专练12 与线段有关的最值模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练十二　 与线段有关的最值模型 类型 1　 利用轴对称转化———将军饮马 例 1　 如图,在等边△ABC 中,AB= 2,N 为 AB 上一 点,且 AN= 1,AD= 3,∠BAC 的平分线交 BC 于 点 D,M 是 AD 上的动点,连接 BM,MN,则 BM+ MN 的最小值是　 　 　 . 例 1 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】由等边三角形的性质可得,B,C 关于直线 AD 对称,连接 CN 交 AD 于点 M,则 BM+MN=CM+MN, 因为 N 是定点,则求出 CN 的长就是 BM+MN 的最小值. 归纳总结 一、“一线两点”型———同侧线段和最 小值问题 问题:如图,两定点 A,B 位于直线 l 同 侧,在直线 l 上找一点 P,使得 | PA+PB | 的值最大 图示: 　 作法:作点 B 关于直线 l 的对称点 B′, 连接 AB′交直线 l 于点 P 总结:同化异,连线定位置 原理:两点之间,线段最短 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 2　 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物 线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),直线 y= 1 2 x+1 与抛物线交于 A,B 两点,点 P 为抛物 线对称轴上的一点,当 | PA-PB |取得最大值时, 点 P 的坐标为　 　 　 . 例 2 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】作点 A 关于抛物线对称轴的对称点 A′,当 P,A′,B 三点共线时, |PA-PB |取得最大值. 二、“一线两点”型———异侧线段差最 大值问题 问题:如图,两定点 A,B 位于直线 l 异 侧,在直线 l 上找一点 P,使得 | PA-PB | 的值最大 图示: 作法:作点 B 关于直线 l 的对称点 B′, 连接 AB′并延长,交直线 l 于点 P,此时 |PA-PB |的值最大,最大值为 AB′ 总结:异化同,延长定位置 原理:两点之间,线段最短 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 3 　 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = 60°, ∠BCD= 45°,BC= 2 3 +2,BD 平分∠ABC,若 P, Q 分别是 BD,BC 上的动点,则 CP+PQ 的最小值 是 ( B ) A. 2 3 +2　 　 B. 3 +3　 C.2 2 +2　 　 D. 2 +4 例 3 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】作点 Q 关于 BD 的对称点 H,当 C,H,P 三 点共线且 CH⊥AB 时,CP+PQ 的值最小. 三、“两线一点”型———线段和最小值 问题 问题:如图,P 是∠AOB 的边 OB 上一定 点,动点 M,N 分别在 OA,OB 上,在图中 画出点 M,N,使得 PM+MN 的值最小 图示: 作法:作点 P 关于 OA 的对称点 P′,过 点 P′作 P′N⊥OB 于点 N,交 OA 于点 M,此时 PM +MN 有最小值,最小值为 P′N 注意:当点 P 在∠AOB 内时,作法相同 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 例 4　 如图所示,已知点 C(1,0),直线 y = -x+7 与 两坐标轴分别交于 A,B 两点,D,E 分别是 AB, OA 上的动点,则△CDE 周长的最小值是　 　 　 . 例 4 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】C 点是定点,分别作点 C 关于 y 轴和直线 AB 的对称点 C′和 C″,连接 C′C″,交 AO 于点 E,交 AB 于点 D,此时△CDE 周长最小,最小值为线段 C′C″ 的长. 例 5　 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (1,3),点 B 的坐标为(4,1),点 C 在 x 轴上,点 D 在 y 轴上,则以 A,B,C,D 为顶点的四边形的 周长的最小值是　 　 　 . 例 5 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】作点 A 关于 y 轴的对称点 A′,点 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 A′B′交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 D,连接 AD,BC,此时四边形 ABCD 的周长最小,最小 值为 AB+A′B′的长. 四、“两线一点”型———周长最小值 问题 问题:如图,点 P 在∠AOB 的内部,在 OA 上找一点 C,在 OB 上找一点 D,使得 △PCD 的周长最小 图示: 作法:分别作点 P 关于射线 OA,OB 的 对称点 P′,P″,连接 P′P″,分别交射线 OA,OB 于点 C,D,此时△PCD 的周长最 小,最小值为 P′P″ 原理:两点之间,线段最短 五、“两线两点”型———四边形周长最 小值 问题:如图,点 P,Q 在∠AOB 内部,在射 线 OA,OB 上分别求点 M,N,使得四边 形 PQNM 的周长最小 图示: 作法:分别作点 P,Q 关于射线 OA,OB 的对称点 P′,Q′,连接 P′Q′与两直线的 交点即为点 M,N,此时四边形 PQNM 周 长最小,为 QP+Q′P′ 原理:作对称,两点之间,线段最短 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 2　 利用平移转化———造桥选址 例 6　 [人教八上 P86 问题 2 改编]如图,在河的两岸 有 A,B 两个村庄,河宽为 4 km,A,B 两村庄的直 线距离 AB= 10 km,A,B 两村庄到河岸的距离分 别为 1 km、3 km,计划在河上修建一座垂直于两 岸的桥 MN,点 M 为靠近 A 村庄的河岸上一点, 则 AM+BN 的最小值为 ( A ) A.2 13 km　 　 　 　 B.(1+3 5 )km C.(3+ 37 )km D. 85 km 例 6 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】 A,B 为定点,MN 为定值,AM 和 BN 随着 MN 的平移而变化,可联想“造桥选址”模型,作 BB′ = MN 且 BB′∥MN,当 A,M,B′三点共线时,AM+BN 有最 小值. 归纳总结 问题:如图,A,B 两地分别在河的两岸, 现需要在河上建造一座桥 MN(点 M,N 分别在 l1,l2 上),使得从 A 到 B 的路径 AM+MN+NB 最小,已知河宽为 b 图示: 作法:将点 A 沿垂直于河岸 l1 的方向平 移到 A′,使得 AA′=MN = b,连接 A′B,交 河岸 l2 于点 N,过点 N 作 NM⊥l1 于点 M,则此时 AM+MN+NB 取得最小值,为 b+A′B 原理:两点之间,线段最短 解题要点:平移构造平行四边形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 拓展 1　 胡不归 例 7　 如图,在等边△ABC 中,AB= 6,点 E 为 AC 的 中点,点 D 是 BE 上的一个动点,则 CD+ 1 2 BD 的 最小值是 ( B ) A.3　 　 　 B.3 3 　 　 　 C.6　 　 　 D.3+ 3 例 7 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】由“CD+ 1 2 BD”想胡不归,由题意得∠ABE = 30°,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,易得 DH = 1 2 BD,即 CD+ 1 2 BD=CD+DH,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,易得 CD+DH ≥CF,则 CD+ 1 2 BD 的最小值即为 CF 的长. 归纳总结 问题:直线 MN 上有一定点 A,直线 MN 外有一定点 B,在直线 MN 上确定一点 C,使得 BC+kAC 的值最小. 思路:以点 C 为端点构造线段 CH,使得 CH= kAC. 图示: 作法:构造射线 AD,使得 sin∠CAD = k, 过点 C 作 CH⊥AD 于点 H,即CH AC = k,则 CH= kAC,∴ BC+kAC =BC+CH,∴ 使 BC +CH 最小即可,过点 B 作 BH′⊥AD 交 MN 于点 C′,BH′的长即为 BC+kAC 的最 小值. 原理:垂线段最短 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展 2　 费马点 例 8　 如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6 3 ,点 M 是对角线 AC 上的一动点,且∠ABC = 120°,则 MA+MB+MD 的最小值是　 　 　 . 例 8 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】由“MA+MB+MD”想费马点,过点 M 作 ME ⊥AB 于点 E,连接 DE,连接 BD 交 AC 于点 O,点 M 运 动到 DE 上,且 DE⊥射线 AB 时,DE 取得最小值,此时 DE 最短,即 MA+MB+MD 最小,根据菱形性质和等边 三角形的性质即可求出 DE 的长,进而可得结论. 归纳总结 问题:如图,在△ABC 内找一点 P,使得 PA+PB+PC 的值最小. 作法:将△APB 绕点 B 逆时针旋转 60°,得到△A′P′B(如解图①),连接 PP′,可证△PBP′为等边三角形,∴ PB =PP′,∴ PA+PB+PC =P′A′+PP′+PC, ∴ 当 A′,P′,P,C 四点共线时,P′A′+ PP′+PC 的值最小(如解图②),此时, 易证∠APB=∠A′P′B =∠BPC = 120°, ∴ ∠APC = 120°,∴ ∠APB = ∠BPC = ∠APC= 120°. 解图① 解图② 原理:两点之间,线段最短 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.如图,在菱形 ABCD 中,点 A,B,C,D 均在坐标轴上.∠ABC = 120°,点 A(-3,0),点 E 是 CD 的中点,点 P 是 OC 上的一动点,则 PD+PE 的最小值是 ( A ) A.3　 　 　 　 　 　 　 B.5　 　 　 　 　 　 　 C.2 2 　 　 　 　 　 　 　 D. 3 2 3 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 2.如图,在菱形 ABCD 中,AB= 6,∠ABC= 60°,AC 与 BD 交于点 O,点 N 在 AC 上且 AN = 2,点 M 在 BC 上且 BM= 2 3 BC,P 为对角线 BD 上一点,则 PM-PN 的最大值为　 　 　 . 3.如图,正方形 ABCD 的边长为 6,∠DAC 的平分线 AE 交 DC 于点 E.若点 P,Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQ + PQ 的最小值是　 　 　 . 4.如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,点 E 在边 BC 上,且 BE = 1,点 M 为 AB 上一动点,点 N 为 对角线 AC 上一动点,则△EMN 周长的最小值为　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD= 6,AE= 4,AF = 2,G,H 分别是边 BC,CD 上的动点,则四 边形 EFGH 周长的最小值为　 　 　 . 6.如图,正方形 ABCD 的边长为 3,E、F 是对角线 BD 上的两个动点,且 EF= 2,连接 CE、CF, 则△CEF 周长的最小值为　 　 　 . 7.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在边 BC 上且 CE = 1,长为 2的线段 MN 在 AC 上运 动,当四边形 BMNE 的周长最小时,则 tan∠MBC 的值是　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 8.如图,在△ABC 中,AB = 5,AC = 4,sinA = 4 5 ,BD⊥AC 交 AC 于点 D.点 P 为线段 BD 上一动 点,则PC+ 3 5 PB 的最小值为 　 　 　 . 9.如图,P 为正方形 ABCD 内一动点,若 AB= 2,则 PA+PB+PC 的最小值为　 　 　 . 82 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 专练十二　 与线段有关的最值模型 例 1　 3 　 【解析】如解图,连接 CN,与 AD 交于点 M,连接 BM,此时 BM+MN 取得最小值,由 AD 为∠BAC 的角平分 线,利用三线合一得到 AD⊥BC,且平分 BC,∴ AD 为 BC 的垂直平分线,∴ CM = BM,∴ BM+MN = CM+MN = CN,即 最小值为 CN 的长,∵ △ABC 为等边三角形,且 AB = 2,AN = 1,∴ CN 为 AB 边上的中线,∴ CN⊥AB,在 Rt△ACN 中, AC=AB= 2,AN= 1,根据勾股定理得 CN= AC2-AN2 = 3 . 例 1 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 (2,-2) 　 【解析】设抛物线的函数解析式为 y = a( x- 2) 2,将(4,1)代入,解得 a = 1 4 ,∴ y = 1 4 ( x- 2) 2,∴ y = 1 4 (x-2) 2 与 y= 1 2 x+1 图象的交点为 A(0,1),B(6,4), 如解图,二次函数图象的对称轴为直线 x = 2,作点 A 关于 对称轴的对称点 A′,则 A′(4,1),连接 BA′并延长,交二次 函数图象对称轴于点 P,此时 | PA-PB | 取得最大值,设直 线 A′B 的解析式为 y= kx+b,将 A′(4,1),B(6,4)代入,得 4k+b= 1, 6k+b= 4,{ 解得 k= 3 2 , b=-5, { ∴ y= 32 x-5,当 x = 2 时,y = -2,∴ P(2,-2) . 例 3　 B　 【解析】如解图,作点 Q 关于 BD 的对称点 H,则 PQ=PH,∴ CP+PQ = CP+PH,∴ 当 C,H,P 三点共线,且 CH⊥AB 时,CP+PQ 取最小值,即为 CH 的长.∵ ∠ABC = 60°,∴ CH=BC·sin60° = 3+ 3 . 例 3 题解图 例 4　 10　 【解析】如解图,点 C 关于 OA 的对称点 C′( -1, 0),点 C 关于直线 AB 的对称点为 C″,∵ OA =OB = 7,OC = 1,∴ CB= 6,∠ABC= 45°,∵ AB 垂直平分 CC″,连接 BC″,∴ ∠CBC″= 90°,∴ 点 C″的坐标为(7,6),在 Rt△C′BC″中, C′C″即为△CDE 周长的最小值,C′ C″ = C′B2+C″B2 = 82+62 = 10. 例 4 题解图 　 　 例 5 题解图 例 5　 13 + 41 　 【解析】如解图,作点 A 关于 y 轴的对称 点 A′,点 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 A′B′交 x 轴于点 C, 交 y 轴于点 D,连接 AD,BC,由作图可知,此时四边形 AB- CD 的周长最小,最小值为 AB+A′B′的长.∵ AD =DA′,BC = CB′,A′(-1,3),B′(4,-1),∴ 四边形 ABCD 的周长为 AB+ BC + CD + AD = AB + B′C + CD + DA′ = AB + A′B′ = (4-1) 2+(1-3) 2 + (4+1) 2+(-1-3) 2 = 13 + 41 . 例 6　 A　 【解析】如解图,作 BB′垂直于河岸 b,使 BB′等于 河宽,连接 AB′,与靠近 A 的河岸相交于 M,作 MN 垂直于 另一条河岸 a,则 MN∥ BB′且 MN = BB′,于是四边形 MNBB′为平行四边形,故 MB′ = BN.根据“两点之间,线段 最短”,可知此时 AB′最短,即 AM+BN 最短,过点 A 作 AC ⊥BB′,交 BB′的延长线于点 C,∵ AB = 10 km,BC = 1+3+ 4= 8(km),∴ 在 Rt△ABC 中,AC = AB2-BC2 = 6( km), 在Rt△AB′C 中,B′C= 8-4= 4(km),∴ AB′= AC2+B′C2 = 2 13 (km) . 例 6 题解图 　 　 　 例 7 题解图 例 7　 B　 【解析】如解图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,则 CD+DH≥CF,∵ △ABC 是等边三角 形,AB = 6,∴ ∠A =∠ABC = 60°,AF = BF = 3,∴ CF = AF· tan60° = 3 3 ,∵ 点 E 是 AC 的中点,∴ ∠DBH = 30°,在 Rt△BDH 中,DH= 1 2 BD,∴ CD+ 1 2 BD = CD+DH≥CF = 3 3 ,∴ CD+ 1 2 BD 的最小值为 3 3 . 例 8　 18　 【解析】如解图,过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,连接 BD 交 AC 于点 O, ∵ 在菱形 ABCD 中, ∠ABC = 120°, ∴ ∠DAB= 60°,∠DAC = 30°,AD = AB = DC = BC,∴ △ADB 是等边三角形,∴ ∠MAE = 30°,∴ AM = 2ME,∵ MD =MB, ∴ MA+MB+MD = 2ME+2DM,连接 DE,当点 M 运动到 DE 上时,MA+MB+MD= 2DE,根据垂线段最短,当 DE⊥AB 时 最短,即 MA+MB+MD 最小,∵ 菱形 ABCD 的边长为 6 3 , ∴ DE= AD2-AE2 = (6 3 ) 2-(3 3 ) 2 = 9,∴ 2DE = 18, ∴ MA+MB+MD 的最小值是 18. 例 8 题解图 1.A　 【解析】如解图,作点 E 关于 x 轴的对称点 E′,连接 DE′ 交 AC 于点 P,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=120°,点 A(-3, 0),∴ DC=BC,∠DBC = 60°,∴ △BCD 是等边三角形,∵ 点 E 是 CD 的中点,点 E 和点 E′关于 x 轴对称,∴ 当点 D,P, E′三点共线,且 DE′⊥BC 时,PD+PE 有最小值,最小值为 DE′的长,∴ DE′=OC=OA= 3,即 PD+PE 的最小值是 3. 第 1 题解图 　 第 2 题解图 2.2　 【解析】如解图,作点 N 关于 BD 的对称点 N′,连接 PN′,MN′,根据轴对称性质可知,PN = PN′,∴ PM -PN = PM-PN′≤MN′,当 P,M,N′三点共线时,取“ = ”,∵ 在菱形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ABCD 中,AB= 6,∠ABC= 60°,∴ AC= 6,∵ O 为 AC 的中点, ∴ AO=OC= 3,∵ AN= 2,∴ ON= 1,∴ ON′= 1,CN′= 2,∴ AN′ = 4,∵ BM= 2 3 BC= 2 3 ×6= 4,∴ CM=BC-BM =AB-BM = 6- 4= 2, ∴ CM BM = CN′ AN′ = 1 2 , ∴ MN′∥ AB∥ CD, ∴ ∠ABC = ∠CMN′= 60°,∵ CM = CN′ = 2,∴ △N′CM 为等边三角形, ∴ CM=MN′= 2,即 PM-PN 的最大值为 2. 3.3 2 　 【解析】如解图,过点 D 作 AE 的垂线,交 AE 于点 F, 交 AC 于点 D′,过点 D′作 D′P′⊥AD 于点 P′,交 AE 于点 Q′,连接 DQ′,∴ ∠AFD =∠AFD′ = 90°,∵ AE 为∠DAC 的 平分线,∴ ∠DAE=∠D′AE,∵ AF=AF,∴ △ADF≌△AD′F, ∴ DF=D′F,∴ 点 D 与点 D′关于 AE 对称,∴ DQ′=D′Q′,∴ 当点 P 与点 P′重合,点 Q 与点 Q′重合时,∴ DQ+PQ 有最 小值,即为 D′P′的长,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠DAC = 45°,∵ 正方形 ABCD 的边长为 6,∴ AD = AD′ = 6,在 Rt△AD′P′中,AD′=6,∠P′AD′=45°,∴ D′P′= 2 2 AD′=3 2 . 第 3 题解图 　 　 第 4 题解图 4. 34 　 【解析】如解图,分别作点 E 关于 AC 的对称点 E1, 关于 AB 的对称点 E2,连接 E1E2,分别交 AB,AC 于点 F,G, 连接 EF,EG,则 EF=E2F,EG =E1G,BE2 = BE = 1,CE1 = CE = 4-1= 3,CE2 = 4+1= 5,∴ 当点 M 与点 F 重合,点 N 与点 G 重合时,△EMN 的周长取最小值,即为 E1E2 的长,∵ 在 Rt△CE1E2 中,E1E2 = CE1 2+CE2 2 = 32+52 = 34 ,∴ △EMN 周长的最小值为 34 . 5.6 5 　 【解析】如解图,作 F 点关于 BC 的对称点 F′,作点 E 关于 CD 的对称点 E′,连接 E′F′交 BC 于 G,交 CD 于 H,连 接 EH,FG,∴ FG= F′G,EH = E′H,∴ 四边形 EFGH 周长 = EF+FG+GH+HE = EF+F′G+GH+HE′≥EF+E′F′,当 E′,G, H,F′四点共线时,四边形 EFGH 周长有最小值,∵ AB = 3, AF= 2,∴ BF = 1,∴ BF′ = 1,∴ AF′ = 4,∵ AD = 6,AE = 4,∴ ED= 2, ∴ DE′ = 2, ∴ AE′ = 8,在 Rt△AE′ F′中, E′ F′ = AF′2+AE′2 = 42+82 = 4 5 , 在 Rt △AEF 中, EF = AF2+AE2 = 22+42 = 2 5 ,∴ 四边形 EFGH 周长的最小 值为 4 5 +2 5 = 6 5 . 第 5 题解图 6. 2 +2 5 　 【解析】如解图,连接 AE,AC,以 AE,EF 为邻边 作平行四边形 AEFG,则 AE = FG,EF = AG = 2 ,∠GAD = ∠ADF= 45° =∠DAC,∴ ∠GAC = 90°,∵ AB = CB,∠ABE = ∠CBE,BE=BE,∴ △ABE≌△CBE(SAS),∴ CE =AE =GF, ∴ CE+CF=GF+CF,∴ 当 G,F,C 在同一直线上时,CF+FG 的最 小 值 等 于 CG 的 长, 此 时, Rt △ACG 中, CG = AG2+AC2 = ( 2 ) 2+(3 2 ) 2 = 2 5 ,∴ CF+FG 的最小值 等于 2 5 , 又 ∵ EF = 2 , ∴ △CEF 周长的 最 小 值 为 2 +2 5 . 第 6 题解图 　 　 　 第 7 题解图 7. 2 3 　 【解析】如解图,作 EF∥AC 且 EF= 2 ,连接 DF 交 AC 于点 M,在 AC 上截取 MN= 2 ,则 BM+NE=DM+MF 最小, 又∵ BE=BC-EC = 3,MN = 2 ,∴ 此时四边形 BMNE 的周 长最小,延长 DF 交 BC 于点 P,过点 F 作 FQ⊥BC 于 Q,由 ∠FEQ=∠ACB= 45°,可得 FQ =EQ = 1.∵ ∠DPC =∠FPQ, ∠DCP=∠FQP,∴ △PFQ∽△PDC,∴ PQ PC = FQ CD ,∴ PQ PQ+2 = 1 4 ,解得 PQ= 2 3 ,∴ PC = 8 3 .由对称性可求得 tan∠MBC = tan∠PDC= 8 3 4 = 2 3 . 8. 16 5 　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB = 90°,∵ sinA = BD AB = 4 5 ,AB= 5,∴ BD = 4,由勾股定理得 AD = AB2-BD2 = 52-42 = 3,∴ sin∠ABD = AD AB = PE PB = 3 5 ,∴ PE = 3 5 PB,∴ PC+ 3 5 PB=PC+PE,∴ 当点 C,P,E 三点共线,且 CH⊥AB 时,PC+ 3 5 PB 有最小值,即为 CH 的长,∵ S△ABC = 1 2 AC· BD= 1 2 AB·CH,∴ 4×4 = 5CH,∴ CH = 16 5 ,∴ PC+ 3 5 PB的 最小值为 16 5 . 第 8 题解图 　 　 第 9 题解图 9. 2 + 6 　 【解析】如解图,将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到△BP′C′,连接 PP′,AC′,过点 C′作 C′E⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,∴ BP = BP′,∠PBP′ = 60°,△BPC≌ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 △BP′C′,∴ △BPP′是等边三角形,PC = P′C′,∠PBC = ∠P′BC′,BC=BC′= 2,∴ BP =PP′,∴ PA+PB+PC = PA+PP′ +P′C′,∴ 当点 A,P,P′,C′四点共线时,PA+PB+PC 有最小 值,最小值是 AC′的长, ∵ ∠ABP + ∠PBP′ + ∠P′ BC′ = ∠ABP+60°+∠P′BC′= 150°,∴ ∠EBC′= 30°,∴ EC′= 1,BE = 3EC′ = 3 , ∴ AE = 2 + 3 , ∴ AC′ = AE2+C′E2 = (2+ 3 ) 2+1 = 2 + 6 . 二、江西中考培优———重难专题突破 专题一　 实践操作题 1.B　 【解析】如解图所示,不同的涂色方案共有 2 个. 第 1 题解图 　 　 　 第 2 题解图 2.C　 【解析】如解图,共有 4 种画法. 3.B 4.C　 【解析】如解图,与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的 三角形有△ABG,△CDF,△AEF,△DBH,△BCG,共 5 个. 第 4 题解图 　 　 　 第 5 题解图 5.C　 【解析】如解图,满足条件的三角形有 3 个. 6.D　 【解析】如解图,符合条件的点有 6 个. 第 6 题解图 　 　 第 7 题解图 7.C　 【解析】如解图,设矩形 ABDC 的对称轴 l 与 AC 相交于 P1,与 BD 相交于 P2,当 P 与 P1 或 P2 重合时,△ABP 是直 角三角形,由对称性知,对应的△CDP 也是直角三角形;∵ AB>AC,∴ 以 AB 为直径的☉M 与矩形 ABDC 的对称轴 l 有 两个交点,设为 P3,P4,∴ 当 P 与 P3 或 P4 重合时,△ABP 是直角三角形,由对称性知,对应的△CDP 也是直角三角 形.故符合题意的点 P 有 4 个. 8.B　 【解析】如解图,将得到的两部分重新拼接,拼接后能 得到不同形状的四边形(不含矩形)共有 3 种. ① 　 ② 　 ③ 第 8 题解图 9.D　 【解析】共有 6 种拼接法,如解图所示. ① 　 ② 　 ③ ④ 　 ⑤ 　 ⑥ 第 9 题解图 10.D 专题二　 填空多解题 例 1 题解图 例 1　 4 或 2 14或 2 10 　 【解析】 ∵ AE= 1,BF= 3,AB= 8,∴ EF =AB -AE-BF= 4,∴ BE=EF+BF= 7.如 解图所示,当 P1E = EF 时,点 P1 在边 AD 上,则 P1E = EF = 4;当 P2F=EF 时,点 P2 在边 BC 上,则 P2F = EF = 4,在 Rt△P2BF 中,由 勾股定理得 P2B= P2F2-BF2 = 7 ,在 Rt△P2BE 中,由勾 股定理得 P2E = P2B2+BE2 = 2 14 ;当 P3F = P3E 时,点 P3 在边 DC 上,过点 P3 作 P3H⊥EF 于点 H,则四边形 ADP3H 是矩形,∴ AD = P3H = 6,EH = FH = 1 2 EF = 2,在 Rt△EP3H 中,由勾股定理得 P3E= P3H2+EH2 = 2 10 .综 上所述,EP 的长是 4 或 2 14或 2 10 . 1.5 或 2 5或 10 　 【解析】当 AO=AB 时,AB = 5;当 AB =BO 时,AB= 5;当 OA=OB= 5 时,B(5,0),设 A(a, 12 a )(a>0), 则 a2+( 12 a ) 2 = 5,解得 a1 = 3,a2 = 4,∴ A(3,4)或 A(4, 3),∴ AB = (3-5) 2+42 = 2 5 或 AB = (4-5) 2+32 = 10 .综上所述,AB 的长为 5 或 2 5或 10 . 2.1 或 3或 2- 3 　 【解析】如解图①,当 AB = AC,AD = 1 2 BC 时,易得∠BAC= 90°,CD=AD,∴ CD AD = 1;如解图②,当 AB = AC,AD= 1 2 AB 或 AD= 1 2 AC 时,易得∠B =∠C = 30°,∴ CD AD = 1 tan30° = 3 ;如解图③,当 AB = BC,AD = 1 2 AB 时, 易得 ∠B= 30°,设 AD=a,则 BC=AB= 2a, BD= 3 a,∴ CD= 2a- 3a=(2- 3 )a,∴ CD AD = (2 - 3 )a a = 2- 3 .综上所述, CD AD 的 值为 1 或 3或 2- 3 . 图① 　 图② 　 图③ 第 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31