2.3 解二元一次方程组（第二课时 讲练）（9大题型55题）-2024-2025学年七年级数学下册同步讲练（浙教版2024）

加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.（加减消元法的依据是等式的基本性质.） 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 取绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （1）变形取最小公倍数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘. （2）选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单. （3）回代时选择系数较简单的方程. 代入 当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 回代 把求得的未知数的值代人方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 加减消元法的四种策略 策略一：对于同一个未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于同一个未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元. 策略三：当二元一次方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时，应适当变形后消去这个未知数。 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的同一个未知数作为“消元”的目标更简便， 【基础练习】 【练习1-1】程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【详解】解：， ①+②得：3x＝3， 解得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， 则方程组的解为． 故选：A 【练习1-2】用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3 【答案】A 【解析】 【详解】解：解方程组，由②﹣①消去未知数y， 所得到的一元一次方程是2x＝9． 故选：A． 【练习1-3】以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】解方程组，根据解确定象限。 【详解】解：， ①×3﹣②得：5y＝10，即y＝2， 将y＝2代入①得：x+4＝6，即x＝2， ∴方程组的解为， 则（2，2）在第一象限． 故选：A． 【练习1-4】解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解：由①得：4x﹣3y＝5③， 由③×2，得8x﹣6y＝10④， ②+④，得， 将代入①，得， 所以原方程组的解是． 【典例】利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2 C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【答案】C 【解析】 【分析】观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：要消去y可以将①×5+②×3，故选项A不合题意，C合题意； 要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项B、D不合题意． 故选：C． 【变式1-1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将 【答案】D 【解析】 【分析】根据加减消元法解方程组的步骤逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：得：， ，不符合题意，A选项错误； 得：， ，不符合题意，B选项错误； 得：， ，不符合题意，C选项错误； 得：， ，符合题意，D选项正确， 故选：D． 【典例】在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（　　） A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝1 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 由①﹣②得：4x+（m+n）y＝9， ∵①﹣②可直接消去未知数y， ∴m+n＝0． 故选：C． 【变式2-1】方程组的解是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用加减法消元法解方程组即可． 【详解】解： ①②，得，解得 . 把代入①，得.所以方程组的解为 【变式2-2】用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由于y的系数互为相反数，所以用加减消元法． （2）需要先化简再求解． 【详解】解：（1）， 两式相加消去y得：3x＝9， 所以x＝3， 代入①得：y＝7． 所以原方程组的解为． （2）化简得， 由（1）﹣（2）得：y＝7， 代入（1）得：3x﹣7＝8， ∴x＝5． ∴原方程组的解为． 【典例】方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ①×4得：8x﹣4y＝12③， ②+③得：11x＝22， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得： 2×2﹣y＝3， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为：， 故选：B． 【变式3-1】方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题解方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】 ， 得： ， 解得： ， 把 代入 得： 解得： ， 则方程组的解为： ． 故答案为：． 【变式3-2】解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) ； (2)． 【解析】 【分析】（1）利用求出y的值，然后代入求出x的值． （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得③， 得④， 得， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 将，得： 由得：， 解得：， 将代入①中得：， 解得：， 故原方程组得解为：． 方法技巧：加减消元法的技巧 （1)当方程组中同一个未知数的两个系数相等时，两个方程相减；当同一个未知数的两个系数互为相反数时，两个方程相加， （2)当同一个未知数的系数的绝对值不相等时，选一个或两个方程变形，使同一个未知数的 系数的绝对值相等，然后用加减消元法求解. （3）若方程组比较复杂，应先化简整理， 易错警示：运用等式的性质进行方程变形时漏乘常数项 在用加减消元法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一未知数的系数变成相等或互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，这时容易忽略常数项，造成漏乘现象，出现错解。 【典例】已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2024等于（　　） A．2024 B．1 C．﹣1 D．﹣2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0得，解方程组，代入计算即可． 【详解】解：根据|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0， 得， 解得， 故（x+y）2024＝（﹣2+1）2024＝1， 故选：B． 【变式4-1】若x，y为实数，且，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根及偶次方根的非负性列出二元一次方程组，利用加减消元法解方程求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得 故答案为：3． 【变式4-2】已知，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)求当x为何值时，？ 【答案】(1)k的值为，b的值为(2) 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）由（1）得，再根据题意建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得， 得，解得， 把代入②得，解得， ∴k的值为，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，则， 解得． 【典例】已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 　． 【答案】1 【解析】 【分析】将第一个方程化为x＝4﹣2y，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解． 【详解】解：解法一：由x+2y＝4可得： x＝4﹣2y， 代入第二个方程中，可得： 2（4﹣2y）+y＝5， 解得：y＝1， 将y＝1代入第一个方程中，可得 x+2×1＝4， 解得：x＝2， ∴x﹣y＝2﹣1＝1， 故答案为：1； 解法二：∵， 由②﹣①可得： x﹣y＝1， 故答案为：1． 【变式5-1】已知方程组则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，代入所求代数式即可得到答案. 【详解】解：方程组 ①②可得：，∴ . 【变式5-2】已知是方程组的解，则（2a+b）（2a﹣b）＝　 　． 【答案】﹣6 【解析】 【分析】把代入方程组即可得到2a﹣b和2a+b的值，从而得出计算结果． 【详解】解：把代入方程组得，， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【典例】已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， ∵ x+y=5， ∴ 2k+1=5， 解得：k=2，故B正确． 故选：B． 【变式6-1】解关于x的方程组得当m满足方程5x+8y=38时，m=____. 【答案】,2 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据满足方程代入计算即可. 【详解】， 得：， ， 把代入 得：， 当满足方程时， 有， 解得：， 故答案为：，. 【变式6-2】若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，求出，，再代入即可求得k的值． 【详解】解： ①＋②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 把，代入得，， 解得 , 即k的值为． 方法技巧：求二元一次方程组中字母的值的一般步骤 ①把字母参数看成已知数并解方程组；②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；③解方程求得字母参数. 【典例】若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组，再把方程组的解代入和，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组的解满足四个方程， 解方程组得，， 把分别代入和得， ，， 解得，，； ∴，故C正确． 故选：C． 【变式7-1】已知方程组的解能使等式成立，则的值为 ______． 【答案】8 【解析】 【分析】首先解方程组，可得，再把代入，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：8． 【变式7-2】甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，﹣12+b＝﹣2，5a+20＝15． ∴a＝﹣1，b＝10． ∴（﹣1）2010+（﹣1）2011＝1+（﹣1）＝0． 方法技巧：同解问题的解法 解答两个二元一次方程组的同解问题，一般需先联立其中两个不含字母系数的方程，得到方程组的解，再将该相同的解代入其他二元一次方程确定字母系数的值. 方法技巧：求解与方程组有关的错解问题的方法 方程组的解适合方程组中的任意一个方程，而在看错某一个方程的情况下得到的方程组的解，只适合另一个没有看错的方程.解题时需注意挖掘题目中的隐含信息，借助所得的方程（组）求出字母系数值. 【典例】先阅读材料，然后解方程组： 材料：解方程组： 解：由①得x+1＝6y③ 把③代入②得×6y﹣y＝11，得y＝1 把y＝1代入③，得x+1＝6，∴x＝5 ∴方程组的解为． 上述方法为“整体代入法”，请用上述方法解下列方程组： ． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入法，可得方程组的解． 【详解】解：， 把①代入②，得 2（5x+2）＝11x+7． 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入①，得 ﹣9+2y＝﹣15+2， 解得y＝﹣2， 原方程组的解为． 【变式8-1】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①﹣②得3x＋3y＝3即x＋y＝1③ ③×14得14x＋14y＝14④ ②﹣④得x＝，从而可得y＝ ∴方程组的解是． (1)请你仿上面的解法解方程组． (2)猜测关于x，y的方程组（a≠b）的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)猜想：，见解析 【解析】 【分析】（1）仿照例题，②﹣①，得x+y＝1③，③×2021，得2021x+2021y＝2021④，②﹣④得x＝，从而得y＝，即可求解． （2）根据方程组中未知数的系数之间的关系，猜想方程组的解为，代入方程组检验即可求解． 【详解】（1）解： ②﹣①，得x+y＝1③， ③×2021，得2021x+2021y＝2021④， ②﹣④得x＝，从而得y＝． ∴方程组的解是． （2）猜想：．验证把方程组的解代入原方程组， 得，即方程组成立．∴方程组的解是． 【变式8-2】阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12，得：y4x（x、y为正整数）．要使y＝4x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 　． （2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 　　． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可； （2）根据题意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可； （3）先求出y的值，即可求出k的值． 【详解】解：（1）方程3x+2y＝8的正整数解为， 故答案为； （2）正整数有9，6，5，4，共4个， 故选B； （3） ①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8， 解得：y， ∵x，y是正整数，k是整数， 4﹣k＝1，2，4，8， ∴k＝3，2，0，﹣4， 但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，﹣4． 【典例】对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”： ，其中，，为常数，若，，求的值为（   ）． A． B．1 C． D．与或或的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，通过解方程组的思路恒等变式可求得的值即可． 【详解】解：由题意得, ②−①得，a＋2b＝13③， 由②得，4a＋8b−b＋c＝28，即4（a＋2b）−b＋c＝28④， 将③代入④得，4×13−b＋c＝28，整理得，−b＋c＝−24⑤， ③＋⑤得，a＋b＋c＝-11，即1⊙1＝-11， 故选：A． 【变式9-1】对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出即可． 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 则， 故答案为：． 【变式9-2】对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2＋6＝2（3＋1），所以2316是“平衡数”，m＝4123.因为4＋3≠2（1＋2），所以4123不是“平衡数”． （1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由； （2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n． 【答案】（1）5223是“平衡数”， 3126不是“平衡数”；（2）n的值是1227． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5223，3126是否为“平衡数”； （2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可． 【详解】解：（1）5223是“平衡数”， 3126不是“平衡数”， ∵5+3=2×（2+2）， ∴5223是“平衡数”， ∵3+6≠2×（1+2）， ∴3126不是“平衡数”； （2）∵n是“平衡数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4）， 设n的百位上的数字为b， ∵个位和百位都是0-9的数字， ∴个位上的数字为9-b，且9-b＞b， ∴0≤b≤4， ∴n=1000a+100b+20a+9-b， ∴F（n）= =340a+33b+3， 由于n是“平衡数”， ∴a+9-b=2×（2a+b）， 即a+b=3， 可能的情况有：，，， 当a=1，b=2时，n的值为1227，则F（n）的值为409，各数位上数字之和是奇数， 当a=2，b=1时，n的值为2148，则F（n）的值为716，各数位上数字之和是偶数，舍去， 当a=3，b=0时，n的值为3069，则F（n）的值为1023，各数位上数字之和是偶数，舍去， ∴n的值是1227 1．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 【答案】A 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：若消去y， 则①+②得：6x＝﹣16； 若消去x， 则①﹣②×5得：﹣12y＝98； 故选：A． 2．二元一次方程组的解是         A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用加减消元法解方程即可 【详解】解： ①②得，解得，将代入①中得， 故方程组的解为 3．以方程组的解为坐标的点到轴的距离是（    ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用加减消元法求出x、y的值，再根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解： 用①×3+②得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴点（3，-1）到x轴的距离为， 故选C． 4．若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　 　． 【答案】0 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得，解出m和n的值即可解答． 【详解】解：∵|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0， ∴， 解得， ∴m+n＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 5．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ①+②得：x+y+m-5=4+m， 即x+y=9. 故答案为：C. 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】将二元一次方程组的解代入x+y＝1，得到关于k的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：， ①×2﹣②，得6x＝10k﹣13， 解得x③， 将③代入②，得4y＝5， 解得y， ∴原二元一次方程组是解为， ∵x+y＝1， ∴1， ∴k＝1． 故选：B． 7．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，再把代入中得：，然后进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1， 把代入中得：， 解得：a＝3， 由题意得：， 解得：， ∴a+b+c＝3+1+1＝5， 故选：C． 8．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可． 【详解】解：设， 则 ， 由题意得： ， 即， 解得 ． 故答案为：A 9．关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法进行计算即可． 【详解】解：解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是：， 故答案为：． 10．已知方程组的解是关于x，y的二元一次方程4x＋9y－15m＝0的一个解，则m＝________． 【答案】－ 【解析】 【分析】先解方程组的，再把得到的x和y的值带入4x＋9y－15m＝0中，即可求出m的值. 【详解】 ①；②得： ①-②得 将带入①中得 将x=1 y=-1 带入4x＋9y－15m＝0得m=－ 故答案为－ 11．若3x3m﹣4n﹣1+5ym﹣2n+1＝4是关于x、y的二元一次方程，则的值等于 　　． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义易得，解得m，n的值后计算即可． 【详解】解：∵3x3m﹣4n﹣1+5ym﹣2n+1＝4是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， 则2， 故答案为：2． 12．已知关于、的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】把两个方程相加即可得到结论． 【详解】解： ①+②得：， 故答案为：7． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ______ ． 【答案】####1.5 【解析】 【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入，得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：， ①②得： ， ， ①②得： ， ， 原方程组的解为：． 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ． 故答案为：． 14．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，得到，再根据方程组与方程同解，代入二元一次方程，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①②得，解得； 由②①得，解得； 方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ，即，解得． 15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【详解】解：将方程组整理，得： ， 根据题意，得： 解得：， 故答案为： 16．用加减法解下列方程组： （1） （2） （3）． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】各方程利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：（1）①×2+②得：11x＝33，即x＝3， 把x＝3代入①得：y＝4， 则方程组的解为； （2）①×3﹣②×2得：5x＝5，即x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， 则方程组的解为； （3）方程组整理得：， 两方程相加得：6x＝18，即x＝3， 把x＝3代入第一个方程得：y， 则方程组的解为． 17．阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务. 任务： 这种解方程组的方法称为________； 小林的解法正确吗？________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，错在第________步，并选择恰当的方法解该方程组． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解出方程组； （2）利用加减消元法解出方程组即可． 【详解】解：这种解方程组的方法叫代入消元法. 故答案为：代入消元法. 小林的解法不正确，错在第二步， 正确解法：①②得，， 把代入①得，， 则方程组的解为： 故答案为：不正确；二. 18．若表示的算术平方根，表示的立方根，求的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义列出方程求解，再求出，，然后代入，求立方根即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，， ∴， 即19的立方根为． 19．已知关于、的方程组的解适合方程，求的值． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵关于，的方程组的解与相同 ∴联立和得 把① +②得：，解得 把代入① 中，解得 ∴方程组的解为： 把代入中得：，解得 20．已知方程组和的解相同，求（a﹣b）2022的值． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得方程组，用加减消元法解方程组得，再将解代入原方程可得，再用加减消元法解方程组得，即可求（a﹣b）2022＝﹣1． 【详解】解：由题意得， ①×3，得9x﹣3y＝9③， ②+③得，x＝2， 将x＝2代入①得，y＝3， ∴方程组的解为， 把代入元方程组，得， ①×3得，6a+9b＝24 ③， ②×2得，4b﹣6a＝2 ④， ③+④得，b＝2， 将b＝2代入②得，a＝1， ∴， ∴（a﹣b）2022＝（1﹣2）2022＝1． 21．我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：交换两行的位置；将某一行整体乘以一个非零数；将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为，第一行第二列、第二行第一列的数字变为，即的形式，那么第三列的数字从上到下分别是和的解．例如，对于上述方程的数字排列形式，有： Ⅰ将第一行乘以加到第二行，数字排列变为； Ⅱ将第二行乘以，数字排列变为； Ⅲ将第二行乘以加到第一行，数字排列变为； 所以第三列数字中就是的解，就是的解． 对于方程组， (1)请写出对应的数字排列形式； (2)请参照上述方法求解该方程组． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）根据新方法直接得到答案即可； （2）按照题干信息先把第二行的第一个数字化为0，再把第二列的两个数字化为相反数，最后把第一行第二列的数字化为0，从而可得答案． 【详解】（1）解：根据已知得； （2）解：Ⅰ将第一行乘以加到第二行，数字排列变为； Ⅱ将第二行乘以，数字排列变为； Ⅲ将第二行乘以加到第一行，数字排列变为； 所以方程组的解为． 22．定义：数对（x，y）经过一种运算可以得到数对（x'，y'），将该运算记作：d（x，y）＝（x'，y'），其中（a，b为常数）． 例如，当a＝1，b＝1时，d（﹣2，3）＝（1，﹣5）． （1）当a＝2，b＝1时，d（3，1）＝　 　； （2）若d（﹣3，5）＝（﹣1，9），求a和b的值； （3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足二元一次方程x﹣3y＝0时，总有d（x，y）＝（﹣x，﹣y），则a＝　　，b＝　 　． 【答案】（1）（7，5）；（2）a和b的值分别为，﹣1（3）；﹣1 【解析】 【详解】解：（1）当a＝2，b＝1时，， ∵x'＝2×3+1＝7，y'＝2×3﹣1＝5， ∴d（3，1）＝（7，5）， 故答案为：（7，5）； （2）∵d（﹣3，5）＝（﹣1，9）， ∴， 解得， ∴a和b的值分别为，﹣1； （3）∵d（x，y）＝（﹣x，﹣y），x﹣3y＝0， ∴d（3y，y）＝（﹣3y，﹣y）， ∴， 化简得， 解得， 故答案为：；﹣1． 1．（2021·天津·统考中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可． 【详解】， ②-①得：，即， ∴． 将代入①得：， ∴． 故原二元一次方程组的解为． 故选B． 2．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可． 【详解】解：， ①×2+②×3，得13x=26， 解得：x=2， 把x=2代入②，得6-2y=0， 解得y=3， 故方程组的解为． 故答案为：． 3．（2022·广西柳州·统考中考真题）解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：①+②得：3x＝9， ∴x＝3， 将x＝3代入②得：6+y＝7， ∴y＝1． ∴原方程组的解为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.（加减消元法的依据是等式的基本性质.） 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 取绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （1）变形取最小公倍数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘. （2）选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单. （3）回代时选择系数较简单的方程. 代入 当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 回代 把求得的未知数的值代人方程组中某个较简单的方程 求出另一个未知数的值 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 加减消元法的四种策略 策略一：对于同一个未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于同一个未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元. 策略三：当二元一次方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时，应适当变形后消去这个未知数。 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的同一个未知数作为“消元”的目标更简便， 【基础练习】 【练习1-1】程组的解是（　　） A． B． C． D． 【练习1-2】用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3 【练习1-3】以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【练习1-4】解方程组：． 【典例】利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2 C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【变式1-1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将 【典例】在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（　　） A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝1 【变式2-1】方程组的解是________. 【变式2-2】用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 【典例】方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】方程组的解为______． 【变式3-2】解方程组： (1) (2)． 方法技巧：加减消元法的技巧 （1)当方程组中同一个未知数的两个系数相等时，两个方程相减；当同一个未知数的两个系数互为相反数时，两个方程相加， （2)当同一个未知数的系数的绝对值不相等时，选一个或两个方程变形，使同一个未知数的 系数的绝对值相等，然后用加减消元法求解. （3）若方程组比较复杂，应先化简整理， 易错警示：运用等式的性质进行方程变形时漏乘常数项 在用加减消元法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一未知数的系数变成相等或互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，这时容易忽略常数项，造成漏乘现象，出现错解。 【典例】已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2024等于（　　） A．2024 B．1 C．﹣1 D．﹣2024 【变式4-1】若x，y为实数，且，则的值为_____． 【变式4-2】已知，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)求当x为何值时，？ 【典例】已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 　． 【变式5-1】已知方程组则的值是________. 【变式5-2】已知是方程组的解，则（2a+b）（2a﹣b）＝　 　． 【典例】已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】解关于x的方程组得当m满足方程5x+8y=38时，m=____. 【变式6-2】若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程，求k的值． 方法技巧：求二元一次方程组中字母的值的一般步骤 ①把字母参数看成已知数并解方程组；②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；③解方程求得字母参数. 【典例】若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-1】已知方程组的解能使等式成立，则的值为 ______． 【变式7-2】甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 方法技巧：同解问题的解法 解答两个二元一次方程组的同解问题，一般需先联立其中两个不含字母系数的方程，得到方程组的解，再将该相同的解代入其他二元一次方程确定字母系数的值. 方法技巧：求解与方程组有关的错解问题的方法 方程组的解适合方程组中的任意一个方程，而在看错某一个方程的情况下得到的方程组的解，只适合另一个没有看错的方程.解题时需注意挖掘题目中的隐含信息，借助所得的方程（组）求出字母系数值. 【典例】先阅读材料，然后解方程组： 材料：解方程组： 解：由①得x+1＝6y③ 把③代入②得×6y﹣y＝11，得y＝1 把y＝1代入③，得x+1＝6，∴x＝5 ∴方程组的解为． 上述方法为“整体代入法”，请用上述方法解下列方程组： ． 【变式8-1】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①﹣②得3x＋3y＝3即x＋y＝1③ ③×14得14x＋14y＝14④ ②﹣④得x＝，从而可得y＝ ∴方程组的解是． (1)请你仿上面的解法解方程组． (2)猜测关于x，y的方程组（a≠b）的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【变式8-2】阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12，得：y4x（x、y为正整数）．要使y＝4x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 　． （2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 　　． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值． 【典例】对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”： ，其中，，为常数，若，，求的值为（       ）． A． B．1 C． D．与或或的值有关 【变式9-1】对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________． 【变式9-2】对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“平衡数”．例如：m＝2316，因为2＋6＝2（3＋1），所以2316是“平衡数”，m＝4123.因为4＋3≠2（1＋2），所以4123不是“平衡数”． （1）判断5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由； （2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，记F（n）＝，求满足F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有n． 1．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 2．二元一次方程组的解是         A. B. C. D. 3．以方程组的解为坐标的点到轴的距离是（    ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 4．若|m+2n﹣1|+（m﹣3n+4）2＝0，则m+n的值为 　 　． 5．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式（　　）． A． B． C． D． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 7．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用得到的方程是______． 10．已知方程组的解是关于x，y的二元一次方程4x＋9y－15m＝0的一个解，则m＝________． 11．若3x3m﹣4n﹣1+5ym﹣2n+1＝4是关于x、y的二元一次方程，则的值等于 　　． 12．已知关于、的二元一次方程组，则的值为______． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ______ ． 14．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则___________． 15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）． 16．用加减法解下列方程组： （1） （2） （3）． 17．阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务. 任务： 这种解方程组的方法称为________； 小林的解法正确吗？________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，错在第________步，并选择恰当的方法解该方程组． 18．若表示的算术平方根，表示的立方根，求的立方根． 19．已知关于、的方程组的解适合方程，求的值． 20．已知方程组和的解相同，求（a﹣b）2022的值． 21．我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种新的解二元一次方程组的方法．对于方程，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的数字提取出来写成这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这里规定每行只能进行三种运算：交换两行的位置；将某一行整体乘以一个非零数；将某一行乘以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为，第一行第二列、第二行第一列的数字变为，即的形式，那么第三列的数字从上到下分别是和的解．例如，对于上述方程的数字排列形式，有： Ⅰ将第一行乘以加到第二行，数字排列变为； Ⅱ将第二行乘以，数字排列变为； Ⅲ将第二行乘以加到第一行，数字排列变为； 所以第三列数字中就是的解，就是的解． 对于方程组， (1)请写出对应的数字排列形式； (2)请参照上述方法求解该方程组． 22．定义：数对（x，y）经过一种运算可以得到数对（x'，y'），将该运算记作：d（x，y）＝（x'，y'），其中（a，b为常数）． 例如，当a＝1，b＝1时，d（﹣2，3）＝（1，﹣5）． （1）当a＝2，b＝1时，d（3，1）＝　 　； （2）若d（﹣3，5）＝（﹣1，9），求a和b的值； （3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足二元一次方程x﹣3y＝0时，总有d（x，y）＝（﹣x，﹣y），则a＝　　，b＝　 　． 1．（2021·天津·统考中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为___________． 3．（2022·广西柳州·统考中考真题）解方程组：． 学科网（北京）股份有限公司 $$