精品解析： 福建省漳州市诏安县怀恩中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年下学期第一次质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分) 1. 用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案． 【详解】由题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示.“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 2. 若a＞b，则下列等式一定成立的是（　　） A. a＞b+2 B. a+1＞b+1 C. ﹣a＞﹣b D. |a|＞|b| 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质判断即可． 【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意； B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意； C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意； D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴△ACE的周长=AC+CE+AE =AC+CE+BE =AC+BC =5+6 =11． 故选B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 4. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可． 【详解】解：∵（m-1）x＞m-1的解集为x＜1， ∴m-1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 5. 如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝67°，则∠1＝（ ） A. 78° B. 67° C. 46° D. 23° 【答案】C 【解析】 【分析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠1的度数． 【详解】解：在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝67°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣67°﹣67°＝46°． 又∵直线a∥b， ∴∠1＝∠BAC＝46°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是综合运用所学知识求出∠BAC的度数． 6. 已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. PQ＞10 B. PQ≥10 C. PQ＜10 D. PQ≤10 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10， ∴点P到OB的距离为10， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥10． 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质；垂线段最短． 7. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：2×5+1.5x≤40．故选D． 8. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可． 【详解】解：设要答对x道． ， ， ， 解得：， 根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题． 故选C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键． 9. 一个等腰三角形一角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当80°为底角时，则底角为80°， 当80°为顶角时，则底角为： 故选：C． 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共24分) 11. 如图所示，点位于点、之间（不与、重合），点表示，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则x的范围是， 故答案为：. 12. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上， 将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上， 如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线， ∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为， ∴结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 14. 已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解． 【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示． ∵OC是∠AOB的平分线， ∴DM＝DE＝2． 在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°， ∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°． 在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°， ∴DF＝2DM＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键． 15. 已知关于的不等式的正整数解恰好是1，2，3，4，那么的取值范围是_______ 【答案】8<m≤10 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可. 【详解】解：不等式的解集是： ， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4， ∴ ∴m的取值范围是. 故答案为 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解的应用，求出关于m的不等式组，准确确定m的界点值是解答此题的关键之处. 16. 已知，且．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，结合求出；；再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】x＜﹣2， 这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示． 【解析】 【分析】首先去分母，然后去括号，移项合并，系数化为1，即可求得答案．注意系数化1时，因为系数是﹣1，所以不等号的方向要发生改变，在数轴上表示时：注意此题为空心点，方向向左． 【详解】去分母，得x﹣6＞2（x﹣2）． 去括号，得x﹣6＞2x﹣4， 移项，得x﹣2x＞﹣4+6， 合并同类项，得﹣x＞2， 系数化为1，得x＜﹣2， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，正确的计算与数形结合是解题的关键． 18. 如图，已知，与交于点，，求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】∵， ∴和是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由； （2）请用另一种作法完成作图． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出，即可得到； （2）可以作的垂直平分线或者的角平分线都可以． 【小问1详解】 解理由如下： ∵ ∴ 由作图可知， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 如图所示 或 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 20. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】按照不等式的三个性质分别解两个不等式，再找他们解集的公共部分即为此不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得 ：3（x+2）2（x+3）， 解得x0； 由不等式①，②的解集知，原不等式组的解集为． 【点睛】此题考查不等式组的解法和对不等式性质的掌握与运用． 21. 已知：关于的方程的解为非正数，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元一次方程的解法得到方程的解，然后再根据题意可列不等式进行求解． 【详解】解：由可得， ∵该方程的解为非正数， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． 22. 如图：，，，， （1）图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为G，证明，得到，进而得出，即可得到结论； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：，证明如下： 令与的交点为G，如图， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 23. 随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 （1）分别求A、B两种型号的净水器的销售单价； （2）若该电器公司准备用不多于54000元的金额采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？ 【答案】（1）型号净水器的销售单价为元，型号净水器销售单价为元； （2）型号净水器最多采购10台. 【解析】 【分析】（1）设型号净水器的销售单价为元，型号净水器销售单价为元，销售单价销售数量销售收入，列出方程组求解即可； （2）设采购型号净水器台，则型号净水器采购台，根据采购金额不超过元，列出不等式求解即可. 【详解】（1）设型号净水器的单价为元，型号净水器单价为元，由题意得， ，解得 所以型号净水器的销售单价为元，型号净水器销售单价为元. （2）设采购型号净水器台，则型号净水器采购台，由题意得， 解得 所以型号净水器最多采购10台. 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，熟练掌握关系式建立方程是解题的关键. 24. 已知一次函数，其中. (1)若点在y1的图象上.求a的值: (2)当时.若函数有最大值2.求y1的函数表达式; (3)对于一次函数，其中，若对一切实数x， 都成立，求a，m需满足的数量关系及 a的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 或；（3）且且. 【解析】 【分析】(1) 把代入中可求出a的值； (2)讨论:当， 即a> 1时，根据一次函数的性质得到x=3时，y=2，然后把(3，2)代入中求Ha得到此时一次函数解析式;当a-1<0， 即a<1时，利用一次函数的性质得到x=-2时，y=2，然后把(-2，2) 代入中求出a得到此时一次函数解析式； (3)先整理得到，再对一切实数x，都成立，则直线y与y平行，且y在y的上方，所以且，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围. 【详解】(1) 把代入得， ； (2)当a-1>0，即a> 1时，则x=3时，y=2， 把(3，2)代入得，解得a=4，此时一次函数解析式为； 当a-1<0，即a<1时，则x=-2时，y=2， 把(-2，2)代入得，解得，此时一.次函数解析式为； (3)， ∵对一切实数x，都成立， 且， 且且 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于) 0的自变量x的取值范围:从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了一次函数的性质. 25. 如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图b，当点D恰好落在上时． ①求的长及点E的坐标； ②如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，求出结果即可； ②不会变化，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵点， ∴，由（1）知， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 过E作轴于F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ②不会变化，如图，连接， ∵ ∵， ∴， 由①知：，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生变化，且的值为6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期第一次质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分) 1. 用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列等式一定成立的是（　　） A. a＞b+2 B. a+1＞b+1 C. ﹣a＞﹣b D. |a|＞|b| 3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 4. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 5. 如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a∥b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2＝67°，则∠1＝（ ） A. 78° B. 67° C. 46° D. 23° 6. 已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. PQ＞10 B. PQ≥10 C. PQ＜10 D. PQ≤10 7. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 一个等腰三角形一角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，共24分) 11. 如图所示，点位于点、之间（不与、重合），点表示，则的取值范围是______． 12. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______． 13. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 14. 已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____． 15. 已知关于的不等式的正整数解恰好是1，2，3，4，那么的取值范围是_______ 16. 已知，且．若，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来. 18. 如图，已知，与交于点，，求证：. 19. 如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由； （2）请用另一种作法完成作图． 20. 解不等式组 21. 已知：关于的方程的解为非正数，求的取值范围． 22. 如图：，，，， （1）图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． （2）连接，求证：平分． 23. 随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 （1）分别求A、B两种型号的净水器的销售单价； （2）若该电器公司准备用不多于54000元的金额采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？ 24. 已知一次函数，其中. (1)若点在y1的图象上.求a的值: (2)当时.若函数有最大值2.求y1的函数表达式; (3)对于一次函数，其中，若对一切实数x， 都成立，求a，m需满足的数量关系及 a的取值范围. 25. 如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图b，当点D恰好落在上时． ①求的长及点E的坐标； ②如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $