专练4 手拉手模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练四　 手拉手模型(2024.23,2021.23,2018.22,2016.22) 例 1　 定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫作“同源三角形”,我们称这两个顶角 为“同源角” .如图,△ABC 和△CDE 为“同源三角形”,AC = BC,CD = CE,∠ACB 与∠DCE 为“同源角” .试判断 AD 与 BE 的数量关系,并说明理由. 【思路点拨】由 AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,可联想手拉手模型,利用全等三角形的判定与性质进 行求解. 例 1 题图 解:AD=BE.理由:∵∠ACB 与∠DCE 为“同源角”, ∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,∴∠BCE=∠ACD. 在△ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, ì î í ï ï ïï ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. 例 2　 如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE = 90°,∠B =∠ADE,B,D,C 三点共线,求 证:CE⊥BC. 【思路点拨】由∠BAC =∠DAE,∠B =∠ADE,可联想手拉手模型,利用相似三角形的判定与性质、等角 之间的转化进行求解. 例 2 题图 证明:∵∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE, ∴△BAC∽△DAE,∴AB AD =AC AE , 又∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD∽△CAE,∴∠B=∠ACE, ∴∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°,∴CE⊥BC. 归纳总结 基本图形 演变图形 结论 △ABC 和 △ADE 是等腰三角形,且 ∠BAC=∠DAE (等腰直角三角形) (等边三角形) (正方形) △ABD≌ △ACE AD ∶ AB = AE ∶ AC = k,∠BAC=∠DAE ∠BAC=∠DAE=90°, ∠B=∠ADE=∠ACE △ACB 和 △AED 为等腰直角三角形 四 边 形 ABFC 和四边形 ADGE 为矩形 △ABD∽ △ACE 8 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD = 90°,D 为 AB 边上一点,若 AD= 5,BD= 12,则 DE 的长为 ( B ) A.11　 　 　 　 　 　 　 　 B.13　 　 　 　 　 　 　 　 C.12　 　 　 　 　 　 　 　 D.25 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,分别以 AB,AC 为边向右作等边△ABD 和等边△ACE,连接 DE,若 AB= 3,AC= 5,则 ED= 　 　 　 . 3.如图,△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形,∠ABC =∠EFC = 90°,E 在△ABC 内,∠CAE+ ∠CBE= 90°.若BE= 1,AE= 2,则 CE= 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.如图,△ABC 中,∠A= 90°,∠B= 30°,BC= 10 cm,点 D 在边 AB 上,以 CD 为边在 CD 右上方 作等边△CDE,若∠ACD= 45°,则点 E 到 BC 边的距离为　 　 　 cm. 5.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE = 90°,∠ABC =∠ADE = 30°,AC 与 DE 相交于 点 F.点 D 在 BC 边上,AD BD = 　 3 ,则 DF CF 的值为　 　 　 . 第 5 题图 6. 名师原创 如图,在 Rt△ABC 中,AC = BC,∠ACB = 90°,点 D 是△ABC 外一点,且∠BDC = 45°,连接 AD,若△ABD 的面积为 6,则 BD 的长为　 　 　 . 第 6 题图 【思路点拨】要求 BD 的长,可将 BD 转化到直角三角形中,由题干知△ABC 是等腰直角三角形,可联想 “手拉手”相似,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转并放大,使 BC 和 BD 重合,得到△BDE,连接 AE,证明 △BDC∽△BEA,再证明 AE∥BD,则 S△ABD =S△BDE,从而得出结果. 9 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ∠FEC,在△ABE 和△ECF 中, ∠B=∠C, ∠BAE=∠FEC, AE=EF, { ∴ △ABE ≌△ECF(AAS),∴ AB= EC,BE = CF,∵ 点 F 是 CD 的中 点,∴ CF= 1 2 CD,∴ BE = CF = 1 2 AB,∵ BE+CE = BC = 12, ∴ 1 2 AB+AB= 12,∴ AB= 8. 3. 8 9 　 【解析】∵ BP = 1 3 BC = 2,∴ BC = 3BP = 6,∴ CP = BC- BP= 6-2= 4,∵ AB=AC = 9,∴ ∠B =∠C,∵ ∠PAB+∠APB= 180°-∠B,∠APD = ∠B,∴ ∠APB+∠DPC = 180° -∠APD = 180°-∠B,∴ ∠PAB =∠DPC,∴ △ABP∽△PCD,∴ AB PC = BP CD , ∴ 9 4 = 2 CD ,∴ CD= 8 9 . 4.3 　 【解析】 ∵ ∠DBE = ∠D + ∠DHB,∠CHD = ∠CHA + ∠DHB,∠DBE=∠CHD,∴ ∠D =∠CHA,∵ ∠CAB =∠C+ ∠CHB,∠CHD=∠CHA+∠DHB,∠CHD =∠CAB,∴ ∠C = ∠DHB,∴ △CAH∽△HBD,∴ CA HB = AH BD = CH HD = 2 3 ,∴ HB = 3 2 CA= 6,∴ AH=HB-AB= 2,∴ BD= 3 2 AH= 3. 5. 9 2 　 【解析】∵ AB= 6,AE= 1 3 AB,∴ AE= 2,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A =∠D = 90°,AB = AD = 6,设 AF = x(0<x< 6),则 DF = 6- x,∵ FG⊥EF,∴ ∠EFG = 90°,∴ ∠AFE + ∠AEF= 90° =∠AFE+∠DFG,∴ ∠AEF =∠DFG,∴ △AEF ∽△DFG,∴ AF DG = AE DF ,即 x DG = 2 6-x ,∴ DG = 1 2 x ( 6 - x) = - 1 2 (x-3) 2+ 9 2 ,∵ - 1 2 <0,0<x<6,∴ 当 x = 3 时,DG 最 大,最大值为 9 2 . 6.A　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,∵ C( -1, 0),B(0,2),∴ OC = 1,OB = 2,∵ △ABC 为等腰直角三角 形,∴ AC=BC,∠ACB= 90°,∵ ∠ACD+∠BCO= 90°,∠CBO +∠BCO = 90°,∴ ∠ACD = ∠CBO,在△ACD 和△CBO 中, ∠ADC=∠BOC, ∠ACD=∠CBO, AC=CB, { ∴ △ACD≌△CBO(AAS),∴ AD = OC = 1,CD=OB= 2,∴ OD=OC+CD= 3,∴ A(-3,1),设反比例函 数的解析式为 y= k x ,把 A(-3,1)代入得 k = -3×1 = -3,∴ 该反比例函数的解析式为 y=- 3 x . 第 6 题解图 　 　 　 第 7 题解图 7. 3 5 　 【解析】如解图,过点 D 作 DM=DC 交 BC 的延长线于 点 M,∴ ∠DCM =∠M,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DM= CD = AB = 10, AB∥ CD, ∴ ∠B = ∠DCM = ∠M, ∵ ∠FEC = ∠DEF +∠DEC = ∠B +∠BFE,∠B = ∠DEF, ∴ ∠DEC=∠BFE,∴ △BFE∽△MED,∴ EF DE = BE DM = 6 10 = 3 5 . 专练四　 手拉手模型 例 1　 解:AD=BE. 理由:∵ ∠ACB 与∠DCE 为“同源角”, ∴ ∠ACB=∠DCE, ∵ ∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴ ∠BCE=∠ACD, 在△ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, { ∴ △ACD≌△BCE(SAS),∴ AD=BE. 例 2　 证明:∵ ∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE, ∴ △BAC∽△DAE,∴ AB AD =AC AE , 又∵ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴ ∠BAD=∠CAE, ∵ AB AC =AD AE ,∴ △BAD∽△CAE,∴ ∠B=∠ACE, 在△ABC 中,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠B+∠ACB= 90°, ∴ ∠ACE+∠ACB= 90°, ∴ ∠BCE= 90°,∴ CE⊥BC. 1.B　 【解析】∵ △ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∴ CD =CE,AC=BC,∠ECD =∠ACB = 90°,∴ ∠ACE =∠BCD,在 △ACE 和△BCD 中, CE=CD, ∠ACE=∠BCD, AC=BC, { ∴ △ACE≌△BCD (SAS),∴ BD = AE = 12,∠CAE =∠CBD = 45°,∴ ∠EAD = 90°,∴ DE= AE2+AD2 = 122+52 = 13. 2.4　 【解析】在 Rt△ABC 中,AB = 3,AC = 5,∴ 由勾股定理得 BC= 4,∵ △ABD 和△ACE 均为等边三角形,∴ AB = AD,AC =AE,∠BAD = ∠CAE = 60°,∴ ∠BAD -∠CAD = ∠CAE - ∠CAD, 即 ∠BAC = ∠DAE, 在 △ABC 和 △ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, { ∴ △ABC≌△ADE(SAS),∴ ED=CB= 4. 3. 6 　 【解析】∵ △ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形,∴ ∠ABC=∠EFC= 90°,∠ACB =∠ECF = 45°, AC BC = CE CF = 2 , ∴ ∠ACE = ∠BCF,∴ △CAE∽△CBF,∴ ∠CAE = ∠CBF, AE BF = AC BC = 2 ,∴ 2 BF = 2 ,∴ BF = 2 ,∵ ∠CAE+∠CBE = 90°,∴ ∠CBF+∠CBE = 90°,∴ ∠EBF = 90°,∴ EF2 = BE2 + BF2 = 12 + ( 2 ) 2 = 3,∴ EF = 3 (负值已舍去),∴ CE = 2EF= 6 . 第 4 题解图 4.5　 【解析】如解图,过点 E 作 EF ⊥BC,垂足为 F,∴ ∠CFE = 90°, ∵ ∠A = 90°, ∠B = 30°, BC = 10 cm,∴ AC = 1 2 BC = 5(cm), ∠ACB= 90°-∠B = 60°,∵ ∠ACD = 45°,∴ △ACD 是等腰直角三角 形,∴ AC=AD= 5 cm,∵ △CDE 是等边三角形,∴ ∠DCE = 60°,CD= CE,∴ ∠ACB =∠DCE = 60°,∴ ∠ACB-∠DCB = ∠DCE-∠DCB,∴ ∠ACD = ∠FCE,∵ ∠A = ∠CFE = 90°, ∴ △CAD≌△CFE(AAS),∴ EF=DA= 5 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 5.3　 【解析】 如解图,连接 EC, ∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∠ABC = ∠ADE = 30°, ∴ △ABC ∽ △ADE, ∴ AB AC = AD AE , ∵ ∠BAC-∠DAC = ∠DAE - ∠DAC, ∴ ∠BAD = ∠CAE, ∴ △ABD∽△ACE, ∴ AE CE = AD BD = 3 , ∠ACE = ∠ABD = ∠ADE,在 Rt△ADE 中,∠ADE = 30°,∴ AD AE = 3,∴ AD EC =AD AE · AE CE = 3 × 3 = 3. ∵ ∠ADF = ∠ECF, ∠AFD = ∠EFC, ∴ △ADF∽△ECF,∴ DF CF =AD CE = 3. 第 5 题解图 　 　 　 第 6 题解图 6.2 3 　 【解析】如解图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转并放 大,使得 BC 和 BD 重合,得到△BDE,连接 AE,则∠DBE = ∠ABC= 45°,∴ ∠DBC =∠ABE, BD BE = BC BA = 2 2 ,∴ △BDC∽ △BEA,∴ ∠BEA=∠BDC= 45°,∵ ∠DEB= 45°,∴ ∠AED = 90°,∴ ∠BDE+∠AED = 180°,∴ AE∥BD,∴ S△ABD = S△BDE, ∴ 1 2 BD2 = 6,解得 BD= 2 3 (负值已舍去) . 专练五　 对角互补模型 例　 10 　 【解析】如解图,过点 B 作 BF⊥CD 交 DC 的延长 线于点 F,∵ BF⊥CD,BE⊥AD,∴ ∠BFC =∠BEA =∠BED = 90°, 又 ∵ ∠AOC = 90°, ∴ 四 边 形 BEDF 是 矩 形, ∴ ∠EBF= 90°,∴ ∠ABE+∠EBC = ∠EBC+∠CBF = 90°, ∴ ∠ABE=∠CBF,∵ AB = CB,∴ △AEB≌△CFB(AAS), ∴ BE= BF, S△ABE = S△BFC, ∴ 四边形 BEDF 是 正 方 形, ∴ S四边形ABCD =S正方形BEDF = 10,∴ BE2 = 10,∴ BE= 10 . 例题解图 　 　 　 第 1 题解图 1.A　 【解析】解法一:如解图,过点 O 分别作 OE⊥AD 于点 E,OF⊥CD 于点 F,则∠OEM = ∠OFN = 90°,∵ 四边形 ABCD 是正方形,BD 为其对角线,∴ OE =OF,∠EOF = 90°, ∴ 四边形 OEDF 为正方形,∵ ON⊥OM,∴ ∠MON = 90° = ∠EOF,∴ ∠EOM =∠FON,∴ △OEM≌△OFN,∴ 正方形 OFDE 的面积等于四边形 MOND 的面积,∴ DE2 = 4,∴ DE = 2(负值已舍去),∴ AB=AD= 2DE= 4. 解法二思路点拨:根据四边形对角互补模型易证△ODM≌ △OCN,进行等积转化可得等腰直角△OCD 的面积,从而 得 AB 的长. 2.1　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ △ABC 是等边三角形,∴ △AGD 为等边三角形, ∠ABC=∠ACB= 60°,∴ 易得∠DGB=∠DCF= 120°,∠GDC =∠EDF= 120°,∴ ∠GDE =∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,∴ DG= 1 2 BC=DC=BG = 2,∴ △GDE≌△CDF,∴ GE = CF,∵ BE= 1,∴ CF=GE= 1. 图① 　 　 图② 第 2 题解图 解法二:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥ BC 于点 N,连接 BD,∵ △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的 中点,∴ BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°,∠EDF = 120°,∴ ∠MDN = 120°,∴ ∠MDE+∠NDE = ∠NDE+∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME = ∠DNF = 90°,∴ △DME≌△DNF(ASA),∴ ME = NF,在 Rt△ADM 中,AD= 2,∠A= 60°,∴ AM= 1,同理可得 CN= 1,∴ ME =AB -AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 第 3 题解图 3.证明:如解图,过点 B 分别作 BF ⊥DC 于点 F,BE⊥DA 交 DA 的 延长线于点 E, 则∠BEA=∠BFC= 90°, ∵ DB 平分∠ADC,∴ BE=BF, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°,∠BAD+ ∠BAE= 180°,∴ ∠BCF=∠BAE, 在△BEA 和△BFC 中, ∠BAE=∠BCF, ∠BEA=∠BFC, BE=BF, { ∴ △BEA≌△BFC(AAS),∴ AB=CB, ∵ ∠ADB= 60°,DB 平分∠ADC, ∴ ∠ADC= 2∠ADB= 120°, ∵ ∠BAD+∠BCD= 180°, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°, ∴ ∠ABC= 180°-∠ADC= 60°, ∴ △ABC 是等边三角形. 专练六　 半角模型 例题解图 例　 3 2 　 【解析】如解图,在 CB 延长线 上截取 BH =DE,连接 AH,∵ 四边形 AB- CD 是正方形,∴ ∠ADE =∠DAB =∠ABC = 90°, AD = AB, ∴ ∠ABH = ∠ADE, ∴ △ABH≌ △ADE, ∴ AH = AE, ∠DAE = ∠BAH.∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠DAE+∠BAF =∠BAH+ ∠BAF = 45°, ∴ ∠EAF = ∠HAF, ∵ AF = AF, ∴ △AEF≌△AHF,∴ S△AEF = S△AHF = S△ABH+S△ABF = S△ADE +S△ABF, ∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,∴ S正方形ABCD = 4,∵ S△CEF = 1,∴ 2S△AEF = 4-1= 3,∴ S△AEF = 3 2 . 1.D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠ABE = ∠ADF = 90°, 在 △ABE 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADF, BE=DF, { ∴ △ABE≌△ADF ( SAS),∴ AE = AF. ∵ AM 平分∠EAF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5