专练5 对角互补模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练五　 对角互补模型(2022.23,2019.22) 例　 如图,在四边形 ABCD 中,AB =BC,∠ABC =∠CDA= 90°,BE⊥AD 于点 E,S四边形ABCD = 10, 则 BE 的长为　 　 　 . 例题图 【思路点拨】由∠ABC=∠CDA= 90°,得∠ABC+∠CDA= 180°,可联想对角互补模型,构造全等三角形进 行求解. 归纳总结 ◆一组邻边相等———全等 类型 含直角 不含直角 图示 (AD=CD) (AD=CD,∠ABC+∠ADC= 180°) 作法 作垂直构全等 旋转构等腰 直角三角形 作垂直构全等 旋转构等腰三角形 结论 △AED ≌ △CFD, 四 边形 BEDF 是正方形 △DAB≌△DCG,△BDG 是等腰直角三角形 △AED ≌ △CFD, △DEF 是等腰三角形 △DAB ≌ △DCG, △BDG是等腰三角形 ◆邻边均不相等———相似 类型 含直角 不含直角 图示 (∠ABC+∠ADC= 180°) 作法 作垂直构相似 作垂直构相似 结论 △AED∽△CFD △AED∽△CFD 01 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.多解法 ∙∙∙ 　 如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,M 是边 AD 上一点,连接 OM,过点 O 作 ON⊥OM,交 CD 于点 N.若四边形 MOND 的面积是 4,则 AB 的长为 ( A ) A.4 B.2 C.4 2 D.2 2 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.多解法 ∙∙∙ 　 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,D 是边 AC 的中点,点 E 在边 AB 上,BE = 1,点 F 在边 BC 的延长线上,且∠EDF= 120°,则 CF 的长为　 　 　 . 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD+∠BCD = 180°,DB 平分∠ADC.若∠ADB = 60°,求证: △ABC 是等边三角形. 第 3 题图 证明:如解图,过点 B 分别作 BF⊥DC 于点 F,BE⊥DA 交 DA 的延长线于点 E, 则∠BEA=∠BFC=90°, ∵DB 平分∠ADC,∴BE=BF, ∵∠BAD+∠BCD=180°,∠BAD+∠BAE=180°, ∴∠BCF=∠BAE, 在△BEA 和△BFC 中, ∠BAE=∠BCF, ∠BEA=∠BFC, BE=BF, ì î í ï ï ï ï ∴△BEA≌△BFC(AAS),∴AB=CB, ∵∠ADB=60°,DB 平分∠ADC, ∴∠ADC=2∠ADB=120°, ∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠ADC+∠ABC=180°, ∴∠ABC=180°-∠ADC=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 11 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 5.3　 【解析】 如解图,连接 EC, ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∠ABC = ∠ADE = 30°, ∴ △ABC ∽ △ADE, ∴ AB AC = AD AE , ∵ ∠BAC-∠DAC = ∠DAE - ∠DAC, ∴ ∠BAD = ∠CAE, ∴ △ABD∽△ACE, ∴ AE CE = AD BD = 3 , ∠ACE = ∠ABD = ∠ADE,在 Rt△ADE 中,∠ADE = 30°,∴ AD AE = 3,∴ AD EC =AD AE · AE CE = 3 × 3 = 3. ∵ ∠ADF = ∠ECF, ∠AFD = ∠EFC, ∴ △ADF∽△ECF,∴ DF CF =AD CE = 3. 第 5 题解图 　 　 　 第 6 题解图 6.2 3 　 【解析】如解图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转并放 大,使得 BC 和 BD 重合,得到△BDE,连接 AE,则∠DBE = ∠ABC= 45°,∴ ∠DBC =∠ABE, BD BE = BC BA = 2 2 ,∴ △BDC∽ △BEA,∴ ∠BEA=∠BDC= 45°,∵ ∠DEB= 45°,∴ ∠AED = 90°,∴ ∠BDE+∠AED = 180°,∴ AE∥BD,∴ S△ABD = S△BDE, ∴ 1 2 BD2 = 6,解得 BD= 2 3 (负值已舍去) . 专练五　 对角互补模型 例　 10 　 【解析】如解图,过点 B 作 BF⊥CD 交 DC 的延长 线于点 F,∵ BF⊥CD,BE⊥AD,∴ ∠BFC =∠BEA =∠BED = 90°, 又 ∵ ∠AOC = 90°, ∴ 四 边 形 BEDF 是 矩 形, ∴ ∠EBF= 90°,∴ ∠ABE+∠EBC = ∠EBC+∠CBF = 90°, ∴ ∠ABE=∠CBF,∵ AB = CB,∴ △AEB≌△CFB(AAS), ∴ BE= BF, S△ABE = S△BFC, ∴ 四边形 BEDF 是 正 方 形, ∴ S四边形ABCD =S正方形BEDF = 10,∴ BE2 = 10,∴ BE= 10 . 例题解图 　 　 　 第 1 题解图 1.A　 【解析】解法一:如解图,过点 O 分别作 OE⊥AD 于点 E,OF⊥CD 于点 F,则∠OEM = ∠OFN = 90°,∵ 四边形 ABCD 是正方形,BD 为其对角线,∴ OE =OF,∠EOF = 90°, ∴ 四边形 OEDF 为正方形,∵ ON⊥OM,∴ ∠MON = 90° = ∠EOF,∴ ∠EOM =∠FON,∴ △OEM≌△OFN,∴ 正方形 OFDE 的面积等于四边形 MOND 的面积,∴ DE2 = 4,∴ DE = 2(负值已舍去),∴ AB=AD= 2DE= 4. 解法二思路点拨:根据四边形对角互补模型易证△ODM≌ △OCN,进行等积转化可得等腰直角△OCD 的面积,从而 得 AB 的长. 2.1　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ △ABC 是等边三角形,∴ △AGD 为等边三角形, ∠ABC=∠ACB= 60°,∴ 易得∠DGB=∠DCF= 120°,∠GDC =∠EDF= 120°,∴ ∠GDE =∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,∴ DG= 1 2 BC=DC=BG = 2,∴ △GDE≌△CDF,∴ GE = CF,∵ BE= 1,∴ CF=GE= 1. 图① 　 　 图② 第 2 题解图 解法二:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥ BC 于点 N,连接 BD,∵ △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的 中点,∴ BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°,∠EDF = 120°,∴ ∠MDN = 120°,∴ ∠MDE+∠NDE = ∠NDE+∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME = ∠DNF = 90°,∴ △DME≌△DNF(ASA),∴ ME = NF,在 Rt△ADM 中,AD= 2,∠A= 60°,∴ AM= 1,同理可得 CN= 1,∴ ME =AB -AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 第 3 题解图 3.证明:如解图,过点 B 分别作 BF ⊥DC 于点 F,BE⊥DA 交 DA 的 延长线于点 E, 则∠BEA=∠BFC= 90°, ∵ DB 平分∠ADC,∴ BE=BF, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°,∠BAD+ ∠BAE= 180°,∴ ∠BCF=∠BAE, 在△BEA 和△BFC 中, ∠BAE=∠BCF, ∠BEA=∠BFC, BE=BF, { ∴ △BEA≌△BFC(AAS),∴ AB=CB, ∵ ∠ADB= 60°,DB 平分∠ADC, ∴ ∠ADC= 2∠ADB= 120°, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°, ∴ ∠ABC= 180°-∠ADC= 60°, ∴ △ABC 是等边三角形. 专练六　 半角模型 例题解图 例　 3 2 　 【解析】如解图,在 CB 延长线 上截取 BH =DE,连接 AH,∵ 四边形 AB- CD 是正方形,∴ ∠ADE =∠DAB =∠ABC = 90°, AD = AB, ∴ ∠ABH = ∠ADE, ∴ △ABH≌ △ADE, ∴ AH = AE, ∠DAE = ∠BAH.∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠DAE+∠BAF =∠BAH+ ∠BAF = 45°, ∴ ∠EAF = ∠HAF, ∵ AF = AF, ∴ △AEF≌△AHF,∴ S△AEF = S△AHF = S△ABH+S△ABF = S△ADE +S△ABF, ∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,∴ S正方形ABCD = 4,∵ S△CEF = 1,∴ 2S△AEF = 4-1= 3,∴ S△AEF = 3 2 . 1.D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠ABE = ∠ADF = 90°, 在 △ABE 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADF, BE=DF, { ∴ △ABE≌△ADF ( SAS),∴ AE = AF. ∵ AM 平分∠EAF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5