章末综合检测(6) 平面向量初步（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

章末综合检测(六)　平面向量初步 [对应学生用书P191] (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量a＝(，1)，则|a|＝(　　) A．1　　　 B．　　　 C．　　　 D．2 D　解析：∵a＝(，1)，∴|a|＝＝2. 2．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　　) A．(5，3) B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1) C　解析：若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b＝(3×2＋2×1，3×1＋2×0)＝(8，3). 3．在△ABC中，D为AC边的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　) A．λ＝2，μ＝－1 B．λ＝－1，μ＝2 C．λ＝－2，μ＝1 D．λ＝1，μ＝2 C　解析：∵＝＋，D为AC边的中点， ∴＝， ＝＋＝－－＝－2， 即λ＝－2，μ＝1. 4．已知向量a＝(k，－1)，b＝(3，－4)，如果向量2a＋b与a－3b平行，则实数k的值为(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：∵向量a＝(k，－1)，b＝(3，－4)， ∴2a＋b＝(2k＋3，－6)，a－3b＝(k－9，11)， ∵向量2a＋b与a－3b平行， ∴(2k＋3)×11－(－6)×(k－9)＝0， 解得实数k＝. 5．已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－1，则下列向量与a不同向的是(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋2b D．3b D　解析：a＋b＝3＋(－1)＝2与a同向；a－b＝3－(－1)＝4与a同向；a＋2b＝3＋2×(－1)＝1与a同向；3b＝3×(－1)＝－3与a不同向． 6．在△ABC中，D为线段BC上一点，且BD＝2DC，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ D　解析：如图， ∵BD＝2CD，∴＝2，∴－＝2(－)， ∴＝＋. 7．在△ABC中＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D． C　解析：∵＝，＝，∴＝＋＝＋(－)＝＋＝＋. ∵＝λ＋μ，∴λ＋μ＝＋＝. 8．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等腰直角三角形，F为线段AE的中点，设向量＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．a＋b C．－a＋b D．a＋b C　解析：连接BD，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等腰直角三角形，F为线段AE的中点， ∴BD∥AE，且BD＝2AE， ∴＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋. ∵＝a，＝b，∴＝－a＋b. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．若a∥b，b∥c，则a∥c BC　解析：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A不正确；在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故B正确；若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确；对于D，当b＝0，a与c不一定平行，故D不正确． 10．下列各式中，化简结果为的是(　　) A．(－)－ B．－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－－＋ ABC　解析：A：(－)－＝＋＋ ＝＋＝； B：－(＋)＝－0＝； C：－(＋)－(＋)＝－－－－ ＝＋－＝； D：－－＋＝＋＋＝＋2. 11．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 BCD　解析：∵＝(3，3)，＝(－2，－2)， ∴＝－，∴与共线． 又||≠||，∴该四边形为梯形． 12．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．||＝||＝|| B．＋＋＝0 C．＝＋ D．S△MBC＝S△ABC BD　解析：如图，M为△ABC的重心， 则＋＋＝0，A错误，B正确； ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋，C错误； 由DM＝AM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a＝(2，4)，b＝(－1，－3)，则|3a＋2b|＝________． 2　解析：|3a＋2b|＝|3(2，4)＋2(－1，－3)|＝|(6－2，12－6)|＝＝2. 14．在△ABC中，＝a，＝b，AD为BC边的中线，G为△ABC的重心，以a，b为一组基底来表示向量＝________． a＋b　解析：∵D是BC的中点，G是重心，∴＝＝(＋)＝(＋)＝a＋b， 即＝a＋b. 15．已知：＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1).若A、C、D三点共线，则k＝________． 4　解析：∵＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)， ∴＝＋＝(10，k＋1)，又∵A、C、D三点共线， ∴∥. ∴10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4. 16．如图，在平行四边形OACB中，E，F分别为AC和BC上的点，且＝，＝，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n的值为________． 　解析：由题可知：＝＋＝＋＝＋；＝＋＝＋＝＋； 所以＝－，＝－＋， 又因为＝＋，代入得＝＋， 所以m＋n＝＋＝. 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b) (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； (2)若＝2，求点C的坐标． 解：(1)∵已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b)， 若A，B，C三点共线，则∥，即＝λ·， 即(a－1，b－1)＝λ (2，－2)， ∴a－1＝2λ，b－1＝－2λ，即a＋b＝2. (2)若＝2，(a－1，b－1)＝2(2，－2)， ∴a＝5，b＝－3， ∴点C的坐标为(5，－3). 18．(12分)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，用，作为基底来表示＋＋. 解：∵＝(1，3)，＝(2，4)，＝(－3，5)， ＝(－4，2)，＝(－5，1)， ∴＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1) ＝(－12，8). 设＋＋＝λ＋μ， 则(－12，8)＝λ(1，3)＋μ(2，4)， 即∴ ∴＋＋＝32－22. 19．(12分) 已知平面向量a，b，a＝(1，2). (1)若b＝(0，1)，求|a＋2b|的值； (2)若b＝(2，m)，a与a－b共线，求实数m的值． 解：(1)a＋2b＝(1，2)＋(0，2)＝(1，4)， 所以|a＋2b|＝＝. (2)a－b＝(－1，2－m)， 因为a与a－b共线， 所以存在实数λ，使a＝λ(a－b)， 即(1，2)＝λ(－1，2－m)， 所以解得 20．(12分)已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R). (1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？ (2)若点P在第三象限，求λ的取值范围． 解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3). ＋λ＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)， 即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)， 由＝＋λ，可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 则解得 ∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ). (1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝， ∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上． (2)∵点P在第三象限， ∴解得λ＜－1. ∴λ的取值范围是{λ|λ<－1}． 21．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)已知e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，点D(3，5)，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2) ＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C三点共线， ∴存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴，解得k＝－，λ＝－. (2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)， ∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴＝. 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)， ∵＝(－7，－2)， ∴，解得，即点A的坐标为(10，7). 22．(12分)如图所示，在△ABC中，点M是边BC上，且＝2，点N在边AC上，且＝3，AM与BN相交于点P，设＝a，＝b，用a，b表示. 解：设＝λ＋μ， ∵点M是边BC上，且＝2，点N在边AC上，且＝3， ∴＝4λ＋μ，＝λ＋3μ， ∵P，N，B三点共线，A，P，M三点共线， ∴⇒，∴＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$