专练6 半角模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练六　 半角模型(2022.23) 例　 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E,F 分别在 CD,BC 上,∠EAF= 45°.若 S△CEF = 1, 则 S△AEF = 　 　 　 . 例题图 【思路点拨】由正方形 ABCD 得∠DAB= 90°,则∠EAF= 45° = 1 2 ∠DAB,可联想半角模型,构造全等三角 形进行求解. 归纳总结 类型 90°含 45° 120°含 60° 图示 ∠BAC= 90°,AB=AC 四边形 ABCD 为正方形 ∠BAC= 120°,AB=AC 辅助线 作法 作法 1:将△BAD 绕点 A 逆时针旋 转 90°得到△CAF, 连接 EF 作法 2:将△ABD, △ACE 分别沿 AD, AE 翻 折, 点 B, C 在点 F 处重合 作 法: 将 △BAF 绕点 A 逆时针旋 转 90°得到△DAH 作法:将△BAD 绕点 A 逆时针旋转 120°得 到△CAF,连接 EF 结论 △ADE≌△AFE, ∠ECF= 90°, BD2 +CE2 = CF2 + CE2 =EF2 =DE2 BD=DF,CE=EF, ∠DFE= 90°, BD2 + CE2 = DF2 + EF2 =DE2 △AFE≌△AHE, AG=AD, FE=EH=BF+DE △AFC≌△ADB, △DAE≌△FAE, ∠FCE= 60° 21 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.[2024 重庆 B 卷]如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线 上一点,连接 AE,AF,AM 平分∠EAF 交 CD 于点 M.若 BE=DF= 1,则 DM 的长度为 ( D ) A.2 B. 5 C. 6 D. 12 5 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°,D,E 是斜边 BC 上两点,∠DAE = 45°,BD= 3,CE= 4,则三角形 ABC 的面积为　 　 　 . 3.如图,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,△BDC 是顶角为 120°的等腰三角形,以点 D 为顶 点作∠MDN= 60°,点 M、N 分别在 AB、AC 上. (1)如图①,当 MN∥BC 时,△AMN 的周长为　 　 　 ; (2)如图②,求证:BM+NC=MN. 图① 　 　 　 图② 第 3 题图 (1)解:4; (2)证明:如解图,延长 AC 至点 E,使得 CE=BM,连接 DE, ∵△ABC 是等边三角形,△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,BD=CD,∴∠ABD=∠ACD=90°,∴∠DCE=90°, 在△BDM 和△CDE 中, BD=CD, ∠MBD=∠ECD, BM=CE, ì î í ï ï ï ï ∴△BDM≌△CDE,∴MD=ED,∠MDB=∠EDC, ∴∠MDE=∠MDC+∠EDC=120°-∠MDB+∠EDC=120°, ∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°, 在△MDN 和△EDN 中, MD=ED, ∠MDN=∠EDN=60°, DN=DN, ì î í ï ï ï ï ∴△MDN≌△EDN,∴MN=NE, 又∵NE=NC+CE=NC+BM,∴BM+NC=MN. 31 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 5.3　 【解析】 如解图,连接 EC, ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∠ABC = ∠ADE = 30°, ∴ △ABC ∽ △ADE, ∴ AB AC = AD AE , ∵ ∠BAC-∠DAC = ∠DAE - ∠DAC, ∴ ∠BAD = ∠CAE, ∴ △ABD∽△ACE, ∴ AE CE = AD BD = 3 , ∠ACE = ∠ABD = ∠ADE,在 Rt△ADE 中,∠ADE = 30°,∴ AD AE = 3,∴ AD EC =AD AE · AE CE = 3 × 3 = 3. ∵ ∠ADF = ∠ECF, ∠AFD = ∠EFC, ∴ △ADF∽△ECF,∴ DF CF =AD CE = 3. 第 5 题解图 　 　 　 第 6 题解图 6.2 3 　 【解析】如解图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转并放 大,使得 BC 和 BD 重合,得到△BDE,连接 AE,则∠DBE = ∠ABC= 45°,∴ ∠DBC =∠ABE, BD BE = BC BA = 2 2 ,∴ △BDC∽ △BEA,∴ ∠BEA=∠BDC= 45°,∵ ∠DEB= 45°,∴ ∠AED = 90°,∴ ∠BDE+∠AED = 180°,∴ AE∥BD,∴ S△ABD = S△BDE, ∴ 1 2 BD2 = 6,解得 BD= 2 3 (负值已舍去) . 专练五　 对角互补模型 例　 10 　 【解析】如解图,过点 B 作 BF⊥CD 交 DC 的延长 线于点 F,∵ BF⊥CD,BE⊥AD,∴ ∠BFC =∠BEA =∠BED = 90°, 又 ∵ ∠AOC = 90°, ∴ 四 边 形 BEDF 是 矩 形, ∴ ∠EBF= 90°,∴ ∠ABE+∠EBC = ∠EBC+∠CBF = 90°, ∴ ∠ABE=∠CBF,∵ AB = CB,∴ △AEB≌△CFB(AAS), ∴ BE= BF, S△ABE = S△BFC, ∴ 四边形 BEDF 是 正 方 形, ∴ S四边形ABCD =S正方形BEDF = 10,∴ BE2 = 10,∴ BE= 10 . 例题解图 　 　 　 第 1 题解图 1.A　 【解析】解法一:如解图,过点 O 分别作 OE⊥AD 于点 E,OF⊥CD 于点 F,则∠OEM = ∠OFN = 90°,∵ 四边形 ABCD 是正方形,BD 为其对角线,∴ OE =OF,∠EOF = 90°, ∴ 四边形 OEDF 为正方形,∵ ON⊥OM,∴ ∠MON = 90° = ∠EOF,∴ ∠EOM =∠FON,∴ △OEM≌△OFN,∴ 正方形 OFDE 的面积等于四边形 MOND 的面积,∴ DE2 = 4,∴ DE = 2(负值已舍去),∴ AB=AD= 2DE= 4. 解法二思路点拨:根据四边形对角互补模型易证△ODM≌ △OCN,进行等积转化可得等腰直角△OCD 的面积,从而 得 AB 的长. 2.1　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ △ABC 是等边三角形,∴ △AGD 为等边三角形, ∠ABC=∠ACB= 60°,∴ 易得∠DGB=∠DCF= 120°,∠GDC =∠EDF= 120°,∴ ∠GDE =∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,∴ DG= 1 2 BC=DC=BG = 2,∴ △GDE≌△CDF,∴ GE = CF,∵ BE= 1,∴ CF=GE= 1. 图① 　 　 图② 第 2 题解图 解法二:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥ BC 于点 N,连接 BD,∵ △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的 中点,∴ BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°,∠EDF = 120°,∴ ∠MDN = 120°,∴ ∠MDE+∠NDE = ∠NDE+∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME = ∠DNF = 90°,∴ △DME≌△DNF(ASA),∴ ME = NF,在 Rt△ADM 中,AD= 2,∠A= 60°,∴ AM= 1,同理可得 CN= 1,∴ ME =AB -AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 第 3 题解图 3.证明:如解图,过点 B 分别作 BF ⊥DC 于点 F,BE⊥DA 交 DA 的 延长线于点 E, 则∠BEA=∠BFC= 90°, ∵ DB 平分∠ADC,∴ BE=BF, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°,∠BAD+ ∠BAE= 180°,∴ ∠BCF=∠BAE, 在△BEA 和△BFC 中, ∠BAE=∠BCF, ∠BEA=∠BFC, BE=BF, { ∴ △BEA≌△BFC(AAS),∴ AB=CB, ∵ ∠ADB= 60°,DB 平分∠ADC, ∴ ∠ADC= 2∠ADB= 120°, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°, ∴ ∠ABC= 180°-∠ADC= 60°, ∴ △ABC 是等边三角形. 专练六　 半角模型 例题解图 例　 3 2 　 【解析】如解图,在 CB 延长线 上截取 BH =DE,连接 AH,∵ 四边形 AB- CD 是正方形,∴ ∠ADE =∠DAB =∠ABC = 90°, AD = AB, ∴ ∠ABH = ∠ADE, ∴ △ABH≌ △ADE, ∴ AH = AE, ∠DAE = ∠BAH.∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠DAE+∠BAF =∠BAH+ ∠BAF = 45°, ∴ ∠EAF = ∠HAF, ∵ AF = AF, ∴ △AEF≌△AHF,∴ S△AEF = S△AHF = S△ABH+S△ABF = S△ADE +S△ABF, ∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,∴ S正方形ABCD = 4,∵ S△CEF = 1,∴ 2S△AEF = 4-1= 3,∴ S△AEF = 3 2 . 1.D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠ABE = ∠ADF = 90°, 在 △ABE 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADF, BE=DF, { ∴ △ABE≌△ADF ( SAS),∴ AE = AF. ∵ AM 平分∠EAF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ∴ ∠EAM=∠FAM,在△AEM 和△AFM 中, AE=AF, ∠EAM=∠FAM, AM=AM, { ∴ △AEM≌△AFM( SAS),∴ EM = FM.∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ BC=CD= 4,∠BCD = 90°,设 DM = x,则 MC =CD -DM= 4-x,CE = BC-BE = 4-1 = 3,EM = FM = FD+DM = 1+ x,在 Rt△MCE 中,根据勾股定理,得 EM2 =MC2+CE2,即(1 +x) 2 =(4-x) 2+32,解得 x= 12 5 ,即 DM 的长度为 12 5 . 2.36　 【解析】解法一(旋转法):如解图①,将△AEC 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到△AFB,连接 DF,∵ AB = AC, ∠BAC= 90°,∴ ∠ABC = ∠ACB = 45°,由旋转的性质可得 △AEC≌△AFB,∴ ∠ABF = ∠ACD = 45°,∠BAF = ∠CAE, AE= AF,BF = CE,∴ ∠FBE = ∠FBA+∠ABC = 45° + 45° = 90°,∴ BD2+BF2 =DF2,∵ ∠DAE = 45°,∴ ∠BAD+∠CAE = 45°,∴ ∠BAD+∠BAF = 45°,∴ ∠DAE = ∠DAF,在△DAE 和△DAF 中, AE=AF, ∠DAE=∠DAF, AD=AD, { ∴ △DAE≌△DAF( SAS), ∴ DE=DF,∴ BD2+BF2 =DE2,∵ BD = 3,CE = 4,∴ DF =DE = 32+42 = 5,∴ BC=BD+DE+CE = 3+5+4 = 12,∴ AB = AC = 12× 2 2 = 6 2 ,∴ △ABC 的面积为 1 2 ×6 2 ×6 2 = 36. 图① 　 　 图② 第 2 题解图 解法二(翻折法):如解图②,将△ACE 和△ABD 分别沿 AE,AD 翻折,∵ ∠CAE +∠BAD = 90° -∠EAD = 45°,AB = AC,AB,AC 翻折后重合在 AM 上,MD=BD,CE=EM,∠EMA =∠C,∠AMD=∠B,∵ ∠B =∠C = 45°,∴ ∠EMD =∠EMA +∠DMA= 90°,∴ EM2 +MD2 = ED2,∴ DE = 32+42 = 5,∴ BC=BD+DE+CE= 3+5+4= 12,∴ AB=AC= 12× 2 2 = 6 2 ,∴ △ABC 的面积为 1 2 ×6 2 ×6 2 = 36. 3.(1)解:4; 第 3 题解图 (2)证明:如解图,延长 AC 至点 E,使 得 CE=BM,连接 DE, ∵ △ABC 是等边三角形,△BDC 是顶 角∠BDC= 120°的等腰三角形, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°, ∠DBC = ∠DCB= 30°,BD=CD, ∴ ∠ABD = ∠ACD = 90°,∴ ∠DCE = 90°, 在△BDM 和△CDE 中, BD=CD, ∠MBD=∠ECD, BM=CE, { ∴ △BDM≌△CDE, ∴ MD=ED,∠MDB=∠EDC, ∴ ∠MDE=∠MDC+∠EDC= 120°-∠MDB+∠EDC= 120°, ∵ ∠MDN= 60°,∴ ∠NDE= 60°, 在△MDN 和△EDN 中, MD=ED, ∠MDN=∠EDN= 60°, DN=DN, { ∴ △MDN≌△EDN,∴ MN=NE, 又∵ NE=NC+CE=NC+BM, ∴ BM+NC=MN. 专练七　 十字模型 例　 60 13 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABE =∠C = 90°,AB = BC, ∵ BE = CF, ∴ △ABE≌△BCF, ∴ ∠BAE = ∠CBF,∵ ∠CBF +∠ABG = 90°,∴ ∠BAE +∠ABG = 90°,∴ ∠BGE=90°,∴ ∠BGE=∠C,又∵ ∠EBG=∠FBC,∴ △EBG∽ △FBC,∴ BG BC =BE BF ,∵ BC=12,CF=BE= 5,∴ BF= BC2+CF2 = 122+52 =13,∴ BG 12 = 5 13 ,∴ BG= 60 13 . 1.C　 【解析】∵ AE = 5,BE = 12,即 12 和 5 为两条直角边长 时,小正方形的边长为 12-5= 7,∴ EF= 72+72 = 7 2 . 2. 34 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BAD=∠D= ∠C= 90°,AB=BC=CD=AD= 5,∵ AE =DF = 2,∴ CF =CD- DF = 5 - 2 = 3,在 △ABE 和 △DAF 中, AB=AD, ∠BAE=∠D, AE=DF, { ∴ △ABE≌ △DAF ( SAS), ∴ ∠ABE = ∠DAF, ∵ ∠DAF + ∠BAO=∠BAD = 90°,∴ ∠ABE+∠BAO = 90°,∴ ∠AOB = ∠BOF = 90°, ∵ 点 P 为 BF 的中点, ∴ OP = 1 2 BF. 在 Rt△BCF 中, BC = 5, CF = 3, 由 勾 股 定 理 得 BF = BC2+CF2 = 34 ,∴ OP= 34 2 . 3.2 ∶3　 【解析】如解图,过点 H 作 HM⊥AB,垂足为 M,过点 F 作 FN⊥AD,垂足为 N,设 HM,FE 交于点 O,则 NF =AB, MH= BC,∠ENF = ∠GMH = 90°,∵ EF⊥GH,∴ ∠GHM + ∠HOE= ∠EFN +∠FOM = 90°,又∵ ∠HOE = ∠FOM,∴ ∠GHM=∠EFN,∴ △MHG∽△NFE,∴ EF ∶GH =NF ∶HM = AB ∶BC= 2 ∶3. 第 3 题解图 　 　 第 4 题解图 4. 40 17 　 【解析】构造以 AC、BC 为邻边的矩形 ACBG,如解图所 示,延长 CE 交 AG 于点 H,设 BD 与 CE 交于点 F.∵ 四边形 ACBG 为矩形,∴ ∠ACB=∠CAH = 90°,AG∥CB,∴ ∠ACH+ ∠BCF = 90°,∵ CE⊥BD,∴ ∠BFC = 90°,∴ ∠CBD+∠BCF = 90°,∴ ∠ACH=∠CBD,∴ △ACH∽△CBD,∴ AH CD = AC BC ,即 AH 2 = 4 3 ,∴ AH= 8 3 ,∵ AG∥CB,∴ △AEH∽△BEC,∴ AE BE = AH BC = 8 9 ,∴ AE= 8 17 AB= 8 17 × 32+42 = 40 17 . 5.解:∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠ADC= 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6