专练3 一线三等角模型-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ∴ △ABC 的面积为 6+9= 15. 第 1 题解图 　 第 2 题解图 2.B　 【解析】如解图,过点 D 作 DK∥AB 交 BC 于点 K,则 ∠ABD=∠BDK,又∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD =∠DBK = ∠BDK,∴ BK=DK,∵ DE⊥BD,∴ ∠BDE = 90°,∵ ∠BDK+ ∠KDE= 90°,∠DBK+∠DEK = 90°,∴ ∠KDE = ∠DEK,∴ DK=KE,∴ DK=BK= 1 2 BE,∵ DK∥AB,∴ ∠ABC=∠DKC, ∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠C,∴ ∠C = ∠DKC,∴ CD = DK = 1 2 BE= 1 2 ×8= 4. 3.A　 【解析】解法一(截长法):如解图①,在 BC 上截取 CE =AC,连接 DE,∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠ACD = ∠ECD,在 △ACD 和△ECD 中, CD=CD, ∠ACD=∠ECD, AC=CE, { ∴ △ACD≌△ECD (SAS),∴ ∠A=∠DEC,AD=ED,∵ ∠A = 2∠B,∴ ∠DEC = 2∠B=∠B+∠BDE,∴ ∠B =∠BDE,∴ BE =DE = AD,∴ AD =BE=BC-CE=BC-AC. 解法二(补短法)思路点拨:如解图②,延长 CA 至点 F 使 CF=CB,连接 DF,可证△CDF≌△CDB,得∠F =∠B,得出 ∠F=∠ADF,推出 AD=AF,则可得出 AD=BC-AC. 图① 图② 第 3 题解图 4.8　 【解析】解法一:如解图①,延长 CE 交 BA 的延长线于 点 F,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠CAF = 90°,∵ BD 平分∠ABC,BE ⊥CF,∴ ∠ABD =∠CBD,∠BEC = 90°,∵ ∠BDA =∠CDE, ∴ ∠ABD=∠ACF,∵ AB= AC,∴ △ABD≌△ACF(ASA),∴ BD = CF,∵ ∠ABE =∠CBE,BE⊥CF,∴ BD = CF = 2CE,设 CE= x,则 BD = 2x,∵ △BCD 的面积为 16,∴ 1 2 BD·CE = 1 2 ×2x·x= 16,∴ x= 4(负值已舍去),∴ BD= 8. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 解法二:如解图②,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,设 AD=a,易 得 DG= a,DC = 2 a,∴ AC = AD+CD = (1+ 2 ) a,则 BC = 2AC=( 2 +2)a,∵ S△BCD = 1 2 DG·BC= 1 2 a·( 2 +2)a = 16,∴ a2 = 32-16 2 ,∵ GC =DG = a,∴ BG = BC-GC = ( 2 + 1)a,在Rt△BDG中,根据勾股定理求得 BD= 8. 5. 13 2 　 【解析】如解图,延长 BD,AC 交于点 E,∵ AD 平分 ∠BAC,AD⊥BD,∴ AE=AB= 13,∵ AC= 13 2 ,∴ C 是 AE 的中 点,在 Rt△ADE 中,CD= 1 2 AE= 13 2 . 第 5 题解图 　 　 　 第 6 题解图 6.2　 【解析】如解图,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠B=∠C=∠D = 90°,BC =DC,∵ AE 平 分∠BEF,FA 平分∠DFE,AM⊥EF,易得△ABE≌△AME, △ADF≌△AMF,∴ BE =ME,DF =MF,∵ E 是 BC 的中点, BE= 3,∴ DC=BC= 6,EC=ME= 3,设 DF=MF = x,则 FC = 6 -x,EF= 3+ x,在 Rt△CEF 中,由勾股定理得 EC2 +FC2 = EF2,∴ 32+(6-x) 2 =(3+x) 2,解得 x= 2,∴ DF= 2. 7. 19 　 【解析】如解图,在 AB 上截取 AE = AD,连接 CE,过 点 C 作 CF⊥ AB 于点 F,∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠DAC = ∠EAC,又∵ AD = AE,AC = AC,∴ △ADC≌△AEC( SAS), ∴ CE=CD= 2=BC,∵ AD = 3,∴ AE = AD = 3,∵ CF⊥AB,CE =BC,AB= 5,∴ EF = FB = 1 2 BE = 1 2 (AB-AE)= 1,∴ AF = AE+EF= 4,在 Rt△EFC 中,由勾股定理得 CF= CE2-EF2 = 3 ,在 Rt△AFC 中,由勾股定理得 AC = AF2+CF2 = 19 . 第 7 题解图 专练三　 一线三等角模型 例 1　 2　 【解析】∵ AB=AC = 4,∴ ∠B =∠C,∵ ∠1=∠C,∴ ∠B = ∠1, ∵ ∠BAD + ∠B = ∠1 + ∠CDE, ∴ ∠BAD = ∠CDE,∵ AD=DE,∴ △ABD≌△DCE(AAS),∴ CD =BA = 4,BD=CE,∵ BC= 6,∴ CE=BD=BC-CD= 6-4= 2,∴ AE= AC-CE= 4-2= 2. 例 2　 A　 【解析】在矩形 ABCD 中,AB = 6,∴ CD = AB = AE = 6,又∵ E 是 CD 的中点,∴ DE=CE= 3,在Rt△ADE中,AD = AE2-DE2 = 62-32 = 3 3 , 由 题 可 得, ∠D = ∠C = ∠AEF= 90°,∴ ∠AED+∠CEF =∠EFC+∠CEF,∴ ∠AED =∠EFC,∴ △ADE∽△ECF,∴ CF DE = CE DA ,即 CF 3 = 3 3 3 ,解得 CF= 3 . 1.5 　 【解析】 ∵ ∠ABC = 90°,AD⊥BD,CE⊥BD,∴ ∠D = ∠CEB=∠ABC= 90°,∴ ∠ABD+∠CBE =∠ABD+∠BAD = 90°,∴ ∠CBE=∠BAD,∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴ AB =BC,∴ △ABD≌△BCE(AAS),∴ BD = CE = 7,∵ BE = 2, ∴ DE=BD-BE= 7-2= 5. 2.8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB =CD,∠B =∠C = 90°,∴ ∠BAE+∠AEB= 90°,∵ △AEF 是等腰直角三角形, ∴ AE=EF,∠AEF= 90°,∴ ∠FEC+∠AEB = 90°,∴ ∠BAE = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ∠FEC,在△ABE 和△ECF 中, ∠B=∠C, ∠BAE=∠FEC, AE=EF, { ∴ △ABE ≌△ECF(AAS),∴ AB= EC,BE = CF,∵ 点 F 是 CD 的中 点,∴ CF= 1 2 CD,∴ BE = CF = 1 2 AB,∵ BE+CE = BC = 12, ∴ 1 2 AB+AB= 12,∴ AB= 8. 3. 8 9 　 【解析】∵ BP = 1 3 BC = 2,∴ BC = 3BP = 6,∴ CP = BC- BP= 6-2= 4,∵ AB=AC = 9,∴ ∠B =∠C,∵ ∠PAB+∠APB= 180°-∠B,∠APD = ∠B,∴ ∠APB+∠DPC = 180° -∠APD = 180°-∠B,∴ ∠PAB =∠DPC,∴ △ABP∽△PCD,∴ AB PC = BP CD , ∴ 9 4 = 2 CD ,∴ CD= 8 9 . 4.3 　 【解析】 ∵ ∠DBE = ∠D + ∠DHB,∠CHD = ∠CHA + ∠DHB,∠DBE=∠CHD,∴ ∠D =∠CHA,∵ ∠CAB =∠C+ ∠CHB,∠CHD=∠CHA+∠DHB,∠CHD =∠CAB,∴ ∠C = ∠DHB,∴ △CAH∽△HBD,∴ CA HB = AH BD = CH HD = 2 3 ,∴ HB = 3 2 CA= 6,∴ AH=HB-AB= 2,∴ BD= 3 2 AH= 3. 5. 9 2 　 【解析】∵ AB= 6,AE= 1 3 AB,∴ AE= 2,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A =∠D = 90°,AB = AD = 6,设 AF = x(0<x< 6),则 DF = 6- x,∵ FG⊥EF,∴ ∠EFG = 90°,∴ ∠AFE + ∠AEF= 90° =∠AFE+∠DFG,∴ ∠AEF =∠DFG,∴ △AEF ∽△DFG,∴ AF DG = AE DF ,即 x DG = 2 6-x ,∴ DG = 1 2 x ( 6 - x) = - 1 2 (x-3) 2+ 9 2 ,∵ - 1 2 <0,0<x<6,∴ 当 x = 3 时,DG 最 大,最大值为 9 2 . 6.A　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,∵ C( -1, 0),B(0,2),∴ OC = 1,OB = 2,∵ △ABC 为等腰直角三角 形,∴ AC=BC,∠ACB= 90°,∵ ∠ACD+∠BCO= 90°,∠CBO +∠BCO = 90°,∴ ∠ACD = ∠CBO,在△ACD 和△CBO 中, ∠ADC=∠BOC, ∠ACD=∠CBO, AC=CB, { ∴ △ACD≌△CBO(AAS),∴ AD = OC = 1,CD=OB= 2,∴ OD=OC+CD= 3,∴ A(-3,1),设反比例函 数的解析式为 y= k x ,把 A(-3,1)代入得 k = -3×1 = -3,∴ 该反比例函数的解析式为 y=- 3 x . 第 6 题解图 　 　 　 第 7 题解图 7. 3 5 　 【解析】如解图,过点 D 作 DM=DC 交 BC 的延长线于 点 M,∴ ∠DCM =∠M,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DM= CD = AB = 10, AB∥ CD, ∴ ∠B = ∠DCM = ∠M, ∵ ∠FEC = ∠DEF +∠DEC = ∠B +∠BFE,∠B = ∠DEF, ∴ ∠DEC=∠BFE,∴ △BFE∽△MED,∴ EF DE = BE DM = 6 10 = 3 5 . 专练四　 手拉手模型 例 1　 解:AD=BE. 理由:∵ ∠ACB 与∠DCE 为“同源角”, ∴ ∠ACB=∠DCE, ∵ ∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴ ∠BCE=∠ACD, 在△ACD 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, { ∴ △ACD≌△BCE(SAS),∴ AD=BE. 例 2　 证明:∵ ∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE, ∴ △BAC∽△DAE,∴ AB AD =AC AE , 又∵ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴ ∠BAD=∠CAE, ∵ AB AC =AD AE ,∴ △BAD∽△CAE,∴ ∠B=∠ACE, 在△ABC 中,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠B+∠ACB= 90°, ∴ ∠ACE+∠ACB= 90°, ∴ ∠BCE= 90°,∴ CE⊥BC. 1.B　 【解析】∵ △ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∴ CD =CE,AC=BC,∠ECD =∠ACB = 90°,∴ ∠ACE =∠BCD,在 △ACE 和△BCD 中, CE=CD, ∠ACE=∠BCD, AC=BC, { ∴ △ACE≌△BCD (SAS),∴ BD = AE = 12,∠CAE =∠CBD = 45°,∴ ∠EAD = 90°,∴ DE= AE2+AD2 = 122+52 = 13. 2.4　 【解析】在 Rt△ABC 中,AB = 3,AC = 5,∴ 由勾股定理得 BC= 4,∵ △ABD 和△ACE 均为等边三角形,∴ AB = AD,AC =AE,∠BAD = ∠CAE = 60°,∴ ∠BAD -∠CAD = ∠CAE - ∠CAD, 即 ∠BAC = ∠DAE, 在 △ABC 和 △ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, { ∴ △ABC≌△ADE(SAS),∴ ED=CB= 4. 3. 6 　 【解析】∵ △ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形,∴ ∠ABC=∠EFC= 90°,∠ACB =∠ECF = 45°, AC BC = CE CF = 2 , ∴ ∠ACE = ∠BCF,∴ △CAE∽△CBF,∴ ∠CAE = ∠CBF, AE BF = AC BC = 2 ,∴ 2 BF = 2 ,∴ BF = 2 ,∵ ∠CAE+∠CBE = 90°,∴ ∠CBF+∠CBE = 90°,∴ ∠EBF = 90°,∴ EF2 = BE2 + BF2 = 12 + ( 2 ) 2 = 3,∴ EF = 3 (负值已舍去),∴ CE = 2EF= 6 . 第 4 题解图 4.5　 【解析】如解图,过点 E 作 EF ⊥BC,垂足为 F,∴ ∠CFE = 90°, ∵ ∠A = 90°, ∠B = 30°, BC = 10 cm,∴ AC = 1 2 BC = 5(cm), ∠ACB= 90°-∠B = 60°,∵ ∠ACD = 45°,∴ △ACD 是等腰直角三角 形,∴ AC=AD= 5 cm,∵ △CDE 是等边三角形,∴ ∠DCE = 60°,CD= CE,∴ ∠ACB =∠DCE = 60°,∴ ∠ACB-∠DCB = ∠DCE-∠DCB,∴ ∠ACD = ∠FCE,∵ ∠A = ∠CFE = 90°, ∴ △CAD≌△CFE(AAS),∴ EF=DA= 5 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练三　 一线三等角模型(2021.17,2017.13(2)) 例 1　 如图,△ABC 中,AB=AC= 4,BC = 6,点 D,E 分别在 BC,AC 上(点 D 不与 B,C 两点重 合),且∠1=∠C,若 AD=DE,则 AE 的长为　 2　 . 例 1 题图 【思路点拨】由 AB=AC 得∠B=∠C,由∠1=∠C 得 BC(一线)上有∠B=∠1=∠C (三等角),利用全等 三角形的判定与性质,即可求解. 例 2　 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,将矩形折叠,使点 B 落到 CD 边上的中点 E 处,折痕为 AF,则 CF 的长为 ( A ) 例 2 题图 A. 3 B.1 C.2 D.3 【思路点拨】由矩形得∠B=∠C=∠D= 90°,由折叠得∠AEF =∠B = 90°得 CD(一线)上有∠C =∠D = ∠AEF(三等角),利用相似三角形的判定与性质,即可求解. 归纳总结 类型 锐角型 直角型 钝角型 图 示 同侧 两侧 识图关键 利用三角形内外角关系 找等角 利用同角的余角相等找等角 利用三角形内外角 关系找等角 应 用 有等边 图中两组三角形全等 无等边 图中两组三角形相似 6 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC = 90°,AD⊥BD,CE⊥BD 于点 E,AC 与 BD 交于点 F,若 BE= 2,CE= 7,则 DE= 　 　 　 . 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 2.如图,一块含 45°角的三角板的一个顶点 A 与矩形 ABCD 的顶点重合,直角顶点 E 落在边 BC 上,另一顶点 F 恰好落在边 CD 的中点处,若 BC= 12,则 AB 的长为　 　 　 . 3.如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC = 9,点 P 在 BC 上,BP = 1 3 BC = 2,点 D 在 AC 上,且 ∠APD=∠B,则 CD= 　 　 　 . 4.如图,点 H,A,B,E 在同一直线上,∠CHD = ∠CAB = ∠DBE.若CH DH = 2 3 , AB=AC = 4,则 BD= 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.如图,在正方形 ABCD 中,AB= 6,AE= 1 3 AB,点 F 在 AD 上运动(不与点 A,D 重合),过点 F 作 FG⊥EF 交 CD 于点 G,则 DG 的最大值为　 　 　 . 6.在平面直角坐标系中,将一块含 45°角的直角三角板按如图所示的方式放置,顶点 C 的坐 标为(-1,0),顶点 B 的坐标为(0,2),若顶点 A 恰好落在第二象限的一条反比例函数图象 上,则该反比例函数的解析式为 ( A ) A.y=- 3 x B.y= 3 x C.y= 2 x D.y=- 2 x 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.在▱ABCD 中,E 为边 BC 上的一点,F 为边 AB 上的一点.若∠DEF=∠B,AB= 10,BE= 6,则 EF DE 的值为　 　 　 . 7