4.2.3 第1课时 对数函数的图象和性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第一课时　对数函数的图象和性质 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 (0，＋∞) (1，0) 0 增函数 减函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.掌握对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象． 2．掌握对数函数图象和性质． 通过对对数函数的学习，强化数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　对数函数概念) 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0，且a≠1. 1．下列函数中是对数函数的是(　　) A.y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) x　　　　　　 B．y＝log3(x＋1) C.y＝logx2 D．y＝log3x＋2 答案：A 2．若对数函数y＝f(x)过点(4，1)，则f(x)＝________． log4x　解析：设f(x)＝logax，则loga4＝1，∴a＝4， ∴f(x)＝log4x. eq \a\vs4\al(知识点2　对数函数的定义域) 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). 1．(教材改编)函数y＝lg (x－2)的定义域为(　　) A.(0，＋∞) B．(2，＋∞) C.[0，＋∞) D．[2，＋∞) B　解析：要使函数有意义，必须满足x－2>0，即x>2.故函数y＝lg (x－2)的定义域为(2，＋∞). 2．y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________． (－1，0)∪(0，2)　解析：由，解得－1<x<2且x≠0，所以函数的定义域是(－1，0)∪(0，2). eq \a\vs4\al(知识点3　对数函数的图象与性质) a>1 0<a<1 图　象 定义域 _______________ 值域 R 性　质 _______________，即当x＝1时，y＝_____ 在(0，＋∞)上是_________ 在(0，＋∞)上是_________ 非奇非偶函数 1．思考辨析 (1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在区间(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)当a>1时，若0<x<1，则logax<0.(　　) (4)函数y＝与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) A　解析：∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0，即原函数值域为(0，＋∞). 3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． (2，1)　解析：当2x－3＝1，即x＝2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1＋1＝0＋1＝1，所以函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2，1)，故点P的坐标是(2，1). eq \a\vs4\al(探究一　对数函数的概念) 指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 从“三方面”判断一个函数是否是对数函数 [训练1]　判断下列给出的函数是否是对数函数． (1)y＝loga eq \r(x) (a>0，a≠1)； (2)y＝log(x＋1)x； (3)y＝log(－2)2x； (4)y＝log2(x－3)； (5)y＝3log2x＋1. 解：(1)中的真数是 eq \r(x) ，而不是x，故不是对数函数． (2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数． (3)中的底数是(－2)2＝4>0，符合对数函数的定义，是对数函数． (4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数． (5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． eq \a\vs4\al(探究二　对数函数的定义域) 求下列函数的定义域： (1)y＝ eq \r(lg （2－x）) ；(2)y＝ eq \f(1,log3（3x－2）) ； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8). 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg （2－x）≥0，,2－x>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x≥1,2－x>0)) 也即x≤1.故函数y＝ eq \r(lg （2－x）) 的定义域为{x|x≤1}． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（3x－2）≠0，,3x－2>0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≠1，,3x>2，)) 解得x> eq \f(2,3) 且x≠1. 故函数y＝ eq \f(1,log3（3x－2）) 的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,3)))且x≠1 )) . (3)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.)) 故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为 . 求与对数函数有关的定义域时应注意以下两点 (1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等． (2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练2]　求的定义域． 解：由题意可知 eq \a\vs4\al(探究三　对数函数的图象) 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取 eq \r(3) 、 eq \f(4,3) 、 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) ，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为(　　) A． eq \r(3) 、 eq \f(4,3) 、 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) 　　　　　 B． eq \r(3) 、 eq \f(4,3) 、 eq \f(1,10) 、 eq \f(3,5) C． eq \f(4,3) 、 eq \r(3) 、 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) D． eq \f(4,3) 、 eq \r(3) 、 eq \f(1,10) 、 eq \f(3,5) A　解析：方法一：先排c1、c2底的排序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为 eq \r(3) 、 eq \f(4,3) .然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) .综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为 eq \r(3) 、 eq \f(4,3) 、 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) . 方法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为 eq \r(3) 、 eq \f(4,3) 、 eq \f(3,5) 、 eq \f(1,10) . 1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a，1)，(1，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)) . 2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练3]　作出函数y＝|lg (x－1)|的图象． 解：先画出函数y＝lg x的图象(如图). 再向右平移1个单位得出函数y＝lg (x－1)的图象(如图). 最后把y＝lg (x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻到x轴上方．(原来在x轴上方的部分不变)即得出函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图). eq \a\vs4\al(探究四　对数函数的值域) 若－3≤log eq \s\do9(\f(1,2)) x≤－ eq \f(1,2) ，求f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(x,2))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(x,4))) 的值域． 解：f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(x,2))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(x,4))) ＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2. 令log2x＝t，∵－3≤log eq \s\do9(\f(1,2)) x≤－ eq \f(1,2) ， ∴－3≤－log2x≤－ eq \f(1,2) ， ∴ eq \f(1,2) ≤log2x≤3.∴t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) . ∴f(x)＝g(t)＝t2－3t＋2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(1,4) . ∴当t＝ eq \f(3,2) 时，g(t)取最小值－ eq \f(1,4) ； 此时，log2x＝ eq \f(3,2) ，x＝2 eq \r(2) ； 当t＝3时，g(t)取最大值2，此时，log2x＝3，x＝8. 综上，函数的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)) . [变式]　若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________． eq \f(\r(2),4) 或 eq \r(2) 　解析：当0<a<1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在区间[a，2a]上的最小值为loga(2a)，最大值为logaa，∴logaa＝3loga(2a)，∴loga(2a)＝ eq \f(1,3) ， 即a eq \s\up16(\f(1,3)) ＝2a，a＝8a3，∴a2＝ eq \f(1,8) ，a＝ eq \f(\r(2),4) . 当a>1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在区间[a，2a]上的最小值为logaa，最大值为loga(2a)， ∴loga(2a)＝3logaa，∴loga(2a)＝3， 即a3＝2a，∴a2＝2，a＝ eq \r(2) .故a的值为 eq \f(\r(2),4) 或 eq \r(2) . 1．求与对数函数有关的值域问题，常常把logax视为一个整体，通过换元的过程化为二次函数形式，然后借助二次函数的性质求解． 2．在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a>1与0<a<1两种情况． [训练4]　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log eq \s\do19(\f(1,2)) (3＋2x－x2). 解：(1)设u＝x2＋4≥4. 而y＝log2u是增函数． y≥log24＝2. ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞). (2)y＝log eq \s\do19(\f(1,2)) (3＋2x－x2)， 设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4. 令t>0，－1<x<3.0<t≤4. 又∵y＝log eq \s\do19(\f(1,2)) t为减函数． ∴y≥log eq \s\do19(\f(1,2)) 4＝－2， ∴函数y＝log eq \s\do19(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞). 1．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x　　　　　 B．y＝log3x C．y＝log eq \s\do19(\f(1,3)) x D．y＝log eq \s\do19(\f(1,2)) x 答案：B 2．利用作图工具作出a＝ eq \f(3,2) ，4， eq \f(1,7) 时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为(　　) A． eq \f(3,2) ，4， eq \f(1,7) B．4， eq \f(3,2) ， eq \f(1,7) C． eq \f(1,7) ， eq \f(3,2) ，4 D． eq \f(1,7) ，4， eq \f(3,2) 答案：C 3．函数f(x)＝ eq \r(1－log2（x＋2）) 的定义域为(　　) A．[－2，0] B．(－2，0) C．(－2，0] D．(－2，＋∞) 答案：C 4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(4，－1) 5．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． 解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log5x，x>0，,log5（－x），x<0.)) 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． $$