高二数学期中模拟卷01（人教A版2019选修第5～7章：一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布)-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处的导数为2，则（ ） A． B．2 C． D． 2．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A．1440 B．120 C．60 D．24 4．设随机变量，若，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D． 5．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．展开式中的系数为（ ） A．60 B． C．30 D． 7．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（ ） A．21 B．23 C．25 D．27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．2025年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B相邻，则有48种不同站法 B．若C与D不相邻，则有24种不同站法 C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）． 13．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 16．（15分） 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 17．（15分） 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 18．（17分） 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 19． （17分） 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】 【小问1详解】 二项式的展开式中第7项为 ， ............................. 3分 由题意得，解得.............................. 5分 【小问2详解】 令，得，所以或， 解得，或（舍去）.............................. 8分 该二项式展开式通项为 ，............................. 10分 令，解得，............................. 12分 故展开式中的系数为.............................. 13分 16．（15分） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人， 男生有种选法，女生有种选法， 故选法有种；............................. 5分 【小问2详解】 根据题意，分3种情况讨论： 男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种． 男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种， 男生甲和女生乙被选中，有种， 则共有种选法..............................10分 【小问3详解】 男生甲和女生乙同时被选中的选法为种， 4人参加百米接力赛的总安排方法为种， 甲跑第一棒的安排方法为种， 乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．.............................15分 17．（15分） 【解析】 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则............................. 2分 所以.............................. 4分 所以两次实验恰好成功一次的概率. ............................. 6分 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以，............................. 8分 ，.................... 9分 ，............................. 10分 所以.............................. 11分 ，............................. 12分 ，.................... 13分 ，............................. 14分 所以 因为，所以方案一略好.............................. 15分 18．（17分） 【解析】 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且.............................. 3分 若，在上恒成立，故在上单调递增；............................. 4分 若，因为，当时，，当时，，...................... 5分 所以在上单调递减，在上单调递增，............................. 6分 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；............................. 7分 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.............................. 8分 【小问2详解】 由题意得，............................. 9分 ，............................. 11分 ，............................. 13分 设，设，则，............................. 14分 所以在上单调递增，所以当时，，即，....... 15分 又，且，所以，所以，即， .. 16分 又在上单调递增，所以，即........ 17分 19． （17分） 【解析】 【小问1详解】 令，则，，....... 1分 ，，....... 2分 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故．............................. 5分 【小问2详解】 结论：，证明如下： 令，，则............................. 6分 令，则，............................. 7分 故在上单调递增，，则............................. 8分 故在上单调递增，，............................. 9分 即证得，故．............................. 10分 【小问3详解】 由（2）可得当时，，............................. 11分 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， ............................. 13分 而 ， 即有............................. 14分 故 而， 即证得............................. 17分 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处的导数为2，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】． 故选:A． 2．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A错误， 对于B, ,B正确， 对于C，，C错误， 对于D, ，D错误， 故选：B 3．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A．1440 B．120 C．60 D．24 【答案】B 【解析】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生， 所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：. 故选：B 4．设随机变量，若，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C． 5．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 6．展开式中的系数为（ ） A．60 B． C．30 D． 【答案】B 【解析】，要找到展开式中含有的项， 需从中找到含有的项，即， 故的系数为. 故选：B． 7．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A． 8．已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（ ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】B 【解析】由，且，故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 由得 ，， 又，故， 又，故， 若，则有， 即， 因为，所以， 故使得成立的最大正整数n为23. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】A选项，由题意得，解得， 故，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 10．2025年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B相邻，则有48种不同站法 B．若C与D不相邻，则有24种不同站法 C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD． 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【解析】A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B．因为,令得，故B正确； C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）． 【答案】 【解析】的展开式的通项公式为， 令，得， 故常数项为． 故答案为：. 13．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 【解析】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】令， 所以. 令，，求导可得， 所以函数在上单调递增，且，所以， 令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点. 因为， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 【解析】 【小问1详解】 二项式的展开式中第7项为 ， ............................. 3分 由题意得，解得.............................. 5分 【小问2详解】 令，得，所以或， 解得，或（舍去）.............................. 8分 该二项式展开式通项为 ，............................. 10分 令，解得，............................. 12分 故展开式中的系数为.............................. 13分 16．（15分） 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人， 男生有种选法，女生有种选法， 故选法有种；............................. 5分 【小问2详解】 根据题意，分3种情况讨论： 男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种． 男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种， 男生甲和女生乙被选中，有种， 则共有种选法..............................10分 【小问3详解】 男生甲和女生乙同时被选中的选法为种， 4人参加百米接力赛的总安排方法为种， 甲跑第一棒的安排方法为种， 乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．.............................15分 17．（15分） 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【解析】 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则............................. 2分 所以.............................. 4分 所以两次实验恰好成功一次的概率. ............................. 6分 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以，............................. 8分 ，.................... 9分 ，............................. 10分 所以.............................. 11分 ，............................. 12分 ，.................... 13分 ，............................. 14分 所以 因为，所以方案一略好.............................. 15分 18．（17分） 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 【解析】 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且.............................. 3分 若，在上恒成立，故在上单调递增；............................. 4分 若，因为，当时，，当时，，...................... 5分 所以在上单调递减，在上单调递增，............................. 6分 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；............................. 7分 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.............................. 8分 【小问2详解】 由题意得，............................. 9分 ，............................. 11分 ，............................. 13分 设，设，则，............................. 14分 所以在上单调递增，所以当时，，即，....... 15分 又，且，所以，所以，即， .. 16分 又在上单调递增，所以，即........ 17分 19． （17分） 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 【解析】 【小问1详解】 令，则，，....... 1分 ，，....... 2分 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故．............................. 5分 【小问2详解】 结论：，证明如下： 令，，则............................. 6分 令，则，............................. 7分 故在上单调递增，，则............................. 8分 故在上单调递增，，............................. 9分 即证得，故．............................. 10分 【小问3详解】 由（2）可得当时，，............................. 11分 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， ............................. 13分 而 ， 即有............................. 14分 故 而， 即证得............................. 17分 8 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修第5~7章（一元函数的导数及其应用+计数原理+随机变量及其分布）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处的导数为2，则（ ） A． B．2 C． D． 2．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A．1440 B．120 C．60 D．24 4．设随机变量，若，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D． 5．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．展开式中的系数为（ ） A．60 B． C．30 D． 7．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（ ） A．21 B．23 C．25 D．27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．2025年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B相邻，则有48种不同站法 B．若C与D不相邻，则有24种不同站法 C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）． 13．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 16．（15分） 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 17．（15分） 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 18．（17分） 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 19． （17分） 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$