专练2 看到“角平分线”咋思考-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练二　 看到“角平分线”咋思考 角度 1　 角平分线+边的垂线,构造双垂直(2019.22) 例 1 　 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分 ∠BAC,交 BC 于点 D,若 AB = 20,△ABD 的面积 为 60,则 CD 的长为 ( C ) A.12　 　 　 　 B.10　 　 　 　 C.6　 　 　 　 D.4 例 1 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,则 CD =HD,利 用三角形的面积公式即可得出结果. 归纳总结 已知:OP 平分∠AOB, PM⊥OA 于点 M 辅助线作法:过 点 P 作 PN⊥OB 于点 N 结论:PN=PM, △PMO≌△PNO, ON=OM 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角度 2　 角平分线+垂直,想三线合一 例 2 　 如图,已知△ABC 的面积为 12,AD 平分 ∠BAC,且 AD⊥BD 于点 D,则△ADC 的面积是 ( C ) A.10 B.8 C.6 D.4 例 2 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】延长 BD 交 AC 于点 E,则△ABE 是等腰三 角形,BD=ED,运用三角形面积转化可得到结果. 归纳总结 已知:OP 平分∠AOB, 点 M 在 OA 上, MP ⊥OP 辅助线作法: 延 长 MP 交 OB 于点 N 结论:△POM≌△PON, PN=PM, △MON 是等腰三角形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角度 3　 角平分线+截取,构造全等(截长补短法) 例 3　 多解法 ∙∙∙ 　 如图,在△ABC 中,∠C = 2∠B,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 AB = 5,AC= 3,则 CD 的长为　 2　 . 例 3 题图 【思路点拨】以 AD 为对称轴,用截长法或补短法构造 全等三角形,从而通过全等三角形的性质和已知条件, 求出 CD 的长. 备用图 1 　 　 　 备用图 2 归纳总结 截长法 已知:AD 平分∠BAC 辅助线作法:在 AB 上 截取 AE=AC,连接 ED 结论:△AED≌△ACD 补短法 已知:AD 平分∠BAC 作法:延长 AC 至点 F 使得 AF=AB,连接 DF 结论:△ABD≌△AFD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 角度 4　 角平分线+平行线,构造等腰(2024.20,2018.14) 例 4　 多解法 ∙∙∙ 　 如图,AD 是△ABC 的角平分线,交 BC 于点 D,AB= 5,AC= 3,则BD CD = 　 　 　 　 . 例 4 题图 【思路点拨】在△ABC 内部作一边的平行线或外部作 AD 的平行线构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质 和平行线分线段成比例,即可得出结果. 备用图 1 　 　 　 备用图 2 归纳总结 已知: P 是∠MON 的 平分线上一点 辅助线作法:过 点 P 作 PQ∥ON 交 OM 于 点 Q 结论:△OPQ 为 等 腰 三角形 已知:OP 平分∠MON, 点 A 是 OM 上一点 辅助线作法:过点 A 作 AB∥PO 交 NO 的延长 线于点 B 结论:△AOB 为 等 腰 三角形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 综合训练 1.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,如果AB = 4,BC = 6,△ABD 的面积为 6,则△ABC 的面 积为 ( D ) A.8　 　 　 　 　 　 　 　 B.10　 　 　 　 　 　 　 　 C.12　 　 　 　 　 　 　 　 D.15 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,与 AC 交于点 D,DE⊥BD,DE 与 BC 交于点 E, BE= 8,则 DC 的长为 ( B ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在△ABC 中,∠A=2∠B,CD是∠ACB 的平分线,则下列各式正确的是 ( A ) A.AD=BC-CA B.AD=BC-CD C.BD=AC+CD D.AC=BD-AD 4.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A= 90°,AB=AC,BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点 E,若△BCD 的面积为 16,则 BD 的长为　 　 　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 5.如图,AB= 13,AD 平分∠BAC,BD⊥AD 于点 D,连接 CD,AC= 13 2 ,则 CD 的长为　 　 　 　 . 6.如图,已知正方形 ABCD,E 是 BC 的中点,点 F 是 CD 上一点,连接 EF,∠BEF 和∠DFE 的 平分线交于点 A.若 BE= 3,则 DF 的长为　 　 　 . 7.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,BC=CD= 2,AB= 5,AD= 3,则 AC 的长为 　 . 5 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 5. 41 - 3 　 【解析】 如解图,连接 CM,CN,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,AC= 10,BC= 8,∴ AB = AC2+BC2 = 2 41 ,∵ DE= 6,M,N 分别是 DE,AB 的中点,∴ CN = 1 2 AB= 41 , CM= 1 2 DE= 3,∵ MN≥CN-CM,∴ 当点 C,M,N 在同一直 线上时,MN 取最小值,最小值为 41 -3. 第 5 题解图 　 　 　 变式题解图 [变式] 5 2 　 【解析】如解图,连接 CE,取 CE 的中点 P,连 接 MP,DP.∵ M 是 EF 的中点,P 是 CE 的中点,∴ MP = 1 2 CF,MP∥CF,同理 DP= 1 2 BE,DP∥BE.∵ ∠BAC = 90°, ∴ AB⊥AC,∴ DP⊥MP.∵ AB = 8,AE = 5,AF = 2,AC = 6,∴ BE= 3,CF = 4,∴ DP = 3 2 ,MP = 2,在 Rt△MDP 中,MD = MP2+DP2 = 22+( 3 2 ) 2 = 5 2 . 6. 10 3 　 【解析】如解图,延长 BE,使 BG =GF,连接 AF,∵ G 是 AD 的 中 点, ∴ AG = DG, 在 △AGF 和 △DGB 中, AG=DG, ∠AGF=∠DGB, GF=BG, { ∴ △AGF≌△DGB ( SAS), ∴ AF = BD, ∠FAG=∠BDG,∴ AF∥BC,∴ △AEF∽△CEB,∴ AF BC = AE CE , ∵ AB=AC= 10,BC = 8,D 是 BC 的中点,∴ BD = CD = 1 2 BC = 4,∴ AF=BD= 4,∴ AE CE = AF BC = 4 8 = 1 2 ,∴ AE= 1 3 AC= 10 3 . 第 6 题解图 专练二　 看到“角平分线”咋思考 例 1 　 C 　 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,∵ S△ABD = 1 2 DH· AB = 60, ∴ DH = 2×60 20 = 6, ∵ AD 平分 ∠BAC,∠C= 90°,DH⊥AB,∴ DC=DH= 6. 例 1 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 C　 【解析】如解图,延长 BD 交 AC 于点 E,∵ AD 平分 ∠BAE,AD⊥BD,∴ ∠BAD = ∠EAD,∠ADB = ∠ADE,在 △ABD 和△AED 中, ∠BAD=∠EAD, AD=AD, ∠BDA=∠EDA, { ∴ △ABD≌△AED (ASA),∴ BD=DE,∴ S△ABD =S△ADE,S△BDC =S△CDE,∴ S△ABD+ S△BDC =S△ADE+S△CDE =S△ADC,∴ S△ADC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×12= 6. 例 3　 2　 【解析】解法一:如解图①,在 AB 上截取 AE = AC, 连接 DE.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD =∠CAD,∵ AD = AD, ∴ △AED≌ △ACD, ∴ DE = DC, ∠AED = ∠C, ∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2∠B, ∵ ∠AED 是△BED 的外角, ∴ ∠AED=∠B+∠EDB,∴ ∠B =∠EDB,∴ BE = DE,∴ AB = AE+BE=AC+CD,∵ AB= 5,AC= 3,∴ CD= 2. 解法二:如解图②,延长 AC 至点 F,使得 AF=AB,连接 DF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD =∠FAD,∵ AD = AD,∴ △ABD ≌△AFD,∴ ∠F = ∠B,∵ ∠ACB = 2∠B,∠ACB = ∠F + ∠CDF,∴ ∠CDF=∠F,∴ CD=CF,∴ CD=AF-AC=AB-AC = 2. 图① 　 　 图② 例 3 题解图 例 4　 5 3 　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E,∴ ∠BAD = ∠ADE,∵ AD 是△ABC 的角平分 线,∴ ∠BAD=∠CAD,∴ ∠ADE =∠CAD,∴ DE = AE,∵ DE ∥AB,∴ CE AC =DE AB , BD CD = AE CE ,设 DE = AE = x,则 CE = 3-x,∴ 3-x 3 = x 5 ,解得 x = 15 8 ,∴ AE = 15 8 ,CE = 3- 15 8 = 9 8 ,∴ BD CD = AE CE = 15 8 9 8 = 5 3 . 解法二:如解图②,过点 C 作 CF∥AD 交 BA 的延长线于点 F,∴ ∠F=∠BAD,∠DAC =∠ACF,∵ AD 是△ABC 的角平 分线,∠BAD=∠CAD,∴ ∠ACF =∠F,∴ AF = AC = 3,∵ CF ∥AD,∴ BD CD =AB AF = 5 3 . 图① 　 　 　 图② 例 4 题解图 1.D　 【解析】过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,如解图,∵ BD 平分∠ABC,∴ DE =DF,∵ AB = 4,△ABD 的面积为 6,∴ 1 2 AB·DE= 1 2 ×4DE= 6,解得 DE = 3,∴ DF = 3,∵ BC= 6,∴ △BDC 的面积为 1 2 BC·DF= 1 2 ×6×3= 9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 ∴ △ABC 的面积为 6+9= 15. 第 1 题解图 　 第 2 题解图 2.B　 【解析】如解图,过点 D 作 DK∥AB 交 BC 于点 K,则 ∠ABD=∠BDK,又∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD =∠DBK = ∠BDK,∴ BK=DK,∵ DE⊥BD,∴ ∠BDE = 90°,∵ ∠BDK+ ∠KDE= 90°,∠DBK+∠DEK = 90°,∴ ∠KDE = ∠DEK,∴ DK=KE,∴ DK=BK= 1 2 BE,∵ DK∥AB,∴ ∠ABC=∠DKC, ∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠C,∴ ∠C = ∠DKC,∴ CD = DK = 1 2 BE= 1 2 ×8= 4. 3.A　 【解析】解法一(截长法):如解图①,在 BC 上截取 CE =AC,连接 DE,∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠ACD = ∠ECD,在 △ACD 和△ECD 中, CD=CD, ∠ACD=∠ECD, AC=CE, { ∴ △ACD≌△ECD (SAS),∴ ∠A=∠DEC,AD=ED,∵ ∠A = 2∠B,∴ ∠DEC = 2∠B=∠B+∠BDE,∴ ∠B =∠BDE,∴ BE =DE = AD,∴ AD =BE=BC-CE=BC-AC. 解法二(补短法)思路点拨:如解图②,延长 CA 至点 F 使 CF=CB,连接 DF,可证△CDF≌△CDB,得∠F =∠B,得出 ∠F=∠ADF,推出 AD=AF,则可得出 AD=BC-AC. 图① 图② 第 3 题解图 4.8　 【解析】解法一:如解图①,延长 CE 交 BA 的延长线于 点 F,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠CAF = 90°,∵ BD 平分∠ABC,BE ⊥CF,∴ ∠ABD =∠CBD,∠BEC = 90°,∵ ∠BDA =∠CDE, ∴ ∠ABD=∠ACF,∵ AB= AC,∴ △ABD≌△ACF(ASA),∴ BD = CF,∵ ∠ABE =∠CBE,BE⊥CF,∴ BD = CF = 2CE,设 CE= x,则 BD = 2x,∵ △BCD 的面积为 16,∴ 1 2 BD·CE = 1 2 ×2x·x= 16,∴ x= 4(负值已舍去),∴ BD= 8. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 解法二:如解图②,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,设 AD=a,易 得 DG= a,DC = 2 a,∴ AC = AD+CD = (1+ 2 ) a,则 BC = 2AC=( 2 +2)a,∵ S△BCD = 1 2 DG·BC= 1 2 a·( 2 +2)a = 16,∴ a2 = 32-16 2 ,∵ GC =DG = a,∴ BG = BC-GC = ( 2 + 1)a,在Rt△BDG中,根据勾股定理求得 BD= 8. 5. 13 2 　 【解析】如解图,延长 BD,AC 交于点 E,∵ AD 平分 ∠BAC,AD⊥BD,∴ AE=AB= 13,∵ AC= 13 2 ,∴ C 是 AE 的中 点,在 Rt△ADE 中,CD= 1 2 AE= 13 2 . 第 5 题解图 　 　 　 第 6 题解图 6.2　 【解析】如解图,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠B=∠C=∠D = 90°,BC =DC,∵ AE 平 分∠BEF,FA 平分∠DFE,AM⊥EF,易得△ABE≌△AME, △ADF≌△AMF,∴ BE =ME,DF =MF,∵ E 是 BC 的中点, BE= 3,∴ DC=BC= 6,EC=ME= 3,设 DF=MF = x,则 FC = 6 -x,EF= 3+ x,在 Rt△CEF 中,由勾股定理得 EC2 +FC2 = EF2,∴ 32+(6-x) 2 =(3+x) 2,解得 x= 2,∴ DF= 2. 7. 19 　 【解析】如解图,在 AB 上截取 AE = AD,连接 CE,过 点 C 作 CF⊥ AB 于点 F,∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠DAC = ∠EAC,又∵ AD = AE,AC = AC,∴ △ADC≌△AEC( SAS), ∴ CE=CD= 2=BC,∵ AD = 3,∴ AE = AD = 3,∵ CF⊥AB,CE =BC,AB= 5,∴ EF = FB = 1 2 BE = 1 2 (AB-AE)= 1,∴ AF = AE+EF= 4,在 Rt△EFC 中,由勾股定理得 CF= CE2-EF2 = 3 ,在 Rt△AFC 中,由勾股定理得 AC = AF2+CF2 = 19 . 第 7 题解图 专练三　 一线三等角模型 例 1　 2　 【解析】∵ AB=AC = 4,∴ ∠B =∠C,∵ ∠1=∠C,∴ ∠B = ∠1, ∵ ∠BAD + ∠B = ∠1 + ∠CDE, ∴ ∠BAD = ∠CDE,∵ AD=DE,∴ △ABD≌△DCE(AAS),∴ CD =BA = 4,BD=CE,∵ BC= 6,∴ CE=BD=BC-CD= 6-4= 2,∴ AE= AC-CE= 4-2= 2. 例 2　 A　 【解析】在矩形 ABCD 中,AB = 6,∴ CD = AB = AE = 6,又∵ E 是 CD 的中点,∴ DE=CE= 3,在Rt△ADE中,AD = AE2-DE2 = 62-32 = 3 3 , 由 题 可 得, ∠D = ∠C = ∠AEF= 90°,∴ ∠AED+∠CEF =∠EFC+∠CEF,∴ ∠AED =∠EFC,∴ △ADE∽△ECF,∴ CF DE = CE DA ,即 CF 3 = 3 3 3 ,解得 CF= 3 . 1.5 　 【解析】 ∵ ∠ABC = 90°,AD⊥BD,CE⊥BD,∴ ∠D = ∠CEB=∠ABC= 90°,∴ ∠ABD+∠CBE =∠ABD+∠BAD = 90°,∴ ∠CBE=∠BAD,∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴ AB =BC,∴ △ABD≌△BCE(AAS),∴ BD = CE = 7,∵ BE = 2, ∴ DE=BD-BE= 7-2= 5. 2.8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB =CD,∠B =∠C = 90°,∴ ∠BAE+∠AEB= 90°,∵ △AEF 是等腰直角三角形, ∴ AE=EF,∠AEF= 90°,∴ ∠FEC+∠AEB = 90°,∴ ∠BAE = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3