4.2.3 第1课时 对数函数的图象和性质（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第一课时　对数函数的图象和性质 课程标准 学科素养 1.掌握对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象． 2．掌握对数函数图象和性质． 通过对对数函数的学习，强化数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养． [对应学生用书P18] 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0，且a≠1. 1．下列函数中是对数函数的是(　　) A.y＝logx　　　　　　 B．y＝log3(x＋1) C.y＝logx2 D．y＝log3x＋2 答案：A 2．若对数函数y＝f(x)过点(4，1)，则f(x)＝________． log4x　解析：设f(x)＝logax，则loga4＝1，∴a＝4， ∴f(x)＝log4x. 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). 1．(教材改编)函数y＝lg (x－2)的定义域为(　　) A.(0，＋∞) B．(2，＋∞) C.[0，＋∞) D．[2，＋∞) B　解析：要使函数有意义，必须满足x－2>0，即x>2.故函数y＝lg (x－2)的定义域为(2，＋∞). 2．y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________． (－1，0)∪(0，2)　解析：由，解得－1<x<2且x≠0，所以函数的定义域是(－1，0)∪(0，2). a>1 0<a<1 图　象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性　质 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 非奇非偶函数 1．思考辨析 (1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在区间(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)当a>1时，若0<x<1，则logax<0.(　　) (4)函数y＝logx与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) A　解析：∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0，即原函数值域为(0，＋∞). 3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． (2，1)　解析：当2x－3＝1，即x＝2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1＋1＝0＋1＝1，所以函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2，1)，故点P的坐标是(2，1). [对应学生用书P19] 指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 从“三方面”判断一个函数是否是对数函数 [训练1]　判断下列给出的函数是否是对数函数． (1)y＝loga(a>0，a≠1)； (2)y＝log(x＋1)x； (3)y＝log(－2)2x； (4)y＝log2(x－3)； (5)y＝3log2x＋1. 解：(1)中的真数是，而不是x，故不是对数函数． (2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数． (3)中的底数是(－2)2＝4>0，符合对数函数的定义，是对数函数． (4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数． (5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8). 解：(1)由题意得即 也即x≤1.故函数y＝的定义域为{x|x≤1}． (2)由得解得x>且x≠1. 故函数y＝的定义域为. (3)由题意得解得 故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为 . 求与对数函数有关的定义域时应注意以下两点 (1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等． (2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式 [训练2]　求y＝的定义域． 解：由题意可知 ∴∴即1≤x<2. 故函数y＝的定义域为[1，2). 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取、、、，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为(　　) A．、、、　　　　　 B．、、、 C．、、、 D．、、、 A　解析：方法一：先排c1、c2底的排序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、. 方法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、. 1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a，1)，(1，0)，. 2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大 [训练3]　作出函数y＝|lg (x－1)|的图象． 解：先画出函数y＝lg x的图象(如图). 再向右平移1个单位得出函数y＝lg (x－1)的图象(如图). 最后把y＝lg (x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻到x轴上方．(原来在x轴上方的部分不变)即得出函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图). 若－3≤logx≤－，求f(x)＝·的值域． 解：f(x)＝· ＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2. 令log2x＝t，∵－3≤logx≤－， ∴－3≤－log2x≤－， ∴≤log2x≤3.∴t∈. ∴f(x)＝g(t)＝t2－3t＋2＝－. ∴当t＝时，g(t)取最小值－； 此时，log2x＝，x＝2； 当t＝3时，g(t)取最大值2，此时，log2x＝3，x＝8. 综上，函数的值域是. [变式]　若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________． 或　解析：当0<a<1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在区间[a，2a]上的最小值为loga(2a)，最大值为logaa，∴logaa＝3loga(2a)，∴loga(2a)＝， 即a＝2a，a＝8a3，∴a2＝，a＝. 当a>1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在区间[a，2a]上的最小值为logaa，最大值为loga(2a)， ∴loga(2a)＝3logaa，∴loga(2a)＝3， 即a3＝2a，∴a2＝2，a＝.故a的值为或. 1．求与对数函数有关的值域问题，常常把logax视为一个整体，通过换元的过程化为二次函数形式，然后借助二次函数的性质求解． 2．在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a>1与0<a<1两种情况． [训练4]　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2). 解：(1)设u＝x2＋4≥4. 而y＝log2u是增函数． y≥log24＝2. ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞). (2)y＝log(3＋2x－x2)， 设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4. 令t>0，－1<x<3.0<t≤4. 又∵y＝logt为减函数． ∴y≥log4＝－2， ∴函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞). [对应学生用书P22] 1．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x　　　　　 B．y＝log3x C．y＝logx D．y＝logx 答案：B 2．利用作图工具作出a＝ ，4， 时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为(　　) A． ，4， B．4， ， C． ， ，4 D． ，4， 答案：C 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[－2，0] B．(－2，0) C．(－2，0] D．(－2，＋∞) 答案：C 4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(4，－1) 5．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． 解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$