4.6 函数的应用(二)&4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.6函数的应用（二)& 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 分析先借助指数函数模型列出不等 学习目标 式，再根据指数、对数的关系解不等式 1.掌握指数函数、对数函数、幂函数三 种函数模型，能恰当地应用函数模型解决实 B变式训练 际问题， 已知某种食品的保鲜时间与储存温度有 2.会利用问题中的数据及其蕴含的关系 关，满足函数关系y=e(y为保鲜时间，x 选择合适的数学模型. 为储存温度).若该食品在冰箱中0℃的保鲜 3.经历数学模型的形成过程，体验如何 时间是144h,在常温20℃的保鲜时间是 从数学的角度来观察和分析现实世界中的一 48h,则该食品在高温40℃的保鲜时间是 些问题 ( 4.会利用数学语言描述、分析、解决相 A.16h B.18h 关问题 C.20h D.24h 要点精析 川要点2对数函数模型 对数函数模型通常指由对数函数图象进 川要点1指数函数模型 行伸缩、平移变换得到的函数， 指数函数模型通常指由指数函数图象进 思考随着自变量的增大，函数值有 行伸缩、平移变换得到的函数 怎样的变化趋势，才能利用对数型函数表 思考随着自变量的增大，函数值有 达函数模型呢？ 怎样的变化趋势，才能利用指数型函数表 例2据统计，每年到鄱阳湖国家湿地 达函数模型呢？ 公园越冬的白鹤数量y（只)与时间x(年) 例1某工厂生产一种溶液，按市场要 近似满足关系y=dlog3(x+2),观测发现2018 求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最： 年冬（作为第1年）有越冬白鹤3440只， 初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每： 则到2024年冬有越冬白鹤() 过滤一次杂质含量减少子，则使产品达到市 A.4880只 B.5880只 C.6880只 D.7880只 场要求的最少过滤次数为（参考数据：1g2≈ 分析此题符合对数函数模型，根据 0.301,lg3≈0.477)() 对数函数模型进行解答. A.10 B.9C.8 D.7 30) 第四章指数函数、对数函数与幕函数。 变式训练2 Logistic模型是常用数学模型之一，可 应用于流行病学领域.有学者根据数据建立 了某地区流感确诊病例数I(t)(t的单位： 大)的Logc模型：10=1H6k西，其中 k为最大确诊病例数，当I(t)=0.95k时，标 志着流感已接近尾声，则t约为(nl9≈3) ( A.60 B.63C.66 D.69 川要点3幂函数模型 幂函数模型通常指由幂函数图象进行伸 缩、平移变换得到的函数， 例3一个模具厂一年中12月的产量 是1月产量的m倍，那么该模具厂这一年中 产量的月平均增长率是() A晋 B.2 C.m-1 D.Vm-1 分析此题符合幂函数模型，根据幂 函数模型进行解答 B变式训练③ 下表表示的是某款车的车速与刹车距离 的关系，试分别就y=ae,y=ax”,y=ax+bx+ c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模 川要点4数学建模 拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的 刹车距离 建立数学模型的步骤： 车速/(km/h) 10 15 30 40 50 (1)发现问题、提出问题 刹车距离m 4 7 12 18 25 (2)分析问题、建立模型 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 (3)确定参数、计算求解， 刹车距离/m 34 43 54 66 80 (4)验证结果、改进模型 学(31 N 高中数学必修第二册人教B版 例4某公司制订了一个激励销售人员 数学文化 的奖励方案：当销售利润不超过10万元时， 按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超 数学建模是在20世纪60和70年代进 过10万元时，若超出A万元，则超出部分 入一些西方国家大学的，我国的几所大学也 按21og(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位： 在80年代初将数学建模引入课堂.经过30 万元)，销售利润为x(单位：万元)· 多年的发展，现在绝大多数本科院校和许多 (1)写出该公司激励销售人员的奖励方 专科学校都开设了各种形式的数学建模课程 案的函数模型， 和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解 (2)如果业务员老张获得5.6万元的奖 决实际问题的能力开辟了一条有效的途径 金，那么他的销售利润是多少万元？ 大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国 分析根据题意确定函数模型，然后 出现的，1989年在几位从事数学建模教育 进行相应的解答： 的教师的组织和推动下，我国几所大学的学 生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越 高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比 例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在 中国开花、结果的 例12021年5月，“共和国勋章”获 得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世， 他的功绩将永远被人们铭记.在他和几代科 学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕 地，养活了全世界22%的人口.目前，我国 年人均粮食占有量已经稳定在470kg以上， 远高于国际公认的400kg粮食安全线.某校 数学建模小组的同学想研究：假如没有杂交 水稻的推广，没有合理的人口、土地政策， 仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国 年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经 济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈 几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”， 该小组同学做了以下研究.根据马尔萨斯的 理论，自然状态下人口增长模型为y=ye① 32)学 第四章指数函数、对数函数与幕函数。 (其中t表示经过的时间，yo表示t=0时的人 ②按此模型，我国年人均粮食占有量能 口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t:达到400kg吗？试说明理由. 年后的人口数，单位：万人)·根据国家统 参考数据：ln67207Hln55196≈9x0.02188, 计局网站的数据，我国1950年末、1959年：ln130000-ln55196≈39.15×0.02188，e1s≈ 末的人口总数分别为55196万和67207万.：1.022,55196×1.0222≈91050 该小组同学根据这两个数据，以1950年末 的数据作为t=0时的人口数，求得①式人口 增长模型.经检验，1950一1959年的实际人 口数与此模型基本吻合，如图4-6-1. y 70000 65000 60000 55000◆ 50003.68g 0123456789t 图4-6-1 (1)若你是该小组成员，请求出①式的 人口增长模型，并以该模型计算从1950年 末开始，大约多少年后我国人口会达到13 亿（年数取不小于t的最小整数）？ (2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学 把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型 模型，通过查阅我国1950年末至1959年末 的粮食产量，得到粮食增长模型近似为y= 600t+13600(其中t表示经过的时间，y表 示第t年的粮食年产量，单位：万吨).f(t) =600+13600(1∈N)表示从1950年末开 Yoe" 例2设a=log2,b=lg3,c=7,则 始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人 a,b,c的大小关系为 ①求满足k)、<1的正整数k的最 分析c为分数，形式简洁，可以将其 f(k-1) 转化为同底对数，分别与a,b进行比较 小值； 即建立对数函数模型，也可以作商比较。 学 (33y轴对称，即D正确.故选BD >m4.5增长速度的比较 要点精析 例1>，>，【解析】由题图可知，=s）-(】-k, tu-to 0=)）--kB,s=s）-s=k, t2- t3-t2 .kgo>kan>kov3>> 变式训练1 A【解析】由题意结合函数的解析式有： k=Kxo+At)-fxa)-(xotAx)-(xa)-2vo+Av. △x △x k-f(xo)-f(xAr)-(xa)-(x-Ar)-2vAv, Ax △x 则k1-k2=2△x. △>0，k>k2.故选A 例2解：最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是f4(t)=2. 理由：显然四个函数中，指数函数是增长速度最快 的，故最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关 系式是ft)=2 变式训练2 BD【解析】如图，对于y=x2,=2,从负无穷开 始，y1大于2，然后y2大于y1,再然后y再次大于， 最后y2大于y1,再也追不上，故随着x的逐渐增 大，？的增长速度越来越快于y1,A错误，B,D正确； y=x 2=2 Y=x 10 变式训练2答图 对于y=x,y=x,由于y=x的增长速度是不变的 当x∈(0,1)时，y大于，当x∈(1，+∞)时，1大于 y3,y再也追不上y,少的增长速度有时快于，C错误. 故选BD. 参考答案。 数学文化 B【解析】2020至2021年R&D的经费支出的增长 速度是14.6%-10.2%=4.4%，是最快的，故A正确； 2023至2024年R&D的经费支出增加量为36130- 33357=2773(亿元)，2021至2020年R&D的经费支出 增加量为27956-24393=3563（亿元），3563>2773， ∴.2023至2024年R&D的经费支出增加量不是五年中最 多，故B错误； 从条形图可以看出2020至2024年R&D的经费支出 逐年增加，故C正确： 从折线图可知，2020至2024年R&D的经费支出的 增长速度先递增后递减，故D正确.故选B. "4.6函数的应用（二)& 4.7数学建模活动：生长规律的描述 要点精析 例1C【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要 求，则×（号广s70即号广≤0由s号s -1g20,即n(1g2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥+le2≈74. 1g3-1g2 故选C. 变式训练1 144=e, A【解析】由题意得 48=e26, 则e=1 31 当x=40℃时，y=en=e2yPe=(兮）×4=16 (h).故选A 例2C【解析】当=1时，=adog3=-3440,=3440 10g(+2).当=7时，y=3440l0g96880,即2024年冬有越 冬白鹤6880只.故选C. 变式训练2 k C【解析】1t)卢1+er可=0.95k, 整理可得e23-3》-19, 两边取自然对数得0.23(t-53)=ln19≈3， 解得t≈66.故选C 例3D【解析】设每月的平均增长率为x,1月产量 为a,则a(1+x)"=ma,1+x=Vm,即x=Vm-1.故 选D. 35 N 高中数学必修第二册人教B版 变式训练3 解：若以y=ae为模拟函数，将(10,4)，(40 a.elo=4. k≈0.050136， 18)代入函数关系式，得 解得 a-e-18, a≈2.4228， .y=2.4228e00136.以此函数关系式计算车速为90kmh, 100km/h时，停车距离分别为220.8m,364.5m,与实 际数据相比，误差较大」 若以y=a为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代 a-10=4, n≈1.085， 入函数关系式，得 解得 y= a40=18, a≈0.3289， 0.3289xo5.以此函数关系式计算车速为90kmh, 100kmh时，停车距离分别为43.39m,48.65m,与实际 情况误差也较大. 若以ax4bx+c为模拟函数，将(10,4)，(40,18)， a·102+b·10+c=4, (60,34)代入函数关系式，得a402+b.40+c=18,解得 a602+b.60+c=34, 1 150' b-品少☆4后42以此面数关系式计算车速为 c=2, 90kmh,100km/h时，停车距离分别为68m,82m,与 前两个函数相比，此函数更符合实际情况 当x=120时，y=114,即当车速为120kmh时，刹车 距离为114m 0.16x,0x≤10， 例4解：(1)由题意得，= 1.6+2log(x-9),x>10. (2)由x∈(0,10]，0.16x≤1.6，而=5.6，.x>10. 因此1.6+2l0g(x-9)=5.6,解得x=34(万元). 答：老张的销售利润是34万元. 数学文化 例1解：(1)由题意可得，y=55196, 则67207=55196e, (36 n67207=n(55196e)=ln55196+9r, .9r=ln67207-ln55196≈9×0.02188，.=0.02188， ∴y=55196e01≈55196x1.022. 当y=130000时，55196eam1=130000, .ln(55196em1w)=ln130000. 0.02188t=ln130000-ln55196≈39.15x0.02188. .1≈39.15，.大约40年后我国人口会达到13亿. (2)①由〉、<1，得fk)fk-1), fk-1) ·600k+13600600(k-1)+13600 yoert Yoerd-1 化简得600k+13600<(600k+13000)e',由(1)知 =0.02188, .600k+13600<(600k+13000)×1.022, 解得13.2k>314,k>23.8. .k为正整数，.正整数k的最小值为24 ②油①知，当k>23.8时，fk)f(k-1), .当k=23时，fk)最大， f23)=600x23+1360_600x23+13600=27400≈ roe =55196×1.0222=91050 0.301,即0.301×1000=301<400. ·按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到 400kg. 例2b>c0【解折】方法一：c=号与a=log2比较， 可考思ebgx函数，e-号g5-V5冰e2- a:c=号与b=log3比较，可考虑fx)-logx函数，c= 分-g8abgV8dog,Vg=bg3-6.缘上所述，b c>a. 方法二：名-21g2=og4<1,e>a,名-21g3= log91,∴.b>c.综上所述，b>c>a.