专练11 辅助圆模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练十一　 辅助圆模型 类型 1　 定点定长模型(2023.12,2020.12) 例 1　 等距成圆 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,连接 AC,BD,已知 AB =AC =AD,∠BDC = 45°,BC= 6 cm,则 S四边形ABCD = 　 　 　 cm2 . 例 1 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】由 AB=AC=AD,可知 B、C、D 三点共圆,圆心为 A,由圆周角定理可得∠BAC = 90°,利用等 腰直角三角形的性质、三角形的面积公式即可求解. 归纳总结 类型 旋转成圆 等距成圆 折叠成圆 斜边中点 轨迹成圆 圆上动点与定 点的中点轨迹 图形及 辅助线 作法 点 P 绕点 A 旋转 OA=OB=OC= r △ABD 沿 AD 折叠 ∠MON = 90°, AB = 2r,点 C 是 AB 中点 M 是 AB 中点, N 是 OA 中点 结论 点 P 在以 点 A 为圆心, r 为半 径的圆上 A,B, C 在以 O 为圆心, r 为半 径的圆上 点 B 在以 A 为 圆 心, AB 长 为 半径的圆上 点 C 在以 O 为 圆 心, 1 2 AB 长 为半径的圆上 点 M 在以 N 为 圆心, 1 2 OB 长 为半径的圆上 针对训练 1. 折叠成圆 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 4,AB = 1 2 AC,D 是 BC 边上一动点,将 △ABD 沿 AD 翻折,得到△AB′D.点 D 从点 B 出发沿 BC 方向运动,当点 B′落在 AC 边上时, 点 D 停止运动,则在点 D 运动的过程中,点 B′的运动路径长为　 　 　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 斜边中点轨迹成圆 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,AD = 8,点 E,F 分别在 AB,AD 上,且 EF = 6,M 是 EF 的中点,连接 CM,则 CM 长的最小值为　 　 　 . 12 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 3. 旋转成圆 [2023 黑龙江]如图,在 Rt△ACB 中,∠BAC = 30°,CB = 2,点 E 是斜边 AB 的中点, 把 Rt△ABC 绕点 A顺时针旋转,得 Rt△AFD,点 C,点 B 旋转后的对应点分别是点 D,点 F, 连接 CF,EF,CE,在旋转的过程中,△CEF 面积的最大值是　 4+ 3 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 圆上动点与定点的中点轨迹 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点 P 是平面内一个 动点,且 AP=3,Q为 BP 的中点,在 P 点运动过程中,则线段 CQ长度的最小值为　 　 　 . 类型 2　 定弦定角模型(2019.12,2015.14) 例 2　 如图,在△ABC 中,已知∠BAC= 120°,BC= 6 3 ,则△ABC 的最大面积为　 　 　 . 例 2 题图 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】由题意知,定弦 BC= 6 3 ,定角∠BAC = 120°,可利用“定弦定角”模型,作△ABC 的外接圆 ☉O,则当点 A 是BC ( 的中点时,△ABC 的面积有最大值,利用圆周角定理和垂径定理,即可求解. 归纳总结 类型 非 90°定角 90°定角 图示 AB 为定线段,点 C 为动点,∠ACB 的度数为定值 AB 为定线段,点 C 为动点,∠ACB=90° 针对训练 5.如图,已知△ABC 中,∠BAC= 60°,BC= 2,则△ABC 周长的最大值为　 　 　 . 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6.如图,点E 是正方形ABCD边BC 上一动点(点E 不与点B、C 重合),连接DE,过点A作AF⊥DE 交 CD于点 F,垂足为 P,连接 PC,已知正方形的边长为 2,则 PC 的最小值为　 　 　 . 22 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 7.如图,在锐角三角形 ABC 中,BC = 8,sinA= 4 5 ,BN⊥AC 于点 N,CM⊥AB 于点 M,连接 MN, 则△AMN 面积的最大值是　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8.如图,矩形 ABCD 中,AB= 6,AD= 4 3 ,点 E 是 BC 的中点,点 F 在 AB 上,FB= 2,P 是矩形上 一动点.若点 P 从点 F 出发,沿 F→A→D→C 的路线运动,当∠FPE = 30°时,FP 的长 为　 　 　 . 类型 3　 四点共圆模型(2024.23(3)) 例 3 题图 例 3　 如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC,AB⊥BC.P 是△ABC 外任意一点,满足 ∠APC= 90°,连接 BP,若∠ABP= 25°,则∠PAC= 　 　 　 °. 【思路点拨】由题意知∠ABC=∠APC= 90°,即∠ABC+∠APC= 180°,则 A、B、C、P 四点共圆,由圆周角定理即可求解. 归纳总结 类型 对角互补 定线段同侧两角相等 图示 ∠A+∠C= 180° AB 为定值,∠C=∠P 分析 定圆心 四边形 ABCD 任意两边垂直平分线 的交点 △ABC 或△ABP 任意两边垂直平分线 的交点 找半径 交点到点 B、D 的距离 交点到点 A、B、C 的距离 结论 对角互补的四边形四个顶点共圆 (圆内接四边形性质) 共边三角形且边所对的角相等的四个 顶点共圆(同弧所对的圆周角相等) 针对训练 9. 名师原创 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABD=∠ACD,对角线 AC,BD 交于点 E,E 为 AC 的中 点,若 BD= 6,BE= 4,则 AC= 　 　 　 . 第 9 题图 10.平面内有四个点 A、O、B、C,其中∠AOB= 120°,∠ACB= 60°,AO=BO= 2,则满足题意的 OC 长为整数的值可以是　 　 　 . 32 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 11. 名师原创 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,将该三角形翻折,使得点 C 落在边 AB 的点 F 处,折痕为 DE,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,∠AFD =∠DEF,若 DE = 4,BD = 9,则线段 DF 的长　 　 　 . 第 11 题图 类型 4　 定角定高模型(2022.23(3)) 例 4　 如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,AD 为 BC 边上的高,若 AD= 9,则△ABC 面积的最小值 为　 　 　 . 例 4 题图 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】由题意知,定角∠BAC= 60°,定高 AD= 9,可利用“定角定高”模型构造△ABC 的外接圆,再 利用特殊角的边角关系去求出半径的范围,从而得到底边 BC 的最小值. 归纳总结 类型 定角定高 图示 ∠ABC 为定角,BD 为边 AC 上的高 分析 定圆心 △ABC 三边垂直平分线的交点 找半径 交点到点 A、B、C 的距离 结论 点 B 在以 O 为圆心,OB 长为半径的圆上运动,当 B、O、H 三点共线时,AC 存在最小值 针对训练 12. 名师原创 已知在△ABC 中,∠ABC=120°,BD⊥AC 于点 D,BD=3,则 AC 的最小值是 ( B ) A.5　 　 　 　 　 　 　 　 B.6 3 　 　 　 　 　 　 　 　 C.9 3 　 　 　 　 　 　 　 　 D.18 3 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13.如图,已知矩形 ABCD,AB = 10,BC = 18,P 为 AB 上一点,且 AP ∶BP = 2 ∶3,点 E,Q 分别为 BC,AD 上的动点,且满足∠QPE= 60°,则△QPE 面积的最小值为　 　 　 . 42 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 专练十一　 辅助圆模型 例 1 题解图 例 1　 (9+ 9 2 2 ) 　 【解析】如解 图,由题意可知,点 B,C,D 在 以 A 为圆心,AC 长为半径的 圆上,则 ∠BAC = 2 ∠BDC = 90°,∴ △ABC为等腰直角三 角形,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则 AE = 1 2 BC = 3(cm),AB =AC= AD = 3 2 cm,∵ AD∥BC,AE⊥BC,∴ AE⊥AD,∴ S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD = 1 2 BC·AE+ 1 2 AD·AE = 1 2 ×6×3 + 1 2 ×3 2 ×3=(9+ 9 2 2 )cm2 . 1. 4π 3 　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 1 2 AC,∴ sinC= AB AC = 1 2 ,∴ ∠C= 30°,∴ ∠BAC= 60°,由折叠知 AB′= AB,如解图,点 B′的运动路径为以点 A 为圆心,AB 长为半 径的弧,∴ 点 B′的运动路径长为 60π×4 180 = 4π 3 . 第 1 题解图 　 　 第 2 题解图 2.7　 【解析】如解图,连接 AM,∵ ∠A= 90°,M 是 EF 的中点, EF= 6,∴ AM= 3,∴ 点 M 的轨迹是以点 A 为圆心,3 为半径 的一段弧.连接 AC 交圆弧于点 M′,∵ AM+MC≥AC,∴ 当点 M 在 M′处时 CM 取得最小值.∵ AB = 6,AD =BC = 8,∴ AC = AB2+BC2 = 10,∴ CM′=AC-3= 7,即 CM 的最小值为 7. 3.4+ 3 　 【解析】在 Rt△ACB 中,∠BAC = 30°,E 是 AB 的中 点,CB= 2,∴ AB= 2BC= 4,∴ CE = AE = 1 2 AB = 2,AC = AB· cos30° = 2 3 ,∴ ∠ECA=∠BAC= 30°,如解图,过点 A 作 AG ⊥CE 交 CE 的延长线于点 G,∴ AG= 1 2 AC= 3 ,∵ 线段 CE 为定值,∴ 点 F 到 CE 的距离最大时,△CEF 的面积有最 大值.由旋转得 Rt△ABC≌Rt△AFD,∴ AF = AB = 4,∴ 点 F 在以 A 为圆心,AB 长为半径的圆上,当 F、A、G 三点共线 时,点 F 到 CE 的距离有最大值,最大值为 4+ 3 ,∴ S△CEF 的最大值是 1 2 CE·FG= 1 2 ×2×(4+ 3 )= 4+ 3 . 第 3 题解图 　 　 　 第 4 题解图 4. 7 2 　 【解析】如解图,取 AB 的中点 M,连接 QM,CM,在 Rt△ABC中,∵ ∠ACB = 90°,AC = 8,BC = 6,∴ AB = 10,∵ M 是 AB 的中点,∴ AM=BM=CM = 1 2 AB = 5,∵ Q 是 PB 的中 点,M 是 AB 的中点,∴ QM 是△APB 的中位线,∴ QM = 1 2 AP= 3 2 ,在△CMQ 中,CM-MQ<CQ<CM+MQ,∴ 7 2 < CQ< 13 2 ,∵ 点 C,M 是定点,点 Q 是动点,且点 Q 在以点 M 为圆心,QM 长为半径的圆上运动,∴ 当 C,M,Q 三点共线, 且点 Q 在线段 CM 上时,CQ 取得最小值 7 2 . 例 2　 9 3 　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OB,OC,过点 O 作 OA′⊥BC 于点 H,交☉O 于点 A′,∵ ∠BAC= 120°,BC= 6 3 ,∴ 点 A 运动到BC ( 的中点点 A′时, △ABC 的面积最大,∴ ∠BOA′ = 60°,BH = CH = 3 3 ,∴ OH = 3,OB= 6,∴ A′H =OA′-OH = 6-3 = 3,∴ △ABC 的最大面 积为 1 2 ×6 3 ×3= 9 3 . 例 2 题解图 5.6　 【解析】如解图,延长 BA 到点 D,使 AD = AC,连接 CD, ∴ ∠ACD=∠D,AB+AC=BD,∵ ∠BAC = 60°,∠ACD+∠D = ∠BAC,∴ ∠D= 30°,∵ BC = 2,∴ BD 是以 BC 为弦,∠D 为 圆周角的☉O 中的一条弦,如解图,连接 BO 并延长交☉O 于点 D′,连接 CD′,∵ △ABC 周长 = AB+BC+AC = 2+BD,∴ 求周长的最大值,即求 BD 的最大值,此时 BD 为☉O 的直 径,即点 D 与 D′重合时,BD 最大,∵ ∠BCD′ = 90°,∠D′ = ∠D= 30°,∴ BD′= 4,即 BD 最长为 4.∴ △ABC 周长的最大 值为 6. 第 5 题解图 　 　 第 6 题解图 6. 5 -1　 【解析】∵ AF⊥DE,∴ 点 P 的运动轨迹是以 AD 为 直径的圆上一段圆弧,如解图,取 AD 中点 H,连接 PH,CH, 交半圆 H 于点 P′,当点 P 与点 P′重合时,CP 最小.∵ 正方 形的边长为 2,∴ DC = 2,DH = 1,∴ CH = 22+12 = 5 , ∵ HP= 1,∴ CP最小 =CH-HP′=CH-HP= 5 -1. 7. 288 25 　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OB, ∵ BC=8,sin∠BAC = 4 5 ,∴ 点 A 在优弧 BC 上运动,作 AH⊥ BC 交 BC 于点 H,当点 O 在 AH 上时,△ABC 的面积最大, 此时 AB=AC,BH= 1 2 BC= 4,AH 平分∠BAC,∵ OA=OB,∴ ∠OAB = ∠ABO,又∵ ∠BOH = ∠OAB+∠ABO = 2∠OAB, ∠BAC = ∠OAB + ∠CAO = 2 ∠OAB, ∴ ∠BOH = ∠BAC, ∴ sin∠BAC= sin∠BOH= BH OB = 4 5 ,∴ BO= 5,OH= 3,∴ AH= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 8,cos∠BOH = 3 5 ,∴ S△ABC最大 = 1 2 ×8×8 = 32,∵ CM⊥AB, BN⊥AC,∴ cos∠MAC= AM AC =AN AB =cos∠BOH = 3 5 ,∵ ∠MAN =∠BAC,∴ △AMN∽△ACB,∴ S△AMN S△ABC = ( AM AC ) 2,即 S△AMN最大 32 = 9 25 ,解得 S△AMN最大 = 288 25 ,即△AMN 面积的最大值是 288 25 . 第 7 题解图 　 第 8 题解图 8.4 或 8 或 4 3 　 【解析】如解图,连接 DF,AE,DE,取 DF 的 中点 O,连接 OE.以 O 为圆心,OE 长为半径,画☉O 交 CD 于点 P3,连接 FP3,EP3,易知点 F,点 A,点 D 均在☉O 上, ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = ∠B = 90°,BC = AD = 4 3 ,∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ BE = 1 2 BC = 2 3 ,∵ BF = 2, ∴ AF= 4,∴ tan∠FEB= tan∠ADF = 3 3 ,∴ ∠ADF =∠FEB = 30°,易知 EF = OF = OE = 4,∴ △OEF 是等边三角形,∴ ∠EOF= 60°,∴ ∠EAF=∠FDE=∠FP3E = 30°,即点 P1,P2 分别在点 A,D 处,∴ FP1 = 4,FP2 = 8,FP3 = 4 3 . 例 3　 65 第 9 题解图 9.4 2 　 【解析】∵ ∠ABD =∠ACD,∴ A,B,C,D 四点共圆,由圆周角定理 的推论得∠DAE = ∠CBE,∠ADE = ∠BCE,∴ △ADE∽△BCE,∴ AE BE = DE CE ,∴ AE·CE = BE·DE,∵ E 为 AC 的中点,∴ AE=CE = 1 2 AC,∵ BD = 6,BE= 4,∴ DE= 2,∴ 1 2 AC· 1 2 AC = 4×2,解得 AC = 4 2 (负值已舍去) . 10.2,3,4　 【解析】如解图①,∵ ∠AOB = 120°,∠ACB = 60°, ∴ ∠ACB= 1 2 ∠AOB = 60°,∴ 点 C 在以点 O 为圆心,OC 长为半径的圆上,且在优弧 AB 上.∴ OC = AO = BO = 2;如 解图②,∵ ∠AOB= 120°,∠ACB = 60°,∴ ∠AOB+∠ACB = 180°,∴ 点 A、O、B、C 四点共圆.设这四点都在☉M 上,且 点 C 在优弧 AB 上运动,连接 AM、AB、MB.∵ ∠ACB = 60°, ∴ ∠AMB= 2∠ACB = 120°.当点 M 在 OC 上时,∠AMO = ∠BMO= 60°.又∵ MA =MO,∴ △AMO 是等边三角形,∴ MA=AO= 2,∴ MA<OC≤2MA,即 2<OC≤4,∴ OC 可以取 整数 3 和 4.综上所述,OC 可以取整数 2,3,4. 图① 　 　 　 　 图② 第 10 题解图 11.6　 【解析】连接 AD,过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,如解图.根 据折叠的性质可得 ∠CED = ∠DEF,∠C = ∠DFE, ∵ ∠AFD= ∠DEF,∴ ∠CED = ∠AFD,∴ ∠AFD +∠AED = ∠CED+∠AED= 180°,∴ A,F,D,E 四点共圆,∴ ∠DAF = ∠DEF,∠CAD =∠DFE,∴ ∠AFD =∠DAF,∠CAD =∠C, ∴ DF = AD = CD, ∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C, ∵ ∠CED = ∠DEF=∠DAF,∴ △BAD∽△CED,∴ AD ED =BD CD ,∵ DE= 4, BD= 9,DF=AD=CD,∴ DF 4 = 9 DF ,∴ DF= 6(负值已舍去), ∴ 线段 DF 的长为 6. 第 11 题解图 例 4　 27 3 　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE⊥BC 于点 E.∵ ∠BAC = 60°,∴ ∠BOC= 120°,∵ OB=OC,∴ ∠OBC =∠OCB = 30°.设 OA = OB=OC= r,则 OE = 1 2 r,BE = 3 2 r,由 OA+OE≥AD,得 r+ 1 2 r≥9,∴ r≥6,∴ BC= 2BE= 3 r≥6 3,∴ S△ ABC = 1 2 BC· AD≥ 1 2 ×6 3 ×9= 27 3 ,∴ △ABC 面积的最小值为 27 3 . 例 4 题解图 　 　 　 第 12 题解图 12.B　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆,连接 OA,OB,OC, 过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,∵ ∠ABC = 120°,∴ ∠AOC = 120°,∴ ∠AOH = 60°,∵ OA = OC,∴ ∠OAC = 30°,设☉O 的半径为 r,则 OH = r 2 ,AC = 2AH = 3 r,又∵ OB≥OH+ BD,∴ r≥ r 2 +3,解得 r≥6,∴ AC = 3 r≥6 3,∴ AC 的最 小值为 6 3 . 13.24 3 　 【解析】如解图,延长 QP 交 CB 的延长线于点 F, ∵ ∠QPE= 60°,∴ ∠FPE= 120°,∵ AB = 10,AP ∶BP = 2 ∶3, ∴ PB= 10× 3 5 = 6.由定角定高模型可得,当∠BPE =∠BPF =60°时,S△PFE 最小,此时 BF = BE,BE = PB·tan∠BPE = 6 3 ,∴ FE= 12 3 ,∵ 在矩形 ABCD 中,AD∥BC,∴ △APQ ∽△BPF,∴ PQ ∶ PF = AP ∶ BP = 2 ∶ 3,∴ S△QPE = 2 3 S△PFE, S△PFE的最小值为 1 2 PB·FE = 36 3 ,∴ S△QPE的最小值为 2 3 ×36 3 = 24 3 . 第 13 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01