋160，(3 000≤x≤7 500，且x＝50k，k∈Z). (2)由(1)知，租赁公司的月收益为f(x)， 则f(x) ＝(x－150)－50 ＝－x2＋162x－21 000 ＝－(x－4 050)2＋307 050，(3 000≤x≤7 500且x＝50k，k∈Z)， ∴当x＝4 050时，f(x)取得最大值为307 050，即月租金定为4 050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年). 解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N). (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人). (3)设x年后人口将达到120万人， 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012＝log1.0121.2＝≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． [训练2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1(m/s). (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数； (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？ 解：(1)设v＝k·log3， ∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3， ∴k＝，∴v关于Q的函数解析式为v＝log3. (2)令v＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2 700， 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位． (3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1、v2， 由题意：v2－v1＝1，即log3－log3＝1. ∴log3＝1，∴＝9，即Q2＝9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍． 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x； 同理可得，当<x≤，即甲用户用水量超过4吨，乙用户用水量未超过4吨时，y＝20.4x－4.8；当x>，即甲，乙两用户用水都超过4吨时，y＝24x－9.6. ∴y＝ (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当x∈时，y≤f<26.40； 当x∈时，y≤f<26.40； 当x∈时，令24x－9.6＝26.40， 得x＝1.5.∴甲用户用水量为5x＝7.5(吨)， 付费y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元). 乙用户用水量为3x＝4.5(吨)， 付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元). 1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分”而导致运算出错． [训练3]　目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0＜x≤60，单位：km)的分段函数； (2)某乘客行程为16 km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8 km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？ 解：(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为： f(x)＝ 化简得f(x)＝. (2)只乘一辆车的车费为： f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)， 换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元). ∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱． [对应学生用书P40] 1．“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列函数模型拟合最好的是(　　) A．指数函数y＝2t　　 B．对数函数y＝log2t C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2 答案：A 2．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 109≈2.037 4，lg 0.09≈－1.045 8)(　　) A．2025年 B．2021年 C．2020年 D．2018年 答案：B 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________万件． 答案：1.75 4．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 解：(1)当t∈(0，14]时， 设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)， 将点(14，81)代入得c＝－ ， 所以当t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－(t－12)2＋82； 当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝ . 所以p＝f(t)＝ (2)当t∈(0，14]时，－ (t－12)2＋82≥80， 解得12－2 ≤t≤12＋2，所以t∈(12－2，14]； 当t∈(14，40]时，log(t－5)＋83≥80， 解得5＜t≤32，所以t∈(14，32]. 所以t∈[12－2 ，32]时学生听课效果最佳． 此时Δt＝32－(12－2 )＝20＋2 >22. 所以教师能够合理安排时间讲完题目． 学科网（北京）股份有限公司 $$