4.2.2 对数运算法则（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（人教B版2019）

4．2.2　对数运算法则 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 栏目索引 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 必备知识 自主学习 logaM＋logaN αlogaM logaM－logaN 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 关键能力 互动探究 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 高效课堂 达标训练 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 谢谢观看！ 返回导航 数学 必修 第二册 （B） 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 课程标准 学科素养 1.掌握对数的运算法则，并能运用法则化简求值. 2．了解换底公式及其应用． 通过对数运算法则及换底公式的学习，进一步发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． eq \a\vs4\al(知识点1　积、商、幂的对数) 如果a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0.那么： (1)loga(M·N)＝________________________． (2)logaMα＝________________________ (α∈R). (3)loga eq \f(M,N) ＝________________________． 1．思考辨析 (1)log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5).(　　) (2)log2(－3)2＝2log2(－3).(　　) (3)lg 2＋lg 5＝1.(　　) (4)log48＝ eq \f(2,3) log23.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．ln e2＝________． 答案：2 3．(教材改编)log312－log34＝________． 答案：1 eq \a\vs4\al(知识点2　换底公式) logab＝ eq \f(logcb,logca) ，其中a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1. 1．式子 eq \f(log89,log23) 的值为(　　) A． eq \f(3,2) 　　　 B． eq \f(2,3) 　　　 C．2　　　 D．3 B　解析： eq \f(log89,log23) ＝ eq \f(\f(log232,log223),log23) ＝ eq \f(\f(2log23,3),log23) ＝ eq \f(2,3) . 2．若15a＝5b＝3c＝25，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) － eq \f(1,c) ＝________． 1　解析：∵15a＝5b＝3c＝25， ∴a＝log1525，b＝log525，c＝log325， ∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) － eq \f(1,c) ＝log2515＋log255－log253 ＝log25(15×5÷3)＝log2525＝1， eq \a\vs4\al(探究一　对数运算性质的应用) 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log2 eq \r(\f(7,48)) ＋log212－ eq \f(1,2) log242； (3) eq \f(lg 5·lg 8 000＋（lg 2\r(3)）2,lg 600－\f(1,2)lg 0.036－\f(1,2)lg 0.1) ； (4)lg ( eq \r(3＋\r(5)) ＋ eq \r(3－\r(5)) ). 解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg (5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. (2)原式＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),4\r(3))×12×\f(1,\r(7×6)))) ＝－ eq \f(1,2) . (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3； 分母＝(lg 6＋2)－lg eq \r(\f(36,1 000)×\f(1,10)) ＝lg 6＋2－lg eq \f(6,100) ＝4. ∴原式＝ eq \f(3,4) . (4)原式＝ eq \f(1,2) lg ( eq \r(3＋\r(5)) ＋ eq \r(3－\r(5)) )2＝ eq \f(1,2) lg (3＋ eq \r(5) ＋3－ eq \r(5) ＋2 eq \r(9－5) )＝ eq \f(1,2) lg 10＝ eq \f(1,2) . 1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数． 2．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题 eq \o(.,\s\do4(　,)) [训练1]　计算下列各式的值： (1) eq \f(1,2) lg eq \f(32,49) － eq \f(4,3) lg eq \r(8) ＋lg eq \r(245) ； (2)lg 25＋ eq \f(2,3) lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 解：(1)法一　原式 ＝ eq \f(1,2) (5lg 2－2lg 7)－ eq \f(4,3) × eq \f(3,2) lg 2＋ eq \f(1,2) (2lg 7＋lg 5) ＝ eq \f(5,2) lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋ eq \f(1,2) lg 5 ＝ eq \f(1,2) lg 2＋ eq \f(1,2) lg 5＝ eq \f(1,2) (lg 2＋lg 5)＝ eq \f(1,2) lg 10＝ eq \f(1,2) . 法二　原式＝lg eq \f(4\r(2),7) －lg 4＋lg 7 eq \r(5) ＝lg eq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4) ＝lg ( eq \r(2) · eq \r(5) )＝lg eq \r(10) ＝ eq \f(1,2) . (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. eq \a\vs4\al(探究二　换底公式) 计算下列各式的值： (1)log89·log2732；(2)(log43＋log83) eq \f(lg 2,lg 3) . 解：(1)原式＝ eq \f(lg 9,lg 8) · eq \f(lg 32,lg 27) ＝ eq \f(2lg 3,3lg 2) · eq \f(5lg 2,3lg 3) ＝ eq \f(10,9) . (2)原式＝( eq \f(lg 3,lg 4) ＋ eq \f(lg 3,lg 8) ) eq \f(lg 2,lg 3) ＝( eq \f(lg 3,2lg 2) ＋ eq \f(lg 3,3lg 2) )· eq \f(lg 2,lg 3) ＝ eq \f(lg 3,2lg 2) · eq \f(lg 2,lg 3) ＋ eq \f(lg 3,3lg 2) · eq \f(lg 2,lg 3) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,6) . 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式，解决一般对数求值的问题． [训练2]　计算下列各式的值： (1)log23·log36·log68； (2)(log23＋log43)(log32＋log274). 解：(1)原式＝log23· eq \f(log26,log23) · eq \f(log28,log26) ＝log28＝3. (2)原式＝(log23＋ eq \f(1,2) log23)×(log32＋ eq \f(2,3) log32) ＝( eq \f(3,2) log23)×( eq \f(5,3) log32)＝ eq \f(5,2) log23×log32 ＝ eq \f(5,2) log23× eq \f(1,log23) ＝ eq \f(5,2) . eq \a\vs4\al(探究三　条件求值问题) 设3a＝5b＝ eq \r(15) ，求 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) 的值． 解：∵3a＝5b＝ eq \r(15) ，两边取常用对数， 得a lg 3＝b lg 5＝ eq \f(1,2) lg 15， ∴a＝ eq \f(lg 15,2lg 3) ，b＝ eq \f(lg 15,2lg 5) ，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(2lg 3,lg 15) ＋ eq \f(2lg 5,lg 15) ＝ eq \f(2（lg 3＋lg 5）,lg 15) ＝ eq \f(2lg 15,lg 15) ＝2. 题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数． [训练3]　设2x＝5y＝m，且 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝2，则m＝(　　) A．± eq \r(10) 　　　　　　 B． eq \r(10) C．10 D．100 B　解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数． 得x＝log2m＝ eq \f(lg m,lg 2) ，y＝log5m＝ eq \f(lg m,lg 5) ， ∴ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(lg 2＋lg 5,lg m) ＝ eq \f(1,lg m) ＝2， ∴lg m＝ eq \f(1,2) ，∴m＝ ＝ eq \r(10) . eq \a\vs4\al(探究四　对数换底公式的应用) 已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝________(用a，b表示). eq \f(a＋b,2－a) 　解析：∵log189＝a，b＝log185， ∴a＋b＝log189＋log185＝log18(9×5)＝log1845， log1836＝log18(2×18)＝1＋log182＝1＋log18 eq \f(18,9) ＝2－log189＝2－a；∴log3645＝ eq \f(log1845,log1836) ＝ eq \f(a＋b,2－a) . [变式]　若在本例中将条件改为“已知10a＝2，10b＝3”，又如何用a，b表示log3645? 解：∵log3645＝ eq \f(lg （5×9）,lg （4×9）) ＝ eq \f(lg 5＋2lg 3,2lg 2＋2lg 3) ＝ eq \f(1－lg 2＋2lg 3,2lg 2＋2lg 3) ＝ eq \f(1－a＋2b,2a＋2b) ， ∴log3645＝ eq \f(1－a＋2b,2a＋2b) . 1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 [训练4]　已知log32＝a，3b＝7，用含有a，b的式子表示log1256. 解：由3b＝7得log37＝b， log1256＝ eq \f(log3（23×7）,log3（22×3）) ＝ eq \f(3log32＋log37,2log32＋log33) ＝ eq \f(3log32＋log37,2log32＋1) ＝ eq \f(3a＋b,2a＋1) . 1．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 答案：AC 2．计算log916×log881的值为(　　) A．18　　　 B． eq \f(1,18) 　　　 C． eq \f(8,3) 　　　 D． eq \f(3,8) 答案：C 3．log242＋log243＋log244等于(　　) A．1 B．2 C．24 D． eq \f(1,2) 答案：A 4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log312＝________． 答案： eq \f(2a＋b,b) 5．设3x＝4y＝6z＝t>1，求证： eq \f(1,z) － eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,2y) . 证明：∵3x＝4y＝6z＝t， ∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t， ∴ eq \f(1,x) ＝logt3， eq \f(1,y) ＝logt4， eq \f(1,z) ＝logt6， ∴ eq \f(1,z) － eq \f(1,x) ＝logt6－logt3＝logt2. 又 eq \f(1,y) ＝logt4＝2logt2，即 eq \f(1,2y) ＝logt2， ∴ eq \f(1,z) － eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,2y) . $$