专题2 填空多解题-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 重 难 专 题 突 破 专题二　 填空多解题(必考,3 个解) 类型 1　 等腰三角形的腰和底不确定(2022.12,2016.12) 例 1　 [2016 江西 14 题改编]如图是一张长方形纸片 ABCD,已知 AB= 8,AD= 6,点 E,F 均在 AB 上,AE= 1,BF= 3,现要剪下一张等腰三角形纸片(△EFP),使点 P 落在长方形 ABCD 的某 一条边上,则剪下的等腰三角形 EFP 的边 EP 的长是　 2 14或 2 10 　 . 例 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】因为等腰三角形 EFP 的腰和底不确定,所以要分三种情况讨论:①EP =EF,由已知条件易 得 EF 的长,即 EP 的长;②FP=EF,由勾股定理可求出 EP 的长;③EP=FP,同理可得.请在图上画出三 种情况,并求出对应 EP 的长. 解题技巧 原理:当等腰三角形的腰和底不确定时需分类讨论.此类题目通常会给 1 条定长+1 个动点,要先 确定定长是等腰三角形的腰还是底,再利用“两圆一线”确定动点的位置,结合题目条件和图形自 身特点,确定需要的点. 作图:如图,已知线段 AB,在直线 l 上找一点 C,使△ABC 是等腰三角形. ①当 AB 为腰,且 AB=AC 时,以点 A 为圆心、AB 的长为半径作圆,圆 A 与 直线 l 的交点为 C1,C2; ②当 AB 为腰,且 AB=CB 时,以点 B 为圆心、AB 的长为半径作圆,圆 B 与 直线 l 的交点为 C3,C4; ③当 AB 为底边,即 AC=BC 时,作线段 AB 的垂直平分线,与直线 l 的交点 为 C5 . 综上所述,交点 C1,C2,C3,C4,C5即为要找的点 C. 针对训练 1.[2022 江西 12 题 3 分]已知点 A 在反比例函数 y = 12 x (x>0)的图象上,点 B 在x 轴正半轴上, 若△OAB 为等腰三角形,且腰长为 5,则 AB 的长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 2.[2024 江西样卷四]已知△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形,D 为 BC 边上一点,且∠ADC = 90°.若 AD 的长恰好为△ABC 一边长的 1 2 ,则CD AD 的值为　 　 　 　 　 　 　 　 . 3.[2024 南昌模拟]如图,已知 BE 是正五边形 ABCDE 的一条对角线,P 为 BE 上的一点,连接 AP,DP,当△PDE 为等腰三角形时,∠APE 的大小为　 　 　 　 　 　 　 　 . 13 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 重 难 专 题 突 破 4.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 1,AD = 2,E 是 AD 的中点,P 在射线 BD 上运动,若 △BEP 为等腰三角形,则线段 BP 的长等于　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.如图,△ABC 内接于☉O,∠B =∠ACB = 70°,点 Q 是☉O 上一个动点(不与图中已知点重 合),连接 OQ,若△ACQ 是等腰三角形,则∠AQO 的度数为　 　 　 　 　 　 　 　 . 类型 2　 直角三角形的直角顶点不确定(2023.12,2015.14) 例 2　 [2024 吉安模拟]如图,在矩形 ABCD 中,AB = 2,BC = 3,点 E,F 分别在 AB,BC 上,AE = BE=BF,若 P 为矩形边上一点,则当△EFP 为直角三角形时,斜边长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 例 2 题图 　 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】因为直角三角形 EFP 的直角顶点不确定,所以要分三种情况讨论:①当点 E 为直角顶点 时,易得△AEP 是等腰直角三角形;②当点 F 为直角顶点时,易得点 P 与点 D 重合,△FPC 是等腰直角 三角形;③当点 P 为直角顶点时,易得点 P 与点 B 重合,EF 即为斜边.请在图上画出三种情况,并求出 对应直角三角形 EFP 的斜边长. 解题技巧 原理:当直角三角形直角顶点不确定时需分类讨论.此类问题可利用“两线一圆”,确定直角三角形 第三个顶点(即动点)的位置,结合题目条件和图形自身特点,确定需要的点. 作图:如图,已知线段 AB,在直线 l 上找一点 C,使△ABC 是直角三角形. ①当∠A 为直角时,过点 A 作 AB 的垂线交直线 l 于点 C1; ②当∠B 为直角时,过点 B 作 AB 的垂线交直线 l 于点 C2; ③当∠C 为直角时,以 AB 为直径作圆交直线 l 于点 C3,C4 . 综上所述,交点 C1,C2,C3,C4 即为要找的点 C. 针对训练 6.[2024 江西样卷七]如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,5 3 ),B(5,0),以点 B 为圆心, BO 长为半径作半圆,点 P 在半圆上,当△ABP 为直角三角形时,点 P 的坐标为 　 . 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过原点 O 及点 A(0,2),C(6,0)作矩形 OABC,∠AOC 的 平分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发,以每秒 2个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动, 23 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 重 难 专 题 突 破 同时点 Q 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动.设移动时间为 t 秒, 当 t 为　 　 　 　 　 　 　 　 时,△PQB 为直角三角形. 8.[2023 江西 12 题 3 分]如图,在▱ABCD 中,∠B = 60°,BC = 2AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转角 α(0°<α < 360°) 得到 AP,连接 PC,PD.当△PCD 为直角三角形时,旋转角 α 的度数 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9.[2024 上饶模拟]在菱形 ABCD 中,∠ABC= 30°,AC⊥BD,点 E 在对角线 BD 上,∠AED= 45°, P 是菱形上一点,若△AEP 是以 AE 为直角边的直角三角形,则 tan∠APE 的值为 　 . 10.如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 45°,BC = 6 2 ,M 为 AC 的中点,N 为 AB 边上一动点, 连接 MN,将△AMN 沿 MN 折叠得到△A′MN,A′M 与 AB 交于点 P,连接 A′B,若△A′BP 是 直角三角形,则 AN= 　 　 　 　 　 　 　 　 . 类型 3　 点的位置不确定(2021.12,2019.12,2018.12,2017.12) 例 3　 [2019 江西 12 题 3 分]在平面直角坐标系中,A,B,C 三点的坐标分别为(4,0),(4,4), (0,4),点 P 在 x 轴上,点 D 在直线 AB 上,若 DA = 1,CP⊥DP 于点 P,则点 P 的坐标 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 备用图 1 　 　 　 备用图 2 【思路点拨】由点 D 在直线 AB 上, DA= 1,易得点 D 的坐标为(4,1)或(4,-1) .分两种情况讨论:①当 点 D 的坐标为(4,1)时,连接 CD,以 CD 为直径作圆,恰与 x 轴交于一点 P1,由相似的性质可求出点 P1 的坐标;②当点 D 的坐标为(4,-1)时,连接 CD,以 CD 为直径作圆,与 x 轴交于 P2,P3 两点,由两点间 的距离公式和勾股定理可求出 P2,P3 的坐标.请在图上画出两种情况,并求出对应点 P 的坐标. 例 4　 如图,已知∠BAC =∠DAE = 90°,∠ABC =∠ADE = 30°,AC = DE = 2 3 ,将△ADE 绕点 A 逆时针旋转,旋转角为 α(0°<α< 180°),当点 D 恰好落在△ABC 的边上时,BD 的长 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 例 4 题图 　 　 　 　 　 备用图 1 　 　 　 　 　 备用图 2 　 　 　 　 　 备用图 3 【思路点拨】因为点 D 的位置不确定,且点 D 恰好落在△ABC 的边上,所以要分三种情况讨论:①当点 D 落在 AB 边上时,BD=AB-AD;②当点 D 落在 BC 边上时,由直角三角形的等面积法易得 AD⊥BC; ③当点 D 落在 AC 边上时,利用勾股定理可求.请在图上画出三种情况,并求出对应 BD 的长. 33 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 重 难 专 题 突 破 解题技巧 (1)如图①,若动点 P 在直线 AB 上:①点 P 在线段 AB 上(如点 P1);②点 P 在线段 BA 的延长线上 (如点 P2);③点 P 在线段 AB 的延长线上(如点 P3); 图① 　 　 　 　 图② (2)若动点 P 在三角形、四边形等多边形上:①点 P 在多边形的边上;②点 P 在多边形的对角线上 (在不同的边、对角线上要分别讨论); (3)如图②,若动点 P 在圆周上:①点 P 在劣弧上(如点 P1);②点 P 在优弧上(如点 P2); (4)若已知动点 P 到两条线段的距离比:①点 P 在两条线段中间;②点 P 在两条线段同侧. 针对训练 11.如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 2,点 P 是 x 轴上一动点.若 BP 与∠ABC 的两边所组成的角的度数之比为 1 ∶3,则点 P 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠B= 30°,BC= 9,点 D 在 BC 上,且 DC = 3,点 M 在△ABC 的边上,点 F 为 MD 的中点,则当 BM= 2MD 时,CF 的长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 13. 名师原创 如图,在四边形 ABCD 中,∠B =∠D = 90°,连接 AC,∠BAC = 45°,CD = 2,AD = 2 3 ,点 P 是四边形ABCD边上的一个动点,且 PQ⊥AC 于点 Q,PQ = 3,则△PAQ 的面积 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 14.如图,在菱形 ABCD 中,AD= 4,∠A= 45°,DE⊥AB,垂足为 E,点 P 在菱形的边上(不与已 知点重合),若 DE=DP,则 CP 的长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 17 题图 15.[2024 江西样卷一]如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,AD= 10,E 为 BC 边上一点,BE= 3,点 P 沿 着边按 B→A→D 的路线运动.在运动过程中,若△PAE 中有一个角为 45°,则 PE 的长 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 16.[2024 宜春模拟]正方形 ABCD 的边长为 4,E 为CD 边上一点,且CE=1,M 为正方形 ABCD 的 边或对角线上一点,连接 DM,交 AE 于点 F,当 DM=AE 时,DF 的长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 17.[2021 江西 12 题 3 分]如图,在边长为6 3的正六边形 ABCDEF 中,连接 BE,CF,其中点 M, N 分别为 BE 和 CF 上的动点.若以 M,N,D 为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整 数,则该等边三角形的边长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 43 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 重 难 专 题 突 破 类型 4　 图形变化后位置不确定(2024.12,2020.12) 例 5　 [2024 江西 12 题 3 分]如图,AB 是☉O 的直径,AB= 2,点 C 在线段 AB 上运动,过点 C 的 弦 DE⊥AB,将DBE ( 沿 DE 翻折交直线 AB 于点 F,当 DE 的长为正整数时,线段 FB 的长 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 例 5 题图 　 　 　 备用图 1 　 　 　 备用图 2 【思路点拨】由 DE≤AB,且 DE 的长为正整数,可得 DE = 1 或 2.因为 DE 的长不确定,所以分三种情况 讨论:①当 DE= 2,即 DE 为☉O 的直径时,翻折后点 F 与点 A 重合,故 FB= 2;②当 DE= 1,且点 C 在线 段 OB 上时,连接 OD,利用勾股定理可求出 OF 的长,进而求出 FB 的长;③当 DE= 1,且点 C 在线段 OA 上时,同理可解.请在图上画出后两种情况,并求出对应线段 FB 的长. 解题技巧 图形位置不确定时,通常涉及平移、折叠或旋转等图形变换,在图形的变换中产生不明确的因素, 需要进行分类讨论,从而产生多种情况.解决此类问题首先要弄清变换前后哪些量发生变化,哪些 量没有变化,找出变化后的数量关系,明确分类讨论的对象. 针对训练 18.[2020 江西 12 题 3 分]矩形纸片 ABCD,长 AD= 8 cm,宽 AB= 4 cm,折叠纸片,使折痕经过点 B,交 AD 边于点 E,点 A 落在点 A′处,展平后得到折痕 BE,同时得到线段 BA′,EA′,不再添 加其他线段.当图中存在 30°角时,AE 的长为　 　 　 　 　 　 　 　 cm. 第 18 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 20 题图 19.在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 8,BC = 6,BD 是 AC 边上的中线,把 BD 绕点 D 旋转,旋转 角为 α(0°<α≤90°),点 B 的对应点为点 B′.如果 DB′与△ABC 的一边垂直,则点 B′到点 C 的距离为　 　 　 　 　 　 　 　 . 20.[2024 江西模拟]如图,已知过点 A(-2 3 ,0)的直线 y= kx+2(k≠0)与反比例函数 y= m x (x> 0)的图象交于点 B( 3 ,3),连接 OB,将△AOB 绕着点 O 顺时针旋转一定的角度,若 △AOB 的一个顶点依然在该反比例函数的图象上,则旋转的角度为　 　 　 　 　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 填空多解题加练扫描本册 P29 二维码. 53 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 △BP′C′,∴ △BPP′是等边三角形,PC = P′C′,∠PBC = ∠P′BC′,BC=BC′= 2,∴ BP =PP′,∴ PA+PB+PC = PA+PP′ +P′C′,∴ 当点 A,P,P′,C′四点共线时,PA+PB+PC 有最小 值,最小值是 AC′的长, ∵ ∠ABP + ∠PBP′ + ∠P′ BC′ = ∠ABP+60°+∠P′BC′= 150°,∴ ∠EBC′= 30°,∴ EC′= 1,BE = 3EC′ = 3 , ∴ AE = 2 + 3 , ∴ AC′ = AE2+C′E2 = (2+ 3 ) 2+1 = 2 + 6 . 二、江西中考培优———重难专题突破 专题一　 实践操作题 1.B　 【解析】如解图所示,不同的涂色方案共有 2 个. 第 1 题解图 　 　 　 第 2 题解图 2.C　 【解析】如解图,共有 4 种画法. 3.B 4.C　 【解析】如解图,与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的 三角形有△ABG,△CDF,△AEF,△DBH,△BCG,共 5 个. 第 4 题解图 　 　 　 第 5 题解图 5.C　 【解析】如解图,满足条件的三角形有 3 个. 6.D　 【解析】如解图,符合条件的点有 6 个. 第 6 题解图 　 　 第 7 题解图 7.C　 【解析】如解图,设矩形 ABDC 的对称轴 l 与 AC 相交于 P1,与 BD 相交于 P2,当 P 与 P1 或 P2 重合时,△ABP 是直 角三角形,由对称性知,对应的△CDP 也是直角三角形;∵ AB>AC,∴ 以 AB 为直径的☉M 与矩形 ABDC 的对称轴 l 有 两个交点,设为 P3,P4,∴ 当 P 与 P3 或 P4 重合时,△ABP 是直角三角形,由对称性知,对应的△CDP 也是直角三角 形.故符合题意的点 P 有 4 个. 8.B　 【解析】如解图,将得到的两部分重新拼接,拼接后能 得到不同形状的四边形(不含矩形)共有 3 种. ① 　 ② 　 ③ 第 8 题解图 9.D　 【解析】共有 6 种拼接法,如解图所示. ① 　 ② 　 ③ ④ 　 ⑤ 　 ⑥ 第 9 题解图 10.D 专题二　 填空多解题 例 1 题解图 例 1　 4 或 2 14或 2 10 　 【解析】 ∵ AE= 1,BF= 3,AB= 8,∴ EF =AB -AE-BF= 4,∴ BE=EF+BF= 7.如 解图所示,当 P1E = EF 时,点 P1 在边 AD 上,则 P1E = EF = 4;当 P2F=EF 时,点 P2 在边 BC 上,则 P2F = EF = 4,在 Rt△P2BF 中,由 勾股定理得 P2B= P2F2-BF2 = 7 ,在 Rt△P2BE 中,由勾 股定理得 P2E = P2B2+BE2 = 2 14 ;当 P3F = P3E 时,点 P3 在边 DC 上,过点 P3 作 P3H⊥EF 于点 H,则四边形 ADP3H 是矩形,∴ AD = P3H = 6,EH = FH = 1 2 EF = 2,在 Rt△EP3H 中,由勾股定理得 P3E= P3H2+EH2 = 2 10 .综 上所述,EP 的长是 4 或 2 14或 2 10 . 1.5 或 2 5或 10 　 【解析】当 AO=AB 时,AB = 5;当 AB =BO 时,AB= 5;当 OA=OB= 5 时,B(5,0),设 A(a, 12 a )(a>0), 则 a2+( 12 a ) 2 = 5,解得 a1 = 3,a2 = 4,∴ A(3,4)或 A(4, 3),∴ AB = (3-5) 2+42 = 2 5 或 AB = (4-5) 2+32 = 10 .综上所述,AB 的长为 5 或 2 5或 10 . 2.1 或 3或 2- 3 　 【解析】如解图①,当 AB = AC,AD = 1 2 BC 时,易得∠BAC= 90°,CD=AD,∴ CD AD = 1;如解图②,当 AB = AC,AD= 1 2 AB 或 AD= 1 2 AC 时,易得∠B =∠C = 30°,∴ CD AD = 1 tan30° = 3 ;如解图③,当 AB = BC,AD = 1 2 AB 时, 易得 ∠B= 30°,设 AD=a,则 BC=AB= 2a, BD= 3 a,∴ CD= 2a- 3a=(2- 3 )a,∴ CD AD = (2 - 3 )a a = 2- 3 .综上所述, CD AD 的 值为 1 或 3或 2- 3 . 图① 　 图② 　 图③ 第 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 3.36°或 72°或 108°　 【解析】∵ 五边形 ABCDE 是正五边形, ∴ AB = AE = ED,∠BAE = ∠AED = 180°×(5-2) 5 = 108°,∴ ∠AEP=∠ABE= 1 2 ×(180°-108°)= 36°,∴ ∠PED=∠AED -∠AEP= 108°-36° = 72°,分三种情况:①当 EP=ED 时,∵ AE=ED,∴ AE=EP,∴ ∠EAP =∠APE = 1 2 ×(180°-36°)= 72°;②当 DE = DP 时, 如解图, 连接 BD, ∵ DE = DP, ∴ ∠DPE=∠PED= 72°,∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,∴ BE= BD,∴ ∠BDE = ∠BED = 72°,∴ ∠DPE = ∠BDE,∵ ∠PED= ∠DEB,∴ △DPE∽△BDE,∴ PE DE = DE BE ,∴ PE AE = AE BE ,∵ ∠AEP = ∠BEA, ∴ △APE ∽ △BAE, ∴ ∠APE = ∠BAE= 108°;③当 EP=PD 时,∠PDE =∠PED = 72°,由② 知∠BDE= 72°,∴ ∠PDE =∠BDE,∴ 点 P 与点 B 重合,∴ ∠APE=∠ABE = 36°.综上所述,当△PDE 为等腰三角形 时,∠APE 的大小为 36°或 72°或 108°. 第 3 题解图 4. 2或 5 3 或 6 5 5 　 【解析】∵ 在矩形 ABCD 中,AB = 1,AD = 2, E 是 AD 的中点,∴ ∠BAD = 90°,AE = DE = 1,BD = 5 ,∴ △ABE 是等腰直角三角形,∴ BE = 2 AB = 2 .若△BEP 为 等腰三角形,则分三种情况: ①当 BP=BE 时,显然 BP= 2 ; ②当 PB=PE 时, 解法一:如解图①,连接 AP.∵ PB =PE,AB = AE,∴ AP 垂直 平分 BE,∵ △ABE 是等腰直角三角形,∴ ∠BAP =∠EAP = 45°.过点 P 作 PM⊥AB 于点 M,设 PM = x,则 AM = x,∵ S△ABD =S△ABP+S△APD,∴ 1 2 x+ 1 2 ×2x = 1 2 ×1×2,解得 x = 2 3 , ∴ PM= 2 3 ,∵ sin∠ABD= AD BD = 2 5 = 2 5 5 ,∴ BP = PM sin∠ABD = 2 3 2 5 5 = 5 3 ; 解法二:如解图②,连接 AP 并延长交 BC 于点 F.∵ PB = PE,AB=AE,∴ AP 垂直平分 BE,∵ △ABE 是等腰直角三角 形,∴ ∠BAP = ∠EAP = 45°,∴ BF = AB = 1,∵ AD∥BC,∴ △BPF∽△DPA,∴ BP DP =BF DA = 1 2 ,∴ BP= 1 3 BD= 5 3 ; ③当 EB=EP 时, 解法一:如解图③,过点 A 作 AF⊥BD 于点 F,过点 E 作 EG ⊥BD 于点 G.在 Rt△ABF 中,AF=AB·sin∠ABF= 1× 2 5 5 = 2 5 5 ,∵ AE = ED,EG∥AF,∴ EG = 1 2 AF = 5 5 .在 Rt△BEG 中,∵ BE = 2 ,EG = 5 5 ,∴ BG = BE2-EG2 = 3 5 5 .∵ EB = EP,EG⊥BP,∴ BP= 2BG= 6 5 5 . 解法二:如解图③,过点 E 作 EG⊥BD 于点 G,∵ cos∠EDG =DG DE = AD BD = 2 5 5 ,∴ DG = 2 5 5 ,∴ BG = BD-DG = 5 - 2 5 5 = 3 5 5 .∵ EB=EP,EG⊥BD,∴ BG=GP= 3 5 5 ,∴ BP= 6 5 5 . 综上所述,线段 BP 的长等于 2或 5 3 或 6 5 5 . 图① 　 　 　 　 图② 图③ 第 4 题解图 5.35°或 50°或 55°　 【解析】当 AQ=AC 时,点 Q 与点 B 重合, 不符合题意.情况 1:如解图①,点 Q 在 AC 的右侧,当 QA= QC 时,QA ( =QC ( ,连接 OA,OC,∵ ∠B= 70°,∴ ∠AOC = 2∠B = 140°,∴ ∠AOQ= 1 2 ∠AOC = 70°,∵ OA =OQ,∴ ∠AQO = 180°-∠AOQ 2 = 55°;情况 2:如解图②,点 Q 在 AC 的左侧, 当 Q′A=Q′C 时,连接 OA,OC,由情况 1 知∠AOC= 140°,∴ ∠AQ′C = 1 2 ∠AOC = 70°,又∵ ☉O 是△AQ′C 的外接圆, △AQ′C 是等腰三角形,∴ Q′O 平分∠AQ′C,∴ ∠AQ′O = 1 2 ∠AQ′C= = 35°;情况 3:如解图③,点 Q 在 AC 的左侧, 当 CA=CQ″时,连接 OA,∵ AC ( = AC ( ,∴ ∠AQ″C =∠B = 70°, ∵ CA= CQ″,∴ ∠Q″AC = ∠AQ″C = 70°,∴ ∠ACQ″ = 180° - ∠AQ″C-∠Q″AC = 40°,∴ ∠AOQ″ = 2∠ACQ″ = 80°,∵ OA = OQ″,∴ ∠AQ″O = 180°-∠AOQ″ 2 = 50°.综上所述,∠AQO 的 度数为 35°或 50°或 55°. 图① 　 图② 　 图③ 第 5 题解图 例 2　 2 或 10 或 2 　 【解析】∵ 在矩形 ABCD 中,AB = 2, BC= 3,AE=BE=BF,∴ AE=BE=BF= 1 2 AB = 1,∴ ∠BEF = ∠BFE= 45°,CF=BC-BF = 3-1 = 2,∴ EF = 2 BE = 2 .如 解图,分三种情况:①当点 E 为直角顶点时,点 P1 在 AD 上,∵ ∠BEF = 45°,∠P1EF = 90°, ∴ ∠AE P1 = 45°, ∴ △AEP1 是等腰直角三角形,∴ EP1 = 2 AE = 2 ,∴ P1F = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 EP1 2+EF2 = 2;②当点 F 为直角顶点时,易得点 P2 与点 D 重合, 则 P2C = 2, ∵ ∠BFE = 45°, ∠EFP2 = 90°, ∴ ∠P2FC = 45°, ∴ △FP2C 是等腰直角三角形, ∴ FP2 = 2P2C= 2 2 ,∴ EP2 = EF2+FP2 2 = 10 ;③当点 P 为直 角顶点时,此时点 P3 在以 EF 为直径的圆上,易知点 P3 与点 B 重合,斜边 EF = 2 .综上所述,当△EFP 为直角三 角形时,斜边长为 2 或 10 或 2 . 例 2 题解图 6.(0,0)或( 15 2 , 5 3 2 )或(5+ 5 3 2 , 5 2 )　 【解析】如解图①,当 ∠APB= 90°时,点 P 与原点 O 重合,∴ 点 P 的坐标为(0, 0);如解图②,当∠APB= 90°时,AP 是半圆 B 的一条切线, BP⊥AP,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,∵ A(0,5 3 ),B(5, 0),∴ OA= 5 3 ,OB = 5,∴ tan∠OBA = OA OB = 3 ,∴ ∠OBA = 60°,易 得 △AOB ≌ △APB, ∴ ∠ABP = ∠ABO = 60°, ∴ ∠PBC= 60°,∵ BP = OB = 5,∴ BC = 1 2 BP = 5 2 ,PC = 5 3 2 , ∴ OC=OB+BC = 15 2 ,∴ 点 P 的坐标为( 15 2 , 5 3 2 );如解图 ③,当∠ABP = 90°时,过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E,易得 ∠PBE= 30°,∴ PE= 1 2 BP= 5 2 ,BE= 5 3 2 ,∴ OE =OB+BE = 5+ 5 3 2 ,∴ 点 P 的坐标为(5+ 5 3 2 , 5 2 ) .综上所述,点 P 的 坐标为(0,0)或( 15 2 , 5 3 2 )或(5+ 5 3 2 , 5 2 ) . 图① 　 　 图② 图③ 第 6 题解图 7.2 或 5+ 5或 5- 5 　 【解析】如解图,过点 P 作 PG⊥OC 于 点 G,在 Rt△POG 中,∵ OD 平分∠AOC,∴ ∠POQ= 45°,∴ ∠OPG= 45°,∵ OP= 2 t,∴ OG =PG = t,∴ 点 P( t,t),易得 B(6,2),Q(2t,0),∴ PB2 = (6-t) 2+(2-t) 2,QB2 = (6-2t) 2 +22,PQ2 = (2t- t) 2 + t2 = 2t2,①若∠PQB = 90°,则有 PQ2 + QB2 =PB2,即 2t2+[(6-2t) 2+22] =(6-t) 2+(2-t) 2,整理得 4t2-8t= 0,解得 t1 = 0(舍去),t2 = 2,∴ t = 2;②若∠PBQ = 90°,则有 PB2+QB2 =PQ2,∴ [(6-t) 2+(2-t) 2]+[(6-2t) 2 +22 ] = 2t2,整理得 t2 - 10t + 20 = 0,解得 t = 5 ± 5 ;③若 ∠BPQ= 90°,则 PB2 +PQ2 =QB2,∴ (6- t) 2 +(2- t) 2 +2t2 = (6-2t) 2+22,解得 t = 0(舍去) .综上所述,当 t = 2 或 t = 5+ 5或 t= 5- 5时,△PQB 为直角三角形. 第 7 题解图 8.90°或 180°或 270°　 【解析】由题意可知,点 P 在以 A 为圆 心,AB 长为半径的圆上运动.分三种情况:①当∠PCD = 90°时,如解图,过点 C 作 CD 的垂线交☉A 于点 P1,P2,连 接 DP1,DP2,AC,∵ ∠B = 60°,BC = 2AB,∴ ∠BAC = 90°,∵ 在▱ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,∴ CD⊥AC,∴ 点 A 在 CP2 上,即当 P 为直线 AC 与☉A 的交点时符合题意,∴ α1 = 90°,α2 = 180°+∠BAP1 = 270°;②当∠PDC= 90°时,延长 BA 交☉A 于点 P3,连接 P3C,P3D,∵ AP3∥CD,AP3 = AB =CD, ∴ 四边形 ACDP3 为平行四边形,∴ ∠P3DC=∠P3AC= 90°, 即 P 运动到 P3 时符合题意,∴ α3 = ∠BAP3 = 180°;③当 ∠CPD= 90°时,记 CD 中点为 G,以 G 为圆心,GC 长为半径 作☉G,连接 AG,则 AG = AC2+CG2 = BC2-AB2+CG2 = (2CD) 2-CD2+( 1 2 CD) 2 = 13 2 CD> 3 2 CD,∴ ☉A 与☉G 相离,∴ ∠DPC<90°,即不存在符合题意的点 P.综上所述, 旋转角 α 的度数为 90°或 180°或 270°. 第 8 题解图 9.1 或 3或 3- 3 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC = 30°,AC⊥BD,∴ ∠BAC= 75°,连接 CE,并延长 CE 交 AB 于 点 P1,如解图所示,当∠AED = 45°时,∠BAE = 30°,易得 △AEC 与△AEP1 都为直角三角形,在△AEP1 中,∠AP1E = 90°-∠P1AE = 60°,tan∠AP1E = tan60° = 3 ,在△AEC(即 △AEP2,此时点 P2 与点 C 重合)中,tan∠AP2E = tan45° = 1;过点 A 作 AP3⊥AE 交 CD 于点 P3,在△AEP3 中,∠EAP3 = 90°,此时 CP1∥AP3,∵ AP1 ∥CP3,∴ 四边形 AP1CP3 是 平行四边形,∴ AP3 =CP1,设 OA = a,则 EC = AE = 2 a,EP1 = 6 a 3 ,∴ AP3 = CP1 = 6 a 3 + 2 a,tan∠AP3E = AE AP3 = 2 a÷ ( 6 a 3 + 2 a)= 3 3 +3 = 3 - 3 2 .综上所述,tan∠APE 的值为 1 或 3或 3- 3 2 . 第 9 题解图 10.6-3 2或 6+ 3 2 或 2 或 6 　 【解析】 ∵ ∠C = 90°,∠A = 45°,∴ ∠ABC= 45° =∠A,∴ AC=BC = 6 2 ,∴ 由勾股定理 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 得 AB= 12,∵ M 为 AC 的中点,∴ AM = CM = 3 2 ,由折叠 的性质可知,∠MA′N = ∠A = 45°,A′N = AN,MA′ = AM = 3 2 ,由题意知,当△A′BP 是直角三角形时,分∠A′PB = 90°,∠BA′P= 90°两种情况求解:当∠A′PB = 90°,A′在 AB 左侧时,MA′⊥ AB, 如解图 ①, ∴ ∠PMA = 45° = ∠A, ∠A′NP= 45° =∠MA′N,∴ PM = AP,A′P =PN,由勾股定理 得 AM= 2PM= 3 2 ,解得 PM= 3,∴ AP = 3,∴ A′P = A′M- PM= 3 2 -3,由勾股定理得 A′N = 6-3 2 ,∴ AN = 6-3 2 ; 当∠A′PB= 90°,A′在 AB 右侧时,MA′⊥AB,如解图②,∴ PA′=PM+A′M= 3+3 2 ,设 AN=A′N = x,则 PN = x-3,由勾 股定理得 A′N2-PN2 =PA′2,即 x2-(x-3) 2 =(3+3 2 ) 2,解 得 x= 6+3 2 ,∴ AN = 6+3 2 ;当∠BA′P = 90°,A′在 AB 左 侧时,如解图③,连接 BM,作 BD⊥NA′交 NA′的延长线于 点 D, ∵ ∠BA′ M = 90° = ∠C, BM = BM, A′ M = CM, ∴ Rt△A′BM≌Rt△CBM(HL),∴ A′B=CB=6 2,∵ ∠BA′D= 180°-∠MA′N-∠BA′M = 45°,∴ ∠A′BD = 45° = ∠BA′D, ∴ A′D=BD,由勾股定理得 A′B = A′D2+BD2 = 2 BD = 6 2 ,解得 A′D=BD= 6,设 A′N=AN=a,则 DN = 6+a,BN = 12-a,由勾股定理得 BN2-DN2 =BD2,即(12-a) 2-(6+a) 2 = 62,解得 a = 2,∴ AN = 2;当∠BA′P = 90°,A′在 AB 右侧 时,A′,C 重合,如解图④,∴ MN⊥AC,∵ ∠ANM = 45° = ∠BAC, ∴ MN = AM = 3 2 , 由 勾 股 定 理 得 AN = MN2+AM2 = 6.综上所述,AN 的值为 6-3 2或 6+3 2或 2 或 6. 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 10 题解图 例 3　 (2,0)或(2+2 2 ,0)或(2-2 2 ,0) 　 【解析】设点 P 的坐标为(x,0),由 CP⊥DP 得∠CPD = 90°,由题意易知 点 D 的坐标为(4,1)或(4,-1) .如解图①,当点 D 的坐标 为(4,1)时,设 OP = x,则 AP = 4-x,易得△OCP∽△APD, ∴ OC AP =OP AD ,即 4 4-x = x 1 ,解得 x1 = x2 = 2,∴ 点 P 的坐标为 (2,0);如解图②,当点 D 的坐标为 ( 4, - 1) 时,CD = (0-4) 2+[4-(-1)] 2 = 41 ,PC= (x-0) 2+(0-4) 2 = x2+16 ,PD = (x-4) 2+[0-(-1)] 2 = (x-4) 2+1 .在 Rt△CDP 中,由勾股定理,得 PC2+PD2 =CD2,∴ x2 +16+( x -4) 2+1= 41,整理得 x2-4x-4= 0,解得 x1 = 2+2 2 ,x2 = 2- 2 2 ,∴ 点 P 的坐标为(2+2 2 ,0)或(2-2 2 ,0) .综上所 述,点 P 的坐标为(2,0)或(2+2 2 ,0)或(2-2 2 ,0) . 图① 　 　 图② 例 3 题解图 例 4　 3 或 3 3或 3 5 　 【解析】①当点 D 恰好落在△ABC 的 AB 边上时,如解图①,∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,∠ABC = ∠ADE= 30°,AC=DE = 2 3 ,∴ BC = 2AC = 4 3 ,AE = 1 2 DE = 3 ,∴ AB = BC2-AC2 = (4 3 ) 2-(2 3 ) 2 = 6,AD = DE2-AE2 = (2 3 ) 2-( 3 ) 2 = 3,∴ BD=AB-AD= 6-3= 3;②当点 D 恰好落在△ABC 的 BC 边上时,如解图②,∵ AD= 3,BC= 4 3 ,AC = 2 3 ,AB = 6,∴ S△ABC = 1 2 AC·AB = 1 2 ×2 3 ×6= 6 3 ,又∵ 1 2 BC·AD = 1 2 ×4 3 ×3 = 6 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD,∴ AD 是斜边 BC 上的高,即 AD⊥BC, ∴ BD=AB·cos∠ABC= 6×cos30° = 3 3 ;③当点 D 恰好落 在△ABC 的 AC 边上时,如解图③,则 BD = AB2+AD2 = 62+32 = 3 5 .综上所述,BD 的长为 3 或 3 3或 3 5 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 例 4 题解图 11.(4,0)或(4-2 2 ,0)或(-2 2 ,0) 　 【解析】如解图,①当 ∠CBP1 ∶∠ABP1 = 1 ∶ 3时,则∠CBP1 = 90° × 1 3-1 = 45°,∴ BC=CP1 = 2,∴ OP1 =OC+CP1 = 2+2= 4,此时点 P1 的坐标 为(4,0);②当∠CBP2 ∶∠ABP2 = 1 ∶3时,则∠CBP2 = 90°× 1 1+3 = 22.5°,连接 OB,则∠OBC = 45°,OB = 2 BC = 2 2 , 此时 BP2 平分∠OBC,过点 P2 作 P2M⊥OB 于点 M,则 P2M=P2C=OM= 2 2 -2,∴ OP2 = 2OM = 4-2 2 ,此时点 P2 的坐标为(4-2 2 ,0);③当∠ABP3 ∶∠CBP3 = 1 ∶ 3时, 则∠ABP3 = 90°× 1 1+3 = 22.5° =∠BP3C =∠OBP3,∴ OP3 = OB= 2 2 ,此时点 P3 的坐标为(-2 2 ,0) .综上所述,点 P 的坐标为(4,0)或(4-2 2 ,0)或(-2 2 ,0) . 第 11 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 12.2 3或 4 或 6 　 【解析】∵ ∠C = 90°,∠B = 30°,BC = 9,∴ AC=BC·tan30° = 9× 3 3 = 3 3 ,AB = AC2+BC2 = 6 3 .① 当点 M 在 AB 上时,如解图①,过点 D 作 DN⊥BC 交 AB 于点 N,∵ ∠B= 30°,∴ BN= 2DN,∵ BM = 2MD,∴ M,N 两 点重合,∴ DM⊥BC,∵ BD=BC-DC = 6,∴ MD =BD·tanB = 6× 3 3 = 2 3 ,∵ 点 F 为 MD 的中点,∴ DF = 1 2 MD = 3 , ∴ CF= CD2+DF2 = 2 3 ;②当点 M 在 BC 上时,如解图 ②,∵ BD= 6,BM = 2MD,∴ BM = 4,MD = 2,∵ 点 F 为 MD 的中点,∴ DF= 1 2 MD = 1,∴ CF = CD+DF = 3+1 = 4;③当 点 M 在 AC 上 时, 如 解 图 ③, 设 CM = x, 则 DM = CD2+CM2 = 32+x2 ,BM = CB2+CM2 = 92+x2 ,∵ BM= 2MD,∴ 92+x2 = 2 32+x2 ,解得 x = 15 或 x = - 15 (舍去),∴ DM = 2 6 ,∵ 点 F 为 MD 的中点,∴ CF = 1 2 MD= 6 .综上所述,当 BM = 2MD 时,CF 的长为 2 3 或 4 或 6 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 12 题解图 13. 3 3 2 或 3 2 或 4 3 -3 2 　 【解析】 ∵ CD = 2,AD = 2 3 ,∠D = 90°,由勾股定理可得 AC = 4,∴ 斜边 AC 上的高为 AD·CD AC =2 3 ×2 4 = 3 ,则点 P 与点 D 重合,如解图①,∵ PQ = 3 , 在 Rt△PAQ 中,由勾股定理可得 AQ= 3,∴ △PAQ 的面积 为 1 2 AQ·PQ= 1 2 ×3× 3 = 3 3 2 ;如解图②,当点 P 在 AB 上时, ∵ ∠BAC = 45°, ∠AQP = 90°, ∴ AQ = PQ = 3 , ∴ △PAQ的面积为 1 2 AQ·PQ = 1 2 × 3 × 3 = 3 2 ;如解图 ③,当点 P 在 BC 上时,易得 CQ =PQ = 3 ,AQ = 4- 3 ,∴ △PAQ 的面积为 1 2 AQ·PQ = 1 2 ×(4- 3 ) × 3 = 4 3 -3 2 . 综上所述,△PAQ 的面积为 3 3 2 或 3 2 或 4 3 -3 2 . 图① 　 图② 图③ 第 13 题解图 14.2 2或 4-2 2或 2 10 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥DC,BC=AB=CD=AD= 4,∴ ∠ADC+∠A= 180°,∵ ∠A= 45°,∴ ∠ADC = 180° -∠A = 135°,∵ DE⊥ AB,∴ △ADE 是等腰直角三角形,∴ AE=DE= 2 2 AD= 2 2 ,∴ DP =DE= 2 2 ,当点 P 在 AD 上时,如解图①,过点 C 作 CH ⊥AD 交 AD 的延长线于点 H,连接 CP,∵ AB∥DC,∴ ∠CDH=∠A= 45°,∴ △CDH 是等腰直角三角形,∴ DH = CH = 2 2 CD = 2 2 , ∴ PH = DP + DH = 4 2 , ∴ CP = PH2+CH2 = (4 2 ) 2+(2 2 ) 2 = 2 10 ;当点 P 在 CD 上时,如解图②,∵ DP = DE = 2 2 ,CD = 4,∴ CP = CD - DP= 4-2 2 ;当点 P 在 BC 上时,如解图③,连接 BD,∵ 菱 形 ABCD 是轴对称图形,BD 所在直线是菱形 ABCD 的对 称轴,DP=DE= 2 2 ,∴ △DBE 和△DBP 关于 BD 所在直 线成轴对称,∴ BP= BE = AB-AE = 4-2 2 ,∴ CP = BC-BP = 4-(4-2 2 )= 2 2 .综上所述,CP 的长为 2 2或 4-2 2 或 2 10 . 图① 图② 图③ 第 14 题解图 15.6 2或 10或 2 10 　 【解析】如解图,连接 DE,则 DE = DC2+EC2 = 62+(10-3) 2 = 85 .分三种情况讨论:① 当点 P 在 AB 边上,且∠PEA = 45°时,记为 P1,过点 P1 作 P1F⊥AE 于点 F.∵ tan∠BAE= BE AB = 3 6 = 1 2 ,∴ 设 P1F= x, 则 EF= x,AF= 2x,∴ AE = 3x.∵ AE = 32+62 = 3 5 ,∴ x = 5 ,∴ P1E= 2 x= 10 ;②当点 P 在 AD 边上,且∠AEP = 45°时,记为 P2,过点 P2 作 P2G⊥BC 于点 G.∵ ∠P1EP2 = 45°+45° = 90°,易证△P1BE∽△EGP2,∵ BE ∶P2G= 3 ∶6= 1 ∶2,∴ P2E = 2P1E = 2 10 < 85 ,符合题意;③当点 P 在 AD 边上,且∠APE = 45°时,记为 P3,过点 P3 作 P3H⊥BC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 于点 H.∵ P3H= 6,∠P3EH=∠AP3E = 45°,∴ P3E = 2 P3H =6 2 < 85 ,符合题意.综上所述,PE 的长为 6 2或 10 或 2 10 . 第 15 题解图 16. 5 2 或 12 5 或 12 2 7 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB =BC=CD=AD= 4,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB= 90°, AB∥CD, AD∥BC,∵ CE = 1,∴ DE = 4 - 1 = 3,∴ AE = AD2+DE2 = 42+32 = 5,∵ AE =DM,∴ DM = 5.当 M 在 AB 上时, 如解图 ①, 连接 ME, ∵ DM = AE, AD = DA, ∴ Rt△ADM≌Rt△DAE(HL),∴ AM =DE,∵ AM∥DE,∴ 四边形 ADEM 为平行四边形,∴ DF =MF = 1 2 DM = 5 2 ;当 M 在 BC 上时,如解图②,∵ AE=DM,AD =DC,∴ Rt△ADE ≌Rt△DCM(HL),∴ ∠EAD=∠MDC,∵ ∠MDC+∠ADF= 90°,∴ ∠EAD+∠ADF = 90°,∴ ∠AFD = 90°,∴ DF⊥AE, S△ADE = 1 2 AD·DE = 1 2 AE·DF,∴ DF = AD·DE AE = 4 ×3 5 = 12 5 ;当 M 在 BD 上时,如解图③,过点 M 作 MN⊥AD 于点 N,交 AE 于点 Q,则∠ANM =∠DNM = 90°,∵ 四边形 AB- CD 是正方形,∴ ∠ADB= 45°,∴ △MND 为等腰直角三角 形,∴ MN=DN= 2 2 MD = 5 2 2 ,∴ AN = AD-DN = 4- 5 2 2 ,∵ tan∠DAE= NQ AN =DE AD = 3 4 ,∴ NQ= 3 4 AN= 3 4 (4- 5 2 2 )= 3- 15 2 8 ,∴ MQ = MN-NQ = 5 2 2 -(3- 15 2 8 ) = 35 2 8 - 3,∴ ∠ANM=∠ADC= 90°,∴ NM∥DC,∴ △MFQ∽△DFE,∴ MQ DE =MF DF ,∴ 35 2 8 -3 3 = 5 -DF DF ,解得 DF = 12 2 7 .综上所述, DF 的长为 5 2 或 12 5 或 12 2 7 . 图① 　 　 　 图② 图③ 第 16 题解图 17.9 或 10 或 18 　 【解析】分两种情况:①如解图①,连接 DF,DB,BF,则△DBF 是等边三角形,设 DF 交 BE 于点 J. ∵ 六边形 ABCDEF 是边长为 6 3 的正六边形,∴ DF⊥ BE,∠JEF= 60°,EF=ED = 6 3 ,∴ DJ = FJ = EF·sin60° = 6 3 × 3 2 = 9,∴ DF=DJ+FJ = 18,∴ 当点 M 与点 B 重合, 点 N 与点 F 重合时,满足条件,等边三角形 DMN 的边长 为 18;②如解图②,当点 N 在 OC 上,点 M 在 OE 上时,存 在等边△DMN.当点 N 与点 C 重合,点 M 与点 O 重合,或 当点 N 与点 O 重合,点 M 与点 E 重合时,等边三角形 DMN 的边长有最大值为 6 3≈10.39,当点 N 是 OC 的中 点,点 M 是 OE 的中点时,等边三角形 DMN 的边长有最 小值为 9,∵ △DMN 的边长为整数,∴ 等边三角形 DMN 的边长为 10 或 9.综上所述,等边三角形 DMN 的边长为 9 或 10 或 18. 图① 　 　 　 图② 第 17 题解图 例 5　 2- 3或 2+ 3或 2　 【解析】∵ AB 为☉O 的直径,DE 为☉O 的弦,∴ DE≤AB,∴ 当 DE 的长为正整数时,DE = 1 或 2.当 DE = 2,即 DE 为☉O 的直径时,∵ DE⊥AB,∴ 将 DBE ( 沿 DE 翻折交直线 AB 于点 F,此时点 F 与点 A 重合, ∴ FB= 2;当 DE= 1,且点 C 在线段 OB 上时,如解图①,连 接 OD,此时 OD= 1 2 AB= 1,∵ DE⊥AB,∴ DC= 1 2 DE = 1 2 , ∴ OC= OD2-DC2 = 3 2 ,∴ BC = OB-OC = 2- 3 2 ,∴ BF = 2BC= 2- 3 ;当 DE= 1,且点 C 在线段 OA 上时,如解图②, 连接 OD,同理可得 BC= 2+ 3 2 ,∴ BF= 2BC= 2+ 3 .综上所 述,线段 FB 的长为 2- 3或 2+ 3或 2. 图① 　 图② 例 5 题解图 18. 4 3 3 或 4 3或(8-4 3 ) 　 【解析】如解图,结合题意,符合 要求的情况共有三种:①如解图①,当∠ABE = 30°时,在 Rt△ABE 中,AB= 4 cm,∴ AE = AB·tan∠ABE = 4×tan30° = 4 3 3 (cm);②如解图②,当∠AEB= 30°时,在 Rt△ABE 中, AB= 4 cm,∴ AE= AB tan30° = 4 3 3 = 4 3 (cm);③如解图③,当 ∠DEA′= 30°时,由折叠的性质可知,AE = A′E,A′B = AB = 4 cm,过点 A′作 FG⊥BC 于点 G,交 AD 于点 F,易证 FG= AB= 4 cm,Rt△A′GB∽Rt△EFA′,∴ ∠BA′G = ∠A′EF = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 30°,∴ BG = 1 2 A′B = 2 cm,∵ tan∠BA′G = BG A′G ,∴ A′G = BG tan∠BA′G = 2 3 3 = 2 3 ( cm), ∴ A′ F = FG - A′ G = ( 4 - 2 3 ) cm,∴ 在 Rt△A′EF 中,由 A′E = A′F sin∠FEA′ = 4 -2 3 1 2 =(8-4 3 )cm,∴ AE=A′E=(8-4 3 ) cm.综上所述,AE 的 长为 4 3 3 或 4 3或(8-4 3 )cm. 图① 　 　 图② 图③ 第 18 题解图 19. 10或 4 5或 5 2 　 【解析】如解图①,当 DB′⊥AB 时,过 点 C 作 CH⊥B′D 交 B′D 的延长线于点 H,∵ 在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB = 8,BC = 6,∴ AC = AB2+BC2 = 10, ∵ BD 是 AC 边上的中线,∴ BD=CD= 1 2 AC= 5, 由旋转的 性质可得 BD= B′D = 5,在 Rt△ABC 中,cos∠ACB = BC AC = 3 5 ,sin∠ACB= AB AC = 4 5 ,∵ DB′∥BC,∴ ∠HDC=∠ACB,∴ sin∠HDC=sin∠ACB,cos∠HDC=cos∠ACB,∴ DH =CD· cos∠CDH= 3,CH=CD·sin∠CDH= 4,∴ B′H =B′D+DH = 8,∴ B′C= B′H2+CH2 = 4 5 ;如解图②,当 DB′⊥BC 时, 设 DB′与 BC 交于点 H, 在 Rt △CDH 中, DH = CD · sin∠DCH= 4,CH=CD·cos∠DCH= 3,∴ B′H =B′D-DH = 1,∴ B′C = B′H2+CH2 = 10 ;如解图③,当 DB′⊥AC 时,B′D=BD= CD = 1 2 AC = 5,则 B′C = 52+52 = 5 2 .综 上所述,点 B′到点 C 的距离为 10或 4 5或 5 2 . 图① 　 　 图② 图③ 第 19 题解图 20.30°或 120°或 150° 　 【解析】如解图①,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,∵ B( 3 ,3),∴ m = 3 3 ,OB = ( 3 ) 2+32 = 2 3 ,tan∠BOD= BD OD = 3 3 = 3 ,∴ ∠BOD= 60°,∴ ∠BOA= 120°.∵ A(-2 3 ,0),∴ OB=OA = 2 3 .根据反比例函数图 象的对称性和图形旋转的性质可知,在旋转的过程中 △AOB 还可以经过反比例函数图象上的点为( 3 ,3), (3, 3 ) .若点 B 经过(3, 3 ),如解图②,此时 OD = 3, BD= 3 ,∴ tan∠BOD= 3 3 ,∴ ∠BOD= 30°,即△AOB 绕着 点 O 顺时针旋转了 30°;若点 A 经过( 3 ,3),如解图③, 设 AB 与 x 轴交于点 E,易得 tan∠AOE = 3 3 = 3 , ∴ ∠AOE= 60°,即△AOB 绕着点 O 顺时针旋转了 120°;若 点 A 经过(3, 3 ),如解图④,过点 A 作 AF⊥x 轴于点 F, 易得 tan∠AOD= 3 3 ,∴ ∠AOD = 30°,即△AOB 绕着点 O 顺时针旋转了 150°.综上所述,△AOB 绕着点 O 顺时针旋 转 30°或 120°或 150°后,△AOB 的顶点依然在该反比例 函数的图象上. 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 20 题解图 专题三　 无刻度直尺作图题 例 1　 解:(1)如解图①,直线 l 即为所作(作法不唯一); 作法一 　 　 作法二 例 1 题解图① (2)如解图②,点 D 即为所作; (3)如解图③,射线 BP 即为所作(作法不唯一); (4)如解图④,点 C 即为所作(作法不唯一,点 C1,C2 亦 可) . 图② 　 图③ 　 图④ 例 1 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91