专练8 利用等面积法解题&专练9“12345”模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 如解图,过点 F 作 FH⊥AD 于点 H,则四边形 CDHF 为矩 形, 第 5 题解图 ∴ FH=CD,DH=CF, ∠FHE=∠BFH= 90°, ∴ FH=AD, 在 Rt△FHE 和 Rt△DAG 中, FH=AD, EF=DG,{ ∴ Rt△FHE≌Rt△DAG(HL), ∴ EH=AG,∠HFE=∠ADG=α, ∵ DE= 2AG, ∴ DE= 2EH,即点 H 为 DE 的中点, ∴ EH=DH=AG=CF, ∴ AB-AG=BC-CF,即 BG=BF, ∴ △BFG 为等腰直角三角形,∠BFG= 45°, ∴ ∠EFG= 90°-∠BFG-∠HFE= 90°-45°-α= 45°-α. 专练八　 利用等面积法解题 例 1　 C　 【解析】如解图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,又∵ BD ⊥AC 于点 D,∴ S△ABC = 1 2 BC·AE = 1 2 AC·BD,∵ AE = 4,CE= 3,∴ AC= 42+32 = 5,∵ BC= 4,∴ 1 2 ×4×4 = 1 2 × 5BD,解得 BD= 16 5 . 例 1 题解图 　 　 例 2 题解图 例 2　 A　 【解析】如解图,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,连接 AP,∵ 在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 8,∴ BF = 4,∴ 在 Rt△ABF中,AF= AB2-BF2 = 3. 解法一:∵ S△ABC = S△ABP +S△ACP,∴ 1 2 × 8× 3 = 1 2 × 5PD+ 1 2 ×5PE,∴ 12= 1 2 ×5(PD+PE),∴ PD+PE= 24 5 . 解法二思路点拨:特殊值法.当点 P 在 B 处时, 1 2 BC· AF= 1 2 AC·PE,PE 的值即为所求. 1.B　 【解析】设点 C 到 AB 边的距离为 h,∴ S△ABC = 1 2 AB· h,∵ S△ABC = 3×3- 1 2 ×1×2- 1 2 ×2×3- 1 2 ×1×3 = 7 2 ,AB = 22+32 = 13 ,∴ h= 2S△ABC AB = 7 13 13 . 2.C　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, AC = 8, BD = 6, ∴ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD= 1 2 ×8×6 = 24,AC⊥BD,OA =OC = 1 2 AC = 4, OB = OD = 1 2 BD = 3, 在 Rt △AOB 中, AB = OB2+OA2 = 32+42 = 5,∵ S菱形ABCD = DE·AB,∴ DE = S菱形ABCD AB = 24 5 . 3.D　 【解析】如解图,连接 CD,∵ DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB = 90°,∴ 四边形 CEDF 是矩形,∴ EF = CD,由垂线段最短 可得 CD⊥AB 时 CD 最短,即此时线段 EF 的长最小,∵ AC = 3,BC= 4,∴ AB= AC2+BC2 = 5,∵ 1 2 AB·CD = 1 2 BC· AC,∴ CD= AC·BC AB = 12 5 ,∴ 线段 EF 的最小值为 12 5 . 第 3 题解图 4.D　 【解析】解法一:在正方形 ABCD 中,OA⊥OB,∠OAD = 45°,∵ PE⊥AC,PF⊥BD,∴ 四边形 OEPF 为矩形,△AEP 是等腰直角三角形,∴ PF=OE,PE=AE,∴ PE+PF=AE+OE =OA,∵ 正方形 ABCD 的边长为 1,∴ OA = 2 2 AB = 2 2 ,即 PE+PF 的值为 2 2 . 解法二思路点拨:等面积法. 专练九　 “12345”模型 【自主作答】情况一:当点 F 在点 B 下方时, ∵ tanβ= 1 3 ,α+β= 90°-∠DCF= 45°, ∴ 由“12345”模型得 tanα= 1 2 ,设 AG=DG=a, 则 CG= 2a,a+2a= 6,解得 a= 2, 则 AD= 2 2 ; 情况二:当点 F 在点 B 上方时, ∵ tanβ= 1 3 ,α+β=∠DCB+β=∠DCF= 45°, ∴ 由“12345”模型得 tanα= 1 2 ,设 CG= b, 则 DG=AG= 2b,b+2b= 6,解得 b= 2, ∴ AG= 4,则 AD= 4 2 . 综上所述,AD 的长度为 2 2或 4 2 . 1.1　 【解析】如解图,连接格点 AQ,由网格性质得 AQ∥CD, ∴ ∠CPB = ∠QAB, 根据 “ 12345” 模型 得 ∠QAB = 45°, ∴ tan∠CPB= tan∠QAB= tan45° = 1. 第 1 题解图 　 　 　 第 2 题解图 2.2　 【解析】解法一:如解图,连接 AE,易得∠BAG+∠DAE = 45°,tan∠BAG= BG AB = 3 6 = 1 2 ,由“12345”模型得 tan∠DAE = 1 3 ,∴ DE= 2. 解法二:如解图,连接 AE, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=AD = 6,∠B =∠C =∠D = 90°,由折叠的性 质得 AF = AB = 6,∠AFG = ∠B = 90°,BG = FG,∴ ∠AFE = 90°,在 Rt△AFE 和 Rt△ADE 中, AE=AE, AF=AD,{ ∴ Rt△AFE≌ Rt△ADE(HL),∴ EF=DE,设 DE = FE = x,则 EC = 6-x.∵ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 点 G 为 BC 的中点,BC = 6,∴ BG = CG = 3,∴ FG = 3,在 Rt△ECG 中,根据勾股定理,得(6-x) 2 +32 = ( x+3) 2,解得 x= 2,∴ DE= 2. 3.A　 【解析】解法一:如解图①,连接 BD,则∠BDE = 90°, ∠DBC= 45°,由题意可得 DE = 2 2 DC = 2 2 × 2 2 BD = 1 2 BD, ∴ tan∠DBE= DE BD = 1 2 ,∴ 由“12345”模型得 tan∠EBC= 1 3 . 解法二:如解图②,过点 E 作 EF⊥DC 于点 F,作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G,则四边形 CGEF 是矩形,∴ EG = CF,CG= EF,设 AB = BC= 2a,∵ ∠CED = 90°,DE = CE,∴ EF=CF=a,∴ EG=a,CG=a,∴ tan∠EBC= EG BG = a 3a = 1 3 . 图① 　 　 图② 第 3 题解图 4.B　 【解析】解法一:由折叠得,CG = CE,GF = EF,CF⊥GE, ∴ ∠GEA=∠FGH,易知 Rt△DCG≌Rt△BCE(HL),∴ DG = BE= 2,∴ AE= 6,AG = 2,∴ tan∠GEA = tan∠FGH = 1 3 ,根据 “12345”模型可得 tan∠GFA= 3 4 ,∴ AG AF = 3 4 ,∵ AG AE = 1 3 ,∴ AF= 4 9 AE,∴ EF= 5 9 AE,∴ FH = GF 10 = EF 10 = 5 9 · AE 10 = 10 3 . 解法二:∵ 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,∴ AB=AD= CD=CB= 4,∠D=∠A=∠ABC = 90°,∴ ∠D =∠CBE = 90°, 由翻折得 CG=CE,GF = EF,CF 垂直平分 EG,在 Rt△CDG 和Rt△CBE 中, CG=CE, CD=CB,{ ∴ Rt△CDG≌Rt△CBE(HL),∴ DG=BE= 2,∴ AG=AD-DG= 4-2= 2,∵ AE=AB+BE = 4+2 = 6,∴ EG= AG2+AE2 = 22+62 = 2 10 ,∵ AG2+AF2 =FG2, 且 AF= 6-EF,∴ 22+(6-EF) 2 =EF2,解得 EF = 10 3 ,∵ S△EFG = 1 2 EG·FH= 1 2 EF·AG,∴ 1 2 ×2 10 FH = 1 2 × 10 3 ×2,解 得 FH= 10 3 . 专练十　 与圆有关的最值模型 例1　 2 5 -2　 【解析】如解图,连接 OP,OC,OC 交半圆 O 于 点 P′, OP = OB = 1 2 AB = 2, 在 Rt △OBC 中, OC = OB2+BC2 = 2 5 ,CP≥OC-OP,∴ CP≥2 5 -2,当点 P 与 点 P′重合时,CP 取得最小值 2 5 -2. 例 1 题解图 　 　 　 第 1 题解图 1.D　 【解析】如解图,连接 AB,取 AB 的中点 T,连接 CT,PT. ∵ A(6,0),B ( 0,2),∴ OA = 6,OB = 2,T( 3,1),∴ AB = OB2+OA2 = 2 10 ,∴ TB = AT = PT = 10 ,∵ C(0,-3), ∴ CT= 32+42 = 5,∴ PC≥CT-PT= 5- 10 ,∴ PC 长的最 小值为 5- 10 . [变式]2 10 2.C　 【解析】如解图,当☉O 与 CB、CD 分别相切于点 E、F 时,连接 AC,与☉O 交于点 Q、点 P,此时点 A 到☉O 上的 点 Q 的距离即为所求最大距离,连接 OE、OF,∴ OE⊥BC, OF⊥CD,∵ AC 为正方形的对角线,∴ OE=OF = 1,CO 平分 ∠BCD,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ 点 O 在 AC 上,∵ AC = 2BC=4 2,OC= 2OE= 2,∴ AQ=OA+OQ = 4 2 - 2 +1 = 3 2 +1,即点 A 到☉O 上的点的距离的最大值为 3 2 +1. 第 2 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 8,32　 【解析】如解图,连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为 D,延长 DO 交☉O 于点 C1,连接 AC1,BC1,当点 C 与点 C1 重合时,点 C 到 AB 的距离最大,易得 AC1 = BC1, AD = 1 2 AB = 4,∴ 在 Rt△AOD 中,OD = AO2-AD2 = 3, ∴ C1D=OC1 +OD = 8,∴ 点 C 到 AB 距离的最大值为 8, ∴ △ABC 面积的最大值为 1 2 AB·C1D= 1 2 ×8×8= 32. 3. 3 -1, 3 -1　 【解析】如解图,连接 BM 交☉M 于点 N1,连 接 CN1,由菱形的性质得 AD∥BC,AD =AB,∴ AM = 1 2 AD = 1 2 AB= 1,∵ ∠A = 60°,∴ cosA = 1 2 = AM AB ,∴ ∠AMB = 90°, ∴ ∠MBC= 90°,当点 N 与点 N1 重合时,点 N 到直线 BC 的 距离有最小值,∵ MB=AM·tanA= 3 ,∴ BN1 = 3 -1,即点 N 到直线 BC 距离的最小值为 3 -1,∴ △BCN 面积的最小 值为 1 2 BC·BN1 = 1 2 ×2×( 3 -1)= 3 -1. 第 3 题解图 　 　 　 第 4 题解图 4.4+2 5 　 【解析】如解图,在 Rt△ABC 中,∵ AB = 4,BC = 2, ∠ABC= 90°,∴ S△ABC = 1 2 AB·BC = 4,AC = AB2+BC2 = 2 5 ,∵ S四边形ABCD = S△ABC +S△ACD = 4+S△ACD,∴ 当△ACD 的面 积最大时,四边形 ABCD 的面积最大.∵ ☉O 在斜边 AC 上 滚动,点 D 是☉O 上一点,∴ 当过点 D 的直径 DE⊥AC 时, DE 最大,即△ACD 的面积最大,此时 DE = 2,∴ S△ACD的最 大值为 1 2 AC·DE= 2 5 ,∴ 四边形 ABCD 的最大面积为 4+ 2 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练八　 利用等面积法解题 例 1　 如图,△ABC 的顶点 A,B,C 在边长为 1 的正方形网格的格点上,BD⊥AC 于点 D,则 BD 的长为 ( C ) 例 1 题图 A. 4 5 B. 8 5 C.16 5 D.24 5 例 2　 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,BC= 8,P 是 BC 边上的动点,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC于点 E,则 PD+PE 的长是 ( A ) 例 2 题图 A.24 5 B.16 5 C.24 5 或 16 5 D.5 【思路点拨】过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.解法一:通过等面积法解题,即 S△ABC =S△ABP+S△ACP . 解法二:特殊值法.当点 P 在 B 处时, 1 2 BC·AF= 1 2 AC·PE,PE 的值即为所求. 归纳总结 解题 方法 常见 图形 　 　 　 思考:若点 O 是等边三角形 ABC 内部任意一点,则有什么样的结论? 61 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.如图,方格纸中小正方形的边长均为 1,△ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上,则点 C 到 AB 边的距离为 ( B ) A. 5 B. 7 13 13 C.14 13 13 D. 10 2 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 2.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,DE⊥AB 于点 E,若 AC = 8,BD= 6, 则 DE= ( C ) A.5 3 B.2 5 C. 24 5 D.48 5 3.如图,在 Rt△ABC 中,AC= 3,BC= 4,D 为斜边 AB 上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,则线段 EF 的最小值为 ( D ) A. 4 5 B. 3 5 C. 5 2 D.12 5 4.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 1,P 是线段 AD 上的动点,PE⊥AC 于点 E,PF⊥BD 于点 F,则 PE+PF 的值为 ( D ) A. 2 B.4 C.2 D. 2 2 专练九　 “12345”模型 模型解读 角的大小有两种刻画方法:一种是直接用度数表示,另一种是常被我们忽略的边长刻画法, 即用该角的三角函数值来刻画这个角的大小.“12345”模型就是对一些特殊角边角关系的总 结,在选填题和直接写答案的解答题中使用,可快速求解,节省时间. 归纳总结 基本图形 演变图形 图示 知二 推一 tanα= 1 2 ,tanβ= 1 3 , α+β= 45° tanα= 4 3 ,tanβ= 1 2 , α= 2β tanα= 3 4 ,tanβ= 1 3 , α= 2β 71 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 真题链接 [2024 江西 23 题(3)②] 如图,在 Rt△ABC 中, AC=BC,点 D 是斜边 AB 上的动点(点 D 与点 A 不重合),连接 CD,以 CD 为直角边在 CD 的右侧构造 Rt△CDE,∠DCE = 90°,连接 BE,点 F 与点 C 关于 DE 对称,连接 DF,EF,BF,已知 AC= 6,BF= 2,请直接写出 AD 的长度. 【思路点拨】如图①,②,连接 CF,过点 D 作 DG⊥AC 于点 G,易知∠DCF = 45°.结合两图信息,运用 “12345”模型求出 AD 的长度. 图① 图② 　 　 　 【自主作答】 情况一:∵tanβ= 1 3 ,α+β=90°-∠DCF=45°, ∴tanα= 1 2 ,设 AG=DG=a, 则 CG=2a,a+2a=6,解得 a=2, 则 AD=2 2 . 情况二:∵tanβ= 1 3 ,α+β=∠DCB+∠β=∠DCF=45°, ∴tanα= 1 2 ,设 CG=b, 则 DG=AG=2b,b+2b=6,解得 b=2, ∴AG=4,则 AD=4 2 . 综上所述,AD 的长度为 2 2或 4 2 . 综合训练 1.在如图所示的网格中,A,B,C,D 都在网格点上,AB 与 CD 相交于点 P,则 tan∠CPB=　 　 　 . 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 2.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 6,点 G 是 BC 的中点,将△ABG 沿 AG 对折至 △AFG,延长 GF 交 DC 于点 E,则 DE 的长为　 　 　 . 3.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE,∠CED = 90°,DE =CE,连接 BE, 则 tan∠EBC= ( A ) A. 1 3 B. 2 3 C. 5 5 D.2 5 5 4.多解法 ∙∙∙ 　 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 AB 边延长线上一点,BE = 2,F 是 AB 边 上一点,将△CEF 沿 CF 翻折,使点 E 的对应点 G 落在 AD 边上,连接 EG 交折痕 CF 于点 H,则 FH 的长是 ( B ) A. 4 3 B. 10 3 C.1 D. 5 3 81