章末综合检测(4) 指数函数、对数函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

章末综合检测(四)　指数函数、对数函数与幂函数 [对应学生用书P142] (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．lg 2－lg －eln 2－＋的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B． C．3 D．－5 A　解析：原式＝lg 2＋lg 5－2－2＋2＝lg 10－2＝1－2＝－1. 2．函数y＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞) C　解析：要使函数y＝有意义， 则解得x＞1且x≠2. ∴函数y＝的定义域为(1，2)∪(2，＋∞). 3．若幂函数f(x)＝xα图象过点(3，9)，设m＝α，n＝，t＝－logα3，则m，n，t的大小关系是(　　) A．m＞t＞n B．n＞t＞m C．t＞m＞n D．m＞n＞t D　解析：幂函数f(x)＝xα图象过点(3，9)， ∴3α＝9，α＝2， ∴m＝α＝， n＝＝，t＝－logα3＝－log23＜0， ∴＞＞－log23，∴m＞n＞t. 4．若函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0且a≠1)在[0，1]中的最大值比最小值大，则a等于(　　) A． B． C．或 D． C　解析：当a＞1时，如图，f(x)在[0，1]上递增， 此时最大值为a2，最小值为a，∴a2－a＝ 解得a＝或a＝0(舍去)； 当0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上递减， 此时最大值为a，最小值为a2， ∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)， 综上，a＝或a＝. 5．函数y＝log2.6(6＋x－x2)的单调增区间是(　　) A． B． C． D． C　解析：∵函数y＝log2.6(6＋x－x2)，∴要使得函数有意义，则6＋x－x2＞0， 即(x＋2)(x－3)＜0，解得－2＜x＜3， ∴函数y＝log2.6(6＋x－x2)的定义域为(－2，3)， 要求函数y＝log2.6(6＋x－x2)的单调递增区间，即求g(x)＝6＋x－x2的单调递增区间，g(x)＝6＋x－x2，开口向下，对称轴为x＝，∴g(x)＝6＋x－x2的单调递增区间是，又∵函数y＝log2.6(6＋x－x2)的定义域为(－2，3)，∴函数y＝log2.6(6＋x－x2)的单调递增区间是. 6．若函数f(x)＝(m－2)xα是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋m)(其中a＞0且a≠1)的图象过定点(　　) A．(－2，0) B．(2，0) C．(－3，0) D．(3，0) A　解析：函数f(x)＝(m－2)xα是幂函数，则m－2＝1，解得m＝3， 则函数g(x)＝loga(x＋3)(其中a＞0且a≠1)， 当x＋3＝1，即x＝－2时，g(x)＝0， 故函数g(x)＝loga(x＋3)(其中a＞0且a≠1)的图象过定点(－2，0). 7．已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D．(1，＋∞) B　解析：令y＝logat，t＝8－3ax， ①若0＜a＜1，则函数y＝logat是减函数， 由题设知t＝8－3ax为增函数，需a＜0，故此时无解； ②若a＞1，则函数y＝logat是增函数，则t为减函数， 需a＞0且8－3a×2＞0，可解得1＜a＜， 综上可得实数a 的取值范围是. 8．若不等式lg ≥(x－1)lg 3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) B　解析：由lg ≥lg 3x－1， 得≥3x－1，1＋2x＋(1－a)3x≥3x，1＋2x≥a·3x，即＋≥a对任意的x∈(－∞，1]恒成立．设f(x)＝＋(x∈(－∞，1])，则f(x)min＝f(1)＝＋＝1，∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列函数中，既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的函数为(　　) A．y＝x2＋2x B．y＝()|x| C．y＝2x－2－x D．y＝1－lg |x| BD　解析：对于A，y＝x2＋2x为二次函数，其对称轴为x＝－1，在(－∞，0)内不是增函数，不符合题意； 对于B，y＝()|x|＝为偶函数，且在(－∞，0)内是增函数，符合题意； 对于C，y＝2x－2－x，有f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)为奇函数，不符合题意； 对于D，y＝1－lg |x|＝既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增，符合题意． 10．若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象不正确的是(　　) ACD　解析：由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝()x，其函数图象不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图象不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图象不正确． 11．对于0＜a＜1，给出下列四个不等式，其中成立的是(　　) A．loga(1＋a)＜loga(1＋) B．loga(1＋a)＞loga(1＋) C．a1＋a＜a1＋ D．a1＋a＞a1＋ BD　解析：由0＜a＜1，知y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， a＜，则1＋a＜1＋， 则loga(1＋a)＞loga(1＋)， 故A错误，B正确； 由0＜a＜1，则y＝ax在R上单调递减， a＜，则1＋a＜1＋， 则a1＋a＞a1＋，故C错误，D正确． 12．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式中正确的有(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋) AB　解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确； f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确； f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确； [f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设函数f(x)＝则f＝________，方程f(f(x))＝1的解集为____________． 　{1，ee}　解析：∵f＝ln ＜0， ∴f＝f＝eln ＝. ∵x＜0时，0＜ex＜1，x＝0时，ex＝1， ∴当f(x)≤0时， 由方程f(f(x))＝1，可得f(x)＝0， 即ln x＝0，解得x＝1. 当f(x)＞0时，由方程f(f(x))＝1， 可得ln f(x)＝1，f(x)＝e， 即ln x＝e，解得x＝ee. 14．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－2，1]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是减函数，则a的值为______________． 　解析：∵函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是减函数，∴1－4m＜0，∴m＞. 又∵函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－2，1]上的最大值为4，最小值为m， 当a＞1时，f(x)是增函数，则可得m＝，不满足题意． 当1＞a＞0时，f(x)是减函数，则可得m＝a＝，满足题意． 15．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________． 　解析：∵f(x)是定义在R上的减函数， ∴ 解得≤a＜，∴实数a的取值范围是. 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) 8　解析：设过滤n次才能达到市场要求， 则2%≤0.1%，即≤， ∴n lg ≤－1－lg 2.∴n≥7.39，∴n＝8. 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算： (1)()－4×－×80.25＋(－2 014)0； (2)log2.56.25＋lg ＋ln (e)＋log2(log216). 解：(1)原式＝(2)－4×－2×2＋1＝2－4×－2＋1＝－6. (2)原式＝log2.52.52＋lg 10－2＋ln e＋log24＝2－2＋＋2＝. 18．(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售单价x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋100(8－x)，其中4＜x＜8，a为常数，已知销售单价为6元/千克时，每日可售出该商品220千克． (1)求a的值； (2)若该商品的进价为4元/千克，试确定销售单价x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值． 解：(1)因为y＝＋100(8－x)，且x＝6时，y＝220. 所以＋200＝220，解得a＝40. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋100(8－x). 所以商场每日销售该商品所获得的利润： f(x)＝(x－4) ＝40＋100(x－4)(8－x) ＝－100(x－6)2＋440(4＜x＜8) 因为f(x)为二次函数，且开口向上，对称轴为x＝6， 所以，当x＝6时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元． 19．(12分)设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及函数f(x)的定义域； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2. 由得－1<x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)由(1)得，f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 20．(12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式≥2m＋1在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得解得a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x. (2)设g(x)＝＝，则y＝g(x)在R上为减函数， ∴当x≤1时g(x)min＝g(1)＝. ∵≥2m＋1在x∈(－∞，1]上恒成立， ∴g(x)min≥2m＋1， 即2m＋1≤，∴m≤－. 故实数m的取值范围为. 21．(12分)已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m的值； (2)求函数g(x)＝h(x)＋在区间上的值域． 解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数， ∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或m＝5. ∵h(x)为奇函数，∴m＝0. (2)由(1)可知，g(x)＝x＋， 令＝t，则x＝. ∵x∈，∴t∈[0，1]. ∴g(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1，易知其值域为. 22．(12分)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)>0成立，求x的取值范围． 解：(1)设g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2. ∴g(x)＝2x. ∵f(x)＝.又f(－1)＝－f(1)， ∴＝－⇒m＝2；经检验，满足题意． ∴f(x)＝. (2)由(1)知，f(x)＝＝－＋.f(x)在定义域R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R，设x1<x2， ∵函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2， ∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)∵f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)>0， 得f(1－x)>－f(1－2x)， 即f(1－x)>f(2x－1)，∴ 解得2≤x≤3.故x的取值范围是[2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$