专练1 看到“中点”咋思考-【一战成名新中考】2025江西中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·江西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一、江西中考培优———模型方法 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 专练一　 看到“中点”咋思考 角度 1　 遇到中点,想中位线(2023.22(2),2021.16) 例 1　 [北师九上 P85 第 4 题改编]如图,在△ABC 中, 点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,过点 E 作 EF⊥ BC 于点 F,连接 DF,若 BC = 8,EF = 3,则 DF 的 长为 ( B ) A.4　 　 　 B.5　 　 　 C.6　 　 　 D.8 【思路点拨】D,E 分别为 AB,AC 的中点,连接 DE,构造 中位线. 例 1 题图 　 　 　 　 例 2 题图 例 2　 如图,AD 是△ABC 的中线,M 是 AD 的中点, 连接 BM 并延长交 AC 于点 N,若 AC= 4,则 AN= 　 　 　 　 . 【思路点拨】D 为 BC 的中点,过点 D 作 BN 的平行线, 构造中位线. 归纳总结 已知:D,E 分别是 AB,AC 的中点 辅助 线 作 法: 连 接 DE 结论:DE∥BC, DE= 1 2 BC, △ADE∽△ABC 已知:D 是 AB 的 中点 辅助线作法:过点 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于点 E 结论:AE=EC, DE= 1 2 BC, △ADE∽△ABC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角度 2　 遇到直角三角形斜边中点,想斜边中线(2023.19(1),2022.18(1),2018.15) 例 3　 已知,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D,E 分别 是 AB,BC 的中点,延长 AC 到点 F,使得 CF = 1 2 AC,连接 EF.若 EF= 4,则 AB 的长为　 8　 . 例 3 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】连接 CD,证明四边形 CDEF 是平行四边 形,再利用直角三角形斜边上中线的性质可求 AB 的长. 归纳总结 已知: 在 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°,D 为 AB 的 中点 辅助线作法:连接 CD 结论: CD = AD = BD = 1 2 AB 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 角度 3　 遇到等腰三角形底边中点,想三线合一(2018.15) 例 4　 如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 6,M 为 BC 的中点,MN⊥AC 于点 N,则 MN 的长为 ( D ) A.3　 　 　 B.3 2 　 　 　 C. 8 2 5 　 　 　 D.12 5 例 4 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】连接 AM,利用“三线合一”的性质构造直 角三角形,由勾股定理和三角形的等面积法可求出 MN 的长. 归纳总结 已知:AB = AC,D 是 BC 的中点 辅助线作法:连接 AD 结论:AD⊥BC, AD 平分∠BAC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角度 4　 遇到过中点的垂线,想垂直平分线 例 5　 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,DE 垂直平分 AB,分别交 AB,BC 于点 D,E,且 DE = 2,则 CE= 　 2　 . 例 5 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】连接 AE,利用 30°角的直角三角形和垂直 平分线的性质,可得出 AE 平分∠BAC,由角平分线的 性质可得出结论. 归纳总结 已知:ED⊥BC,D 为 BC 的中点 辅助线作法: 连 接 BE 结论:BE=EC, ED 平分∠BEC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 角度 5　 倍长中线、类中线构造全等(2017.23) 例 6　 如图,在△ABC 中,AB = 6,AC = 8,AD 是 BC 边上的中线,则 AD 长的取值范围是 ( C ) A.6<AD<8　 　 　 　 　 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 例 6 题图 　 　 　 备用图 【思路点拨】可延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 EC,则 △ADB≌△EDC,将已知的三条边转化到同一个△ACE 中,运用三角形的三边关系判断 AD 长的取值范围. 归纳总结 倍长中线 已知:D 为 BC 的中点 辅助线作法:延长 AD 至点 E,使 DE = AD,连 接 CE 结论:△ADB≌△EDC 倍长类中线 已知:D 为 BC 的中点 辅助线作法:过 点 C 作 CE∥AB,交 FD 的 延长线于点 E 结论:△BDF≌△CDE 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 专项培优练·江西数学 江 西 中 考 培 优 模 型 方 法 综合训练 1.如图,将两个含 30°角的直角三角板摆放在一起,E 为 AB 的中点,连接 DE.若 AC = 2,则 DE 的长为　 7 　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.多解法 ∙∙∙ 　 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,D 是 AB 的中点,过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 于点 E, 若 CE= 3,AC= 4,则 DE 的长为　 5 　 . 3.如图,已知☉O 的两弦 AB,CD 相交于点 E,且 A 为CD ( 的中点,若∠OBA = 32°,则∠CEA 的 度数为　 58°　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为边 BC 的延长线上一点,连接 AD,E 为 AD 的中点,连 接 CE,若 BC= 2CD= 4,CE= 3,则△ABC 的面积为　 4 3 　 . 5.如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 8,线段 DE 的两个端点 D,E 分别在边 AC,BC 上 滑动,且 DE= 6,若 M,N 分别是 DE,AB 的中点,则 MN 的最小值为　 　 　 . 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 变式题图 [变式] 名师原创 如图,在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,AB = 8,AC = 6,点 E,F 分别在 AB,AC 上, 且 AE= 5,AF= 2,D,M 分别为 BC,EF 的中点,则 MD= 　 　 　 . 6.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=8,D是BC 的中点,G 是AD的中点,连接BG 并延长交AC 于 点 E,则 AE 的长为　 　 　 . 第 6 题图 3 一战成名·江西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 随书答案 专 项 培 优 练 专项培优练 一、江西中考培优———模型方法 专练一　 看到“中点”咋思考 例 1　 B　 【解析】如解图,连接 DE,∵ D,E 分别是 AB,AC 的 中点,∴ DE 是△ABC 的中位线,∴ DE∥BC,DE = 1 2 BC = 4,∵ EF⊥BC,∴ EF⊥DE,∵ EF = 3,∴ 在 Rt△DEF 中,由 勾股定理得 DF= 32+42 = 5. 例 1 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 4 3 　 【解析】如解图,过点 D 作 DE∥BN 交 AC 于点 E,∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD = CD,∴ CE = EN,∵ M 是 AD 的中点,DE∥BN,∴ AN = EN,∴ AN = EN = CE = 1 3 AC, ∵ AC= 4,∴ AN= 4 3 . 例 3　 8　 【解析】如解图,连接 CD,∵ D,E 分别是 AB,BC 的 中点,∴ DE∥AC,DE= 1 2 AC.∵ 延长 AC 到点 F,使得 CF = 1 2 AC,∴ DE∥CF 且 DE=CF,∴ 四边形 CDEF 是平行四边 形.∴ CD=EF = 4.∵ ∠ACB = 90°,CD 为斜边 AB 的中线, ∴ AB= 2CD= 8. 例 3 题解图 　 　 例 4 题解图 例 4　 D　 【解析】如解图,连接 AM,∵ AB=AC,M 为 BC 的中 点,∴ AM⊥CM(三线合一),BM = CM,∵ BC = 6,∴ BM = CM= 3,在 Rt△ABM 中,AB= 5,BM= 3,∴ 根据勾股定理得 AM= AB2-BM2 = 52-32 = 4,又∵ S△AMC = 1 2 MN·AC = 1 2 AM·MC,∴ MN= AM·CM AC = 12 5 . 例 5　 2　 【解析】如解图,连接 AE,∵ ∠C= 90°,∠B= 30°,∴ ∠BAC= 60°,∵ DE 垂直平分 AB,∴ AE = EB,∴ ∠DAE = ∠B= 30°,∴ ∠DAE=∠CAE= 30°,∴ AE 平分∠BAC,∴ EC =ED= 2. 例 5 题解图 　 　 例 6 题解图 例 6　 C　 【解析】如解图,延长 AD 至点 E,使 DE = AD,连接 EC,∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ CD = BD, ∵ ∠ADB = ∠CDE,∴ △ADB≌△EDC,∴ AB =EC = 6,在△ACE 中,AC -CE<AE<AC+CE,∴ 2<2AD<14,∴ 1<AD<7. 1. 7 　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠ABC = 30°,∴ AB = 2AC = 4, BC= 3 AC = 2 3 .在 Rt△BCD 中,∠CBD = 30°,∴ CD = 1 2 BC= 3 ,∠BCD= 60°.如解图,连接 CE,∵ E 为 AB 的中 点,∴ CE 是斜边 AB 的中线,∴ CE = 1 2 AB = 2,∠BCE = ∠EBC = 30°, ∴ ∠DCE = 90°, ∴ DE = CD2+CE2 = ( 3 ) 2+22 = 7 . 第 1 题解图 　 　 　 　 第 2 题解图 2. 5 　 【解析】如解图,连接 AE,∵ D 是 AB 的中点,ED⊥ AB,∴ AE=BE,AD=BD= 1 2 AB,在 Rt△AEC 中, CE = 3,AC = 4,由勾股定理得 AE= AC2+CE2 = 42+32 = 5,∴ BE = AE= 5,∴ BC = 8,在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB = AC2+BC2 = 42+82 = 4 5 . 解法一:BD = 1 2 AB = 2 5 ,在 Rt△DBE 中,由勾股定理得 DE= BE2-BD2 = 52-(2 5 ) 2 = 5 . 解法二:∵ ∠C = 90°,ED⊥AB,∴ ∠C =∠BDE,又∵ ∠B = ∠B,∴ △ABC∽△EBD,∴ AC ED = AB EB ,即 4 ED = 4 5 5 ,解得 ED = 5 . 3.58°　 【解析】如解图,连接 OA 交弦 CD 于点 G,∵ A 为CD ( 的中点,∴ OA⊥CD,∴ ∠AGE = 90°,∵ OA =OB,∴ ∠OAE = ∠OBA= 32°,∴ ∠CEA= 90°-∠OAE= 90°-32° = 58°. 第 3 题解图 　 　 第 4 题解图 4.4 3 　 【解析】如解图,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,∵ AB = AC,∴ BF=CF= 1 2 BC= 1 2 ×4 = 2,∵ 2CD = 4,∴ CD = 2,∴ C 为 DF 的中点,∵ E 为 AD 的中点,∴ EC 为△AFD 的中位 线,∴ EC∥AF,EC = 1 2 AF,∴ AF = 2CE = 2 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AF= 1 2 ×4×2 3 = 4 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 一战成名·江西数学 专 项 培 优 练 5. 41 - 3 　 【解析】 如解图,连接 CM,CN,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,AC= 10,BC= 8,∴ AB = AC2+BC2 = 2 41 ,∵ DE= 6,M,N 分别是 DE,AB 的中点,∴ CN = 1 2 AB= 41 , CM= 1 2 DE= 3,∵ MN≥CN-CM,∴ 当点 C,M,N 在同一直 线上时,MN 取最小值,最小值为 41 -3. 第 5 题解图 　 　 　 变式题解图 [变式] 5 2 　 【解析】如解图,连接 CE,取 CE 的中点 P,连 接 MP,DP.∵ M 是 EF 的中点,P 是 CE 的中点,∴ MP = 1 2 CF,MP∥CF,同理 DP= 1 2 BE,DP∥BE.∵ ∠BAC = 90°, ∴ AB⊥AC,∴ DP⊥MP.∵ AB = 8,AE = 5,AF = 2,AC = 6,∴ BE= 3,CF = 4,∴ DP = 3 2 ,MP = 2,在 Rt△MDP 中,MD = MP2+DP2 = 22+( 3 2 ) 2 = 5 2 . 6. 10 3 　 【解析】如解图,延长 BE,使 BG =GF,连接 AF,∵ G 是 AD 的 中 点, ∴ AG = DG, 在 △AGF 和 △DGB 中, AG=DG, ∠AGF=∠DGB, GF=BG, { ∴ △AGF≌△DGB ( SAS), ∴ AF = BD, ∠FAG=∠BDG,∴ AF∥BC,∴ △AEF∽△CEB,∴ AF BC = AE CE , ∵ AB=AC= 10,BC = 8,D 是 BC 的中点,∴ BD = CD = 1 2 BC = 4,∴ AF=BD= 4,∴ AE CE = AF BC = 4 8 = 1 2 ,∴ AE= 1 3 AC= 10 3 . 第 6 题解图 专练二　 看到“角平分线”咋思考 例 1 　 C 　 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,∵ S△ABD = 1 2 DH· AB = 60, ∴ DH = 2×60 20 = 6, ∵ AD 平分 ∠BAC,∠C= 90°,DH⊥AB,∴ DC=DH= 6. 例 1 题解图 　 　 　 例 2 题解图 例 2　 C　 【解析】如解图,延长 BD 交 AC 于点 E,∵ AD 平分 ∠BAE,AD⊥BD,∴ ∠BAD = ∠EAD,∠ADB = ∠ADE,在 △ABD 和△AED 中, ∠BAD=∠EAD, AD=AD, ∠BDA=∠EDA, { ∴ △ABD≌△AED (ASA),∴ BD=DE,∴ S△ABD =S△ADE,S△BDC =S△CDE,∴ S△ABD+ S△BDC =S△ADE+S△CDE =S△ADC,∴ S△ADC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×12= 6. 例 3　 2　 【解析】解法一:如解图①,在 AB 上截取 AE = AC, 连接 DE.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD =∠CAD,∵ AD = AD, ∴ △AED≌ △ACD, ∴ DE = DC, ∠AED = ∠C, ∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2∠B, ∵ ∠AED 是△BED 的外角, ∴ ∠AED=∠B+∠EDB,∴ ∠B =∠EDB,∴ BE = DE,∴ AB = AE+BE=AC+CD,∵ AB= 5,AC= 3,∴ CD= 2. 解法二:如解图②,延长 AC 至点 F,使得 AF=AB,连接 DF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD =∠FAD,∵ AD = AD,∴ △ABD ≌△AFD,∴ ∠F = ∠B,∵ ∠ACB = 2∠B,∠ACB = ∠F + ∠CDF,∴ ∠CDF=∠F,∴ CD=CF,∴ CD=AF-AC=AB-AC = 2. 图① 　 　 图② 例 3 题解图 例 4　 5 3 　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E,∴ ∠BAD = ∠ADE,∵ AD 是△ABC 的角平分 线,∴ ∠BAD=∠CAD,∴ ∠ADE =∠CAD,∴ DE = AE,∵ DE ∥AB,∴ CE AC =DE AB , BD CD = AE CE ,设 DE = AE = x,则 CE = 3-x,∴ 3-x 3 = x 5 ,解得 x = 15 8 ,∴ AE = 15 8 ,CE = 3- 15 8 = 9 8 ,∴ BD CD = AE CE = 15 8 9 8 = 5 3 . 解法二:如解图②,过点 C 作 CF∥AD 交 BA 的延长线于点 F,∴ ∠F=∠BAD,∠DAC =∠ACF,∵ AD 是△ABC 的角平 分线,∠BAD=∠CAD,∴ ∠ACF =∠F,∴ AF = AC = 3,∵ CF ∥AD,∴ BD CD =AB AF = 5 3 . 图① 　 　 　 图② 例 4 题解图 1.D　 【解析】过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,如解图,∵ BD 平分∠ABC,∴ DE =DF,∵ AB = 4,△ABD 的面积为 6,∴ 1 2 AB·DE= 1 2 ×4DE= 6,解得 DE = 3,∴ DF = 3,∵ BC= 6,∴ △BDC 的面积为 1 2 BC·DF= 1 2 ×6×3= 9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2