单元素养强化练(4) 指数函数、对数函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

单元素养强化练(四)　指数函数、对数函数与幂函数 [对应学生用书P194] 1．计算：log225·log52＝(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 A　解析：log225·log52＝·＝3. 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，2] B．(－1，2] C．[－2，0)∪(0，2] D．(－1，0)∪(0，2] D　解析：要使函数有意义，x应满足解得－1<x<0或0<x≤2，所以该函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]. 3．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) B　解析：函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确． 4．函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) D　解析：函数f(x)＝lg (x2－2x－8)，可令t＝x2－2x－8(x＞4或x＜－2)，则y＝lg t，由t＝x2－2x－8在(－∞，－2)递减，(4，＋∞)递增；y＝lg t在(0，＋∞)递增，可得函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞). 5．(多选题)设函数f(x)＝ln 是定义在区间(－n，n)上的奇函数(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　　) A．m＝2　　　　　 B．m＝ C．n∈(0，] D．n∈(，＋∞) AC　解析：根据题意，函数f(x)＝ln 是定义在区间(－n，n)上的奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0， 即ln ＋ln ＝ln ， 则＝1，解得m＝2或m＝－2(舍)， 即f(x)＝ln ，则＞0， 解得－＜x＜，故0＜n≤， 即n的取值范围为(0，]. 6．已知函数f(x)＝loga(x2－2ax)在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是(　　) A．(1，4) B．(1，4] C．(1，2) D．(1，2] C　解析：由题意可得g(x)＝x2－2ax的对称轴为x＝a， ① 当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4，5]单调递增，且g(x)＞0在[4，5]恒成立， 则∴1＜a＜2； ②当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4，5]单调递增，且g(x)＞0在[4，5]恒成立， 则此时a不存在． 综上可得a的取值范围是(1，2). 7．函数f(x)＝＋lg (x＋1)的定义域是__________． (－1，1]　解析：由题意可得 解得－1＜x≤1，∴函数f(x)＝＋lg (x＋1)的定义域是(－1，1]. 8．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，则实数x的取值范围是________． 2　(－∞，－4]∪[1，＋∞)　解析：由分段函数的表达式得f(－2)＝log22＝1， f(1)＝21＝2，则f(f(－2))＝2. 若x≥0，由f(x)≥2得2x≥2，所以x≥1， 若x＜0，由f(x)≥2得log2(－x)≥2， 即－x≥4，所以x≤－4， 综上，实数x的取值范围为(－∞，－4]∪[1，＋∞). 9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是____________． 　解析：∵函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0， ∴a＞1，且 2×－a＞1； 或 0＜a＜1，且0＜2×－a＜1. 解得 a∈∅，或＜a＜1. 10．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3，4]段上的平均速度是____________． 7　解析：＝＝7， 所以在时间[3，4]段上的平均速度是7. 11．求值： (1)－＋(0.008) ×； (2)2(lg )2＋20lg lg 5＋. 解：(1)原式＝ ＝－＋25×＝－＋1＝－. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋(1－lg ) ＝lg lg 10＋1－lg ＝1. 12．已知函数f(x)＝x＋的图象经过点(1，－3). (1)求a的值并判断f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)在[1，4]的单调性，并求出最大值． 解：(1)由题意可得f(1)＝－3， 即1＋a＝－3，解得a＝－4. 函数f(x)＝x－的定义域为{x|x≠0}关于原点对称， f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数． (2)由y＝x和y＝－在[1，4]上递增， 可得函数f(x)在[1，4]上递增， f(x)取得最大值f(4)＝3. 13．已知函数f(x)＝loga(其中a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明； (3)若x∈时，函数f(x)的值域是[0，1]，求实数a的值． 解：(1)由条件知解得－1＜x＜1，所以函数的定义域为(－1，1). (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称． f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x) 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝loga＝loga＝loga，记g(x)＝－1－， 则g(x)＝－1－在上单调递增，因此当a＞1时，f(x)在上单调递增， 由f＝1得a＝3； 当0＜a＜1时，f(x)在上单调递减，由f(0)＝1得出矛盾，a∈∅；综上可知a＝3. 14．某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为P＝t＋30，销售量Q(kg)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－2t＋120. (1)该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？ (2)为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1 kg水果就捐赠n(n∈N)元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间(t∈N)的增大而增大，求捐赠额n的值． 解：(1)设利润为y(元)，则 y＝(P－20)Q＝(－2t＋120) ＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－10)2＋1 250. 当t＝10时，ymax＝1 250. 即第十天的销售利润最大，最大利润为1 250元． (2)设捐赠后的利润为W(元) 则W＝(P－20－n)Q＝(－2t＋120) ＝－t2＋(2n＋10)t＋1 200－120n 令W＝f(t)，则二次函数f(t)的图象开口向下，对称轴t＝2n＋10， 根据题意得：第一天开始不能亏损，即f(1)≥0； 利润上升，即二次函数对称轴应在29.5的右侧，即2n＋10＞29.5 从而有解得n＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $$