专练10 与圆有关的最值模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 点 G 为 BC 的中点,BC = 6,∴ BG = CG = 3,∴ FG = 3,在 Rt△ECG 中,根据勾股定理,得(6-x) 2 +32 = ( x+3) 2,解得 x= 2,∴ DE= 2. 3.A　 【解析】解法一:如解图①,连接 BD,则∠BDE = 90°, ∠DBC= 45°,由题意可得 DE = 2 2 DC = 2 2 × 2 2 BD = 1 2 BD, ∴ tan∠DBE= DE BD = 1 2 ,∴ 由“12345”模型得 tan∠EBC= 1 3 . 解法二:如解图②,过点 E 作 EF⊥DC 于点 F,作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G,则四边形 CGEF 是矩形,∴ EG = CF,CG= EF,设 AB = BC= 2a,∵ ∠CED = 90°,DE = CE,∴ EF=CF=a,∴ EG=a,CG=a,∴ tan∠EBC= EG BG = a 3a = 1 3 . 图① 　 　 图② 第 3 题解图 4.B　 【解析】解法一:由折叠得,CG = CE,GF = EF,CF⊥GE, ∴ ∠GEA=∠FGH,易知 Rt△DCG≌Rt△BCE(HL),∴ DG = BE= 2,∴ AE= 6,AG = 2,∴ tan∠GEA = tan∠FGH = 1 3 ,根据 “12345”模型可得 tan∠GFA= 3 4 ,∴ AG AF = 3 4 ,∵ AG AE = 1 3 ,∴ AF= 4 9 AE,∴ EF= 5 9 AE,∴ FH = GF 10 = EF 10 = 5 9 · AE 10 = 10 3 . 解法二:∵ 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,∴ AB=AD= CD=CB= 4,∠D=∠A=∠ABC = 90°,∴ ∠D =∠CBE = 90°, 由翻折得 CG=CE,GF = EF,CF 垂直平分 EG,在 Rt△CDG 和Rt△CBE 中, CG=CE, CD=CB,{ ∴ Rt△CDG≌Rt△CBE(HL),∴ DG=BE= 2,∴ AG=AD-DG= 4-2= 2,∵ AE=AB+BE = 4+2 = 6,∴ EG= AG2+AE2 = 22+62 = 2 10 ,∵ AG2+AF2 =FG2, 且 AF= 6-EF,∴ 22+(6-EF) 2 =EF2,解得 EF = 10 3 ,∵ S△EFG = 1 2 EG·FH= 1 2 EF·AG,∴ 1 2 ×2 10 FH = 1 2 × 10 3 ×2,解 得 FH= 10 3 . 专练十　 与圆有关的最值模型 例1　 2 5 -2　 【解析】如解图,连接 OP,OC,OC 交半圆 O 于 点 P′, OP = OB = 1 2 AB = 2, 在 Rt △OBC 中, OC = OB2+BC2 = 2 5 ,CP≥OC-OP,∴ CP≥2 5 -2,当点 P 与 点 P′重合时,CP 取得最小值 2 5 -2. 例 1 题解图 　 　 　 第 1 题解图 1.D　 【解析】如解图,连接 AB,取 AB 的中点 T,连接 CT,PT. ∵ A(6,0),B ( 0,2),∴ OA = 6,OB = 2,T( 3,1),∴ AB = OB2+OA2 = 2 10 ,∴ TB = AT = PT = 10 ,∵ C(0,-3), ∴ CT= 32+42 = 5,∴ PC≥CT-PT= 5- 10 ,∴ PC 长的最 小值为 5- 10 . [变式]2 10 2.C　 【解析】如解图,当☉O 与 CB、CD 分别相切于点 E、F 时,连接 AC,与☉O 交于点 Q、点 P,此时点 A 到☉O 上的 点 Q 的距离即为所求最大距离,连接 OE、OF,∴ OE⊥BC, OF⊥CD,∵ AC 为正方形的对角线,∴ OE=OF = 1,CO 平分 ∠BCD,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ 点 O 在 AC 上,∵ AC = 2BC=4 2,OC= 2OE= 2,∴ AQ=OA+OQ = 4 2 - 2 +1 = 3 2 +1,即点 A 到☉O 上的点的距离的最大值为 3 2 +1. 第 2 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 8,32　 【解析】如解图,连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为 D,延长 DO 交☉O 于点 C1,连接 AC1,BC1,当点 C 与点 C1 重合时,点 C 到 AB 的距离最大,易得 AC1 = BC1, AD = 1 2 AB = 4,∴ 在 Rt△AOD 中,OD = AO2-AD2 = 3, ∴ C1D=OC1 +OD = 8,∴ 点 C 到 AB 距离的最大值为 8, ∴ △ABC 面积的最大值为 1 2 AB·C1D= 1 2 ×8×8= 32. 3. 3 -1, 3 -1　 【解析】如解图,连接 BM 交☉M 于点 N1,连 接 CN1,由菱形的性质得 AD∥BC,AD =AB,∴ AM = 1 2 AD = 1 2 AB= 1,∵ ∠A = 60°,∴ cosA = 1 2 = AM AB ,∴ ∠AMB = 90°, ∴ ∠MBC= 90°,当点 N 与点 N1 重合时,点 N 到直线 BC 的 距离有最小值,∵ MB=AM·tanA= 3 ,∴ BN1 = 3 -1,即点 N 到直线 BC 距离的最小值为 3 -1,∴ △BCN 面积的最小 值为 1 2 BC·BN1 = 1 2 ×2×( 3 -1)= 3 -1. 第 3 题解图 　 　 　 第 4 题解图 4.4+2 5 　 【解析】如解图,在 Rt△ABC 中,∵ AB = 4,BC = 2, ∠ABC= 90°,∴ S△ABC = 1 2 AB·BC = 4,AC = AB2+BC2 = 2 5 ,∵ S四边形ABCD = S△ABC +S△ACD = 4+S△ACD,∴ 当△ACD 的面 积最大时,四边形 ABCD 的面积最大.∵ ☉O 在斜边 AC 上 滚动,点 D 是☉O 上一点,∴ 当过点 D 的直径 DE⊥AC 时, DE 最大,即△ACD 的面积最大,此时 DE = 2,∴ S△ACD的最 大值为 1 2 AC·DE= 2 5 ,∴ 四边形 ABCD 的最大面积为 4+ 2 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练十　 与圆有关的最值模型 类型 1　 点圆最值模型 例 1　 [2022 柳州改编]如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, 则 CP 的最小值为　 　 　 . 例 1 题图 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】连接 OP,OC,OC 交半圆 O 于点 P′,当 O、P、C 三点共线,即点 P 与点 P′重合时,CP 有最小 值,则 CP≥OC-OP,利用圆和正方形的基本性质即可求解. 归纳总结 Ⅰ.模型特征:平面内一定点 A 与半径为 r(定值)的圆上一动点 P 之间距离的最值 Ⅱ.基本思路:找圆心,“两点”化“三点”,三点共线取最值 Ⅲ.模型构建(☉O 半径为 r) 类型 定点在圆外(最常考) 定点在圆上 定点在圆内 图形及辅 助线作法 解法提炼 基本方法:“一箭穿心”找最值,“近”最小,“远”最大 基本依据:三角形三边关系,三点共线,圆中最长弦是直径 最大值 AP2 =OA+r AP2 = 2r AP2 =OA+r 最小值 AP1 =OA-r AP1 = 0 AP1 = r-AO 针对训练 1.如图,圆与坐标轴分别交于原点 O,点 A(6,0)和点 B(0,2),点 P 是圆上一个动点,点 C(0, -3),则 PC 长的最小值为 ( D ) 第 1 题图 A.4 2 - 10 　 　 　 　 　 B.8 2 - 10 　 　 　 　 　 C.2 5 - 10 　 　 　 　 　 D.5- 10 [变式]当点 C 在圆上时,PC 长的最大值为　 　 　 . 91 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 第 2 题图 2.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,☉O 的半径为 1.若☉O 在正方形 ABCD 内 平移(☉O 可以与该正方形的边相切),则点 A 到☉O 上的点的距离的最大 值为 ( C ) A.4 2 　 　 　 　 　 B.2 2 +1　 　 　 　 　 C.3 2 +1　 　 　 　 　 D.3 2 -1 类型 2　 线圆最值模型 例 2　 名师原创 如图,AB 是☉O 的弦,C 是☉O 上一动点,连接 AC,BC,若☉O 的半径为 5, AB= 8,则点 C 到 AB 距离的最大值为　 　 　 ,△ABC 面积的最大值为　 　 　 . 例 2 题图 　 　 　 　 　 　 备用图 【思路点拨】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,延长 DO 交☉O 于点 C1,当点 C 与点 C1 重合时,点 C 到 AB 的 距离最大,利用垂径定理即可求解. 归纳总结 Ⅰ.模型特征:半径为 r(定值)的圆上一动点 P 与定直线 m 间距离的最值 Ⅱ.模型构建(记☉O 半径为 r,圆心 O 到定直线 m的距离为 d) 类型 线圆相离 线圆相切 线圆相交 图形及 辅助线 作法 PQ最大 =d+r (PQ≤PM≤OM+ OP=d+r) PQ最小 =d-r (PQ≥OQ-OP≥ OM-OP=d-r) PQ最大 = 2r PQ最小 = 0 PQ最大 =d+r PQ最小 = 0 依据与 总结 依据 1:垂线段最短 依据 2:三角形三边关系及三点共线 总结:过圆心作定直线的垂线与圆相交,“近垂足”取最小,“远垂足”取最大 针对训练 3. 名师原创 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A = 60°,M 是 AD 边的中点,☉M 经过点 A, D,点 N 为☉M 上一动点,连接 BN,CN.则点 N 到直线 BC 距离的最小值为　 　 　 ,△BCN 面积的最小值为　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.如图,在 Rt△ABC 中,AB= 4,BC = 2,∠ABC = 90°,半径为 1 的☉O 在斜边 AC 上滚动,点 D 是☉O 上一点,则四边形 ABCD 的最大面积为　 　 　 . 02