4.2.3 第2课时 对数函数性质的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

第二课时　对数函数性质的应用 课程标准 学科素养 1.理解并掌握对数函数的性质． 2．会利用对数函数的单调性比较大小，解简单的对数不等式． 通过对数函数图象与性质的理解与应用，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P22] 当a>1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当0<a<1时，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 1．思考辨析 (1)log3x<0，则x的取值范围是 (0，1).(　　) (2)当a>0，且a≠1时，loga3>loga2.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．下列四个数中最大的是(　　) A.(ln 2)2　　　　　　　　 B．ln(ln 2) C.ln D．ln 2 D　解析：∵y＝ln x为增函数， ∴0<ln <ln 2<1<， ∴ln(ln 2)<ln <ln 2<1， 且(ln 2)2<ln 2.故ln 2最大． 解简单的对数不等式logaf(x)>logag(x) 当a>1时，有f(x)>g(x)>0；当0<a<1时，0<f(x)<g(x)． 1．(教材改编)已知log0.52m<log0.5(m－1)，则m的取值范围是________． (1，＋∞)　解析：∵log0.52m<log0.5(m－1)， ∴2m>m－1>0，解得m>1. 2．若实数a满足loga2>1，则实数a的取值范围是________． (1，2)　解析：当a>1时，loga2>1＝logaa. ∴2>a.∴1<a<2. 当0<a<1时，loga2<0.不满足题意． [对应学生用书P23] 比较下列各组数的大小． (1)log与log；(2)log3与log3； (3)loga2与loga3；(4)log3π，logπ3. 解：(1)y＝logx在(0，＋∞)上递减， 又因为<，所以log>log. (2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝logx的图象在y＝logx图象的上方，所以log3<log3. (3)当a>1时，y＝logax为增函数， 所以loga2<loga3. 当0<a<1时，y＝logax为减函数， 所以loga2>loga3. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，那么要分类讨论； (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量； (3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决或利用换底公式化为同底再进行比较； (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较； (5)当要比较的两数的底数为字母需要进行分类讨论时，要做到分类不重不漏 [训练1]　比较下列各组数的大小： (1)loga2.7，loga2.8； (2)log34，log65； (3)log0.37，log97. 解：(1)当a>1时，由函数y＝logax的单调性可知loga2.7<loga2.8，当0<a<1时，同理可得loga2.7>loga2.8. (2)log34>log33＝1，log65<log66＝1， ∴log34>log65. (3)log0.37<log0.31＝0，log97>log91＝0， ∴log0.37<log97. 解不等式：loga(x－4)>loga(x－2). 解：当a>1时，由无解． 当0<a<1时，由得x>4. ∴综上可知：当a>1时，不等式的解集为∅； 当0<a<1时，不等式的解集为(4，＋∞). 常见的对数不等式有三种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解 [训练2]　若－1<loga<1，求a的取值范围． 解：－1<loga<1⇔loga<loga<logaa. 当a>1时，<<a，∴a>. 当0<a<1时，>>a，∴0<a<. ∴a的取值范围是∪. 探究三　函数y＝logaf(x)的单调区间的求法 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． 解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为 . ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0<a<1时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2，＋∞). 函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，则函数y＝f(φ(x))为增函数；若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，则函数y＝f(φ(x))为减函数，即符合“同增异减”的原则 [训练3]　求函数f(x)＝log2(x2－1)的单调区间． 解：令x2－1>0， ∴x>1或x<－1. 设u＝x2－1，当x>1时，u＝x2－1为增函数． 又a＝2>1，f(u)＝log2u为增函数， ∴f(x)＝log2(x2－1)的增区间为(1，＋∞). 当x<－1时，u＝x2－1为减函数． f(x)＝log2(x2－1)的减区间为(－∞，－1). 已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1，m≠1)是奇函数． (1)求实数m的值； (2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解：(1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立． ∴loga＋loga＝0， 即·＝1， ∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立． ∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1. (2)由(1)得f(x)＝loga. 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝loga－loga ＝loga. 因为－1＝， 由x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2得， x2－x1>0，x1－1>0，1＋x2>0， 所以>1， 当a>1时，loga>0， 即f(x1)>f(x2)，f(x)在(1，＋∞)上是减函数； 当0<a<1时，loga<0， 即f(x1)<f(x2)，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． [变式]　本例已知条件不变，求f(x)>0时x的取值范围． 解：当a>1时，f(x)>0⇔loga>0⇔>1， 解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞). 当0<a<1时，f(x)>0⇔loga>0⇔0<<1， 解得x<－1，即x的取值范围是(－∞，－1). 综上，当a>1时，x的取值范围是(1，＋∞)， 当0<a<1时，x的取值范围是(－∞，－1). 解决对数型复合函数的单调性问题需注意的几点 (1)看底数，当底数大小不明确时，要对底数是否大于1进行讨论； (2)要注意函数的定义域； (3)也可用复合函数的单调性法则来判断． [训练4]　已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求f的值． 解：(1)因为得－1<x<1. 所以函数f(x)的定义域为(－1，1). (2)函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称 因为f(－x)＝log2(1＋(－x))＋log2(1－(－x)) ＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)是偶函数． (3)f＝log2＋log2 ＝log2 ＝log2＝log2＝－1． [对应学生用书P26] 1．下列关于函数f(x)＝log(x－4)的单调性叙述正确的是(　　) A.在R上为增函数 B.在R上为减函数 C.在区间(4，＋∞)上为增函数 D.在区间(4，＋∞)上为减函数 答案：D 2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　) A.a>c>b　　　　　 B．b>c>a C.c>b>a D．c>a>b 答案：D 3．函数f(x)＝log (2－x)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 答案：A 4．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________． 答案：1 5．已知loga(a2－4)<loga(2a－1)，求a的取值范围． 解：由题意知，得a>2， 即函数f(x)＝logax为增函数． 又因为loga(a2－4)<loga(2a－1)， 所以a2－4<2a－1，得2<a<3. 所以实数a的取值范围是(2，3). 学科网（北京）股份有限公司 $$