数学（江苏徐州卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B B D C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9、2 10、 11、18 12、20 13、或 14、 15、 16、4或1 17、12 18、2 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19、（本题8分） 【答案】不等式组的解为，最大整数解为 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其最大整数解即可． 【详解】解：, 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解为，最大整数解为． 20、（本题8分） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别计算零指数幂、绝对值，代入特殊角的三角形函数值，进一步计算即可求解； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21、（本题8分） 【答案】 【分析】用列表法列出所有等可能的结果数，再考虑满足条件的结果的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列表如下： 第一张第二张 由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有种，其中杜甫抽出两张恰好为相邻两句诗的情况有种，所以（抽出两张恰好为相邻两句古诗）． 22、（本题8分） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 23、（本题10分） 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据“SAS”证明△ABF≌△CDE即可； （2）先根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠CED，再由平行四边形的性质得到∠CED=∠BCE，则∠AFB=∠BCE，AH∥CG，即可证明四边形AHCG是平行四边形，再由矩形的判定条件即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D， ∵AE=CF， ∴DE=AD-AE=BF=BC-CF， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； （2）当∠BAF=90°时，四边形AHCG是矩形，理由如下： ∵△ABF≌△CDE， ∴∠AFB=∠CED， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠CED=∠BCE， ∴∠AFB=∠BCE， ∴AH∥CG， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∵∠BAF=90°， ∴∠HAG=180°-∠BAF=90°， ∴四边形AHCG是矩形． 24、（本题10分） 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； 点O即为所求 （2）解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 25、（本题10分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出和的长，进而可求出和的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 26、（本题12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式分别令，时，即可得出． （2）根据解析式代入得出，过点作，交的延长线于点，则，过点作轴的平行线分别交直线于两点，则可证得，得出，由，可求得直线，联立抛物线解析式得出的坐标，即可求解． （3）设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，当时，，得到，设直线的解析式为，当时，，得到，从而得到方程，得到关系，当时，求出点，过点作轴的平行线交于点，可求，从而得到． 【详解】（1）解：由， 当时，， 当时，，解得：， ． （2）解：当时，， ， ， ， ， ， 过D点作，交的延长线于点N，则，过点N，C作y轴的平行线分别交直线于G，H两点， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线， 当时， 解得：或（舍去）， ． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ， ， ， 当时，解得：， ， 过点作轴的平行线交于点， ， ． 27、 （本题12分） 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点， ∴，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O， 连接， ∵是中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上， ∴其周长为． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点表示的数为，则与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 4．如图，是上三点，是的直径，的延长线相交于点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 6．函数图象的大致形状是（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是（    ）    A． B．1 C． D．4 8．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 10．分解因式： ． 11．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 13．如图，在矩形中，，，点为边上一个动点（不与，重合），把沿折叠，当点的对应点落在矩形的对称轴上时，的长为 ．    14．已知二次函数 (其中是常数)的图象过点，则 ． 15．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆. 若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积为 ．     16．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为 ． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与轴有两个公共点，则点与点之间的距离为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，并写出它的最大整数解． 20．（本题8分）（1）计算：． （2）化简：． 21．（本题8分）李白是唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《春夜洛城闻笛》是他创作的一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．“诗圣”杜甫从4张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求出杜甫随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率． 22．（本题8分）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 23．（本题10分）如图，在中，点E，F分别在边AD和BC上，且AE=FC，连接AF，CE，分别交DC，BA的延长线于点H，G． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形?请说明理由． 24．（本题10分）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 25．（本题10分）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 26．（本题12分）如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 27．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 2．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】 解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 3．如图，数轴上点表示的数为，则与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，进而得到的范围，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， ， ， 与最接近的整数是， 故选：A． 4．如图，是上三点，是的直径，的延长线相交于点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半推出，再根据是的直径，得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可推出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 5．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 6．函数图象的大致形状是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可． 【详解】解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数； 所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置． 7．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是（    ）    A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质及垂直平分线的性质，根据，得到，根据菱形得到，即可得到是等边三角形，根据勾股定理求出，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义，当数据波动最小时，方差最小，即可求解． 【详解】解：数据中的、、、的平均数为， 时，这组数据的方差最小， 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 11．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 【详解】解：设此圆锥的母线长为， 根据题意得，解得， 即此圆锥的母线长为， 故答案为：． 12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，，点为边上一个动点（不与，重合），把沿折叠，当点的对应点落在矩形的对称轴上时，的长为 ．    【答案】或 【分析】过点作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EM 与△AN 中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：过点作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．    设DE=a，则E=a． ∵矩形ABCD有两条对称轴， ∴分两种情况考虑： ①当DM=CM时， AN=DM=CD=AB=4，AD=A=5， 由勾股定理可知： N=， ∴M =MN-N =AD-N =2，EM=DM-DE=4-a， ∵E 2=EM2+M 2，即a2=（4-a）2+4， 解得：a=； ②当M =N时，    M =N =MN=AD=， 由勾股定理可知： AN=， ∴EM=DM-DE=AN-DE=， ∵E 2=EM2+M2，即a2＝()2+()2， 解得：a=． 综上知：DE=或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键． 14．已知二次函数 (其中是常数)的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，求得的值，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入：， 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，代数式的整体代入求值，掌握以上知识是解题的关键． 15．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆. 若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积为 ．     【答案】 【分析】由题意知，圆的半径为1，小正方形的对角线长为2，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆的半径为1，小正方形的对角线长为2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆．解题的关键在于正确表达阴影部分面积． 16．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4或1 【分析】本题考查了新定义的运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算顺序是解答关键． 先利用因式分解法解方程得到方程的两个根分别为3，2，则或当，然后利用新定义计算的值． 【详解】解：方程的两个根分别为3，2， 当时，，则； 当时，则． 所以的值为4或1． 故答案为：4或1． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：12． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与轴有两个公共点，则点与点之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将抛物线向下平移6个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，并写出它的最大整数解． 【答案】不等式组的解为，最大整数解为 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其最大整数解即可． 【详解】解：, 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解为，最大整数解为． 20．（本题8分）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别计算零指数幂、绝对值，代入特殊角的三角形函数值，进一步计算即可求解； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 21．（本题8分）李白是唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《春夜洛城闻笛》是他创作的一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．“诗圣”杜甫从4张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求出杜甫随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率． 【答案】 【分析】用列表法列出所有等可能的结果数，再考虑满足条件的结果的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列表如下： 第一张第二张 由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有种，其中杜甫抽出两张恰好为相邻两句诗的情况有种，所以（抽出两张恰好为相邻两句古诗）． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解此题的关键． 22．（本题8分）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 23．（本题10分）如图，在中，点E，F分别在边AD和BC上，且AE=FC，连接AF，CE，分别交DC，BA的延长线于点H，G． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形?请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据“SAS”证明△ABF≌△CDE即可； （2）先根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠CED，再由平行四边形的性质得到∠CED=∠BCE，则∠AFB=∠BCE，AH∥CG，即可证明四边形AHCG是平行四边形，再由矩形的判定条件即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D， ∵AE=CF， ∴DE=AD-AE=BF=BC-CF， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； （2）当∠BAF=90°时，四边形AHCG是矩形，理由如下： ∵△ABF≌△CDE， ∴∠AFB=∠CED， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠CED=∠BCE， ∴∠AFB=∠BCE， ∴AH∥CG， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∵∠BAF=90°， ∴∠HAG=180°-∠BAF=90°， ∴四边形AHCG是矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．（本题10分）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； 点O即为所求 （2）解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 25．（本题10分）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出和的长，进而可求出和的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 26．（本题12分）如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式分别令，时，即可得出． （2）根据解析式代入得出，过点作，交的延长线于点，则，过点作轴的平行线分别交直线于两点，则可证得，得出，由，可求得直线，联立抛物线解析式得出的坐标，即可求解． （3）设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，当时，，得到，设直线的解析式为，当时，，得到，从而得到方程，得到关系，当时，求出点，过点作轴的平行线交于点，可求，从而得到． 【详解】（1）解：由， 当时，， 当时，，解得：， ． （2）解：当时，， ， ， ， ， ， 过D点作，交的延长线于点N，则，过点N，C作y轴的平行线分别交直线于G，H两点， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线， 当时， 解得：或（舍去）， ． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ， ， ， 当时，解得：， ， 过点作轴的平行线交于点， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 27．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点， ∴，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O， 连接， ∵是中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上， ∴其周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 9、_________________ 10．___________________ 11__________________ 12．__________________ 13___________________ 14．___________________ 15__________________ 16．__________________ 17________________ 18 ．___________________ 11． __________________ 14．__________________ ___________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22、（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25、 （10分）、 26、 （12分） 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点表示的数为，则与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 4．如图，是上三点，是的直径，的延长线相交于点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 6．函数图象的大致形状是（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是（    ）    A． B．1 C． D．4 8．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 10．分解因式： ． 11．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 13．如图，在矩形中，，，点为边上一个动点（不与，重合），把沿折叠，当点的对应点落在矩形的对称轴上时，的长为 ．    14．已知二次函数 (其中是常数)的图象过点，则 ． 15．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆. 若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积为 ．     16．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为 ． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与轴有两个公共点，则点与点之间的距离为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，并写出它的最大整数解． 20．（本题8分）（1）计算：． （2）化简：． 21．（本题8分）李白是唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《春夜洛城闻笛》是他创作的一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．“诗圣”杜甫从4张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求出杜甫随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率． 22．（本题8分）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 23．（本题10分）如图，在中，点E，F分别在边AD和BC上，且AE=FC，连接AF，CE，分别交DC，BA的延长线于点H，G． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形?请说明理由． 24．（本题10分）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 25．（本题10分）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 26．（本题12分）如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 27．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$