专题1.13 三角形的证明压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

第1章 三角形的证明压轴题综合测试卷 【北师大版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 4．（3分）（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接,．下面四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·北京顺义·期末）七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成多种图形.如图，号等腰直角三角形中，直角边的长为，号正方形的边长为．选择其中标有的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图所示，图中空白部分的面积分别记为，，则与的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·天津和平·期末）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中，正确的结论的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 12．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 13．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 14．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 15．（3分）（24-25八年级·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 16．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 18．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）（1）如图1，在中，，点D在上，，则 ； （2）如图2，在中，，点D在上，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，，求的度数． 19．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．    (1)如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； (2)如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 20．（8分）（24-25八年级·云南昭通·期末）已知，在中，，是中线，以为边在右侧作等边． (1)如图1，连接，交于点F． ①若，求的度数； ②求证：； (2)如图2，若点B、A、E在一条直线上，以为边在下方作等边，连接交于点P，试猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 21．（10分）（24-25八年级·福建龙岩·期末）已知，在等边 中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 22．（10分）（24-25八年级·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 23．（12分）（24-25八年级·山东临沂·期末）【探究】（1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】（2）如图3，等边三角形中，，点在上，，点是线段上的点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角时，请补全图形，求的长． 24．（12分）（24-25八年级·广西百色·期末）综合与实践 【积累经验】 （1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可； 【类比应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形． ①如图3，当时，求点的坐标； ②直接写出其他符合条件的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明压轴题综合测试卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，过作于， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 2．（3分）（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中所对的边等于斜边的一半等知识点，将的最大值转化成最小是解此题的关键．过点作于，连接，设，则，结合含角的直角三角形的性质可得关于的不等式，计算可求解的最小值，进而可求得的最大值． 【详解】解：过点作于，连接，如图， ∵， ∴； 设，则， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 解得， ∴最小值为的最大值为． 故选：C． 3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，      由，设， ，， ∵，，，， ∴，即， ∴为的角平分线， 又∵， ∴， ∴为的中线， ∵， ∴、、三点共线， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键． 4．（3分）（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接,．下面四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握垂直平分线的性质，等边对等角是解题的关键．根据垂直平分线的性质得，，，推出，可判断A；通过假设结论成立，推出不符合题意的结论，据此判断B和C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余可判断D． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∵， ∴，即， 故选项A的结论错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 若，则， 但题中没有条件说明， 故选项B的结论错误，不符合题意； 若，则， ∵， ∴，即， 但题中没有条件说明， 故选项C的结论错误，不符合题意； ∵ ∴， 即， 故选项D的结论正确，符合题意． 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选∶D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 6．（3分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质．过点作，，根据等腰三角形的性质可得，，又因为，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，从而可证，可得，根据全等三角形的面积相等可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可知是的平分线，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 和均为等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ，，， 又 ， ， ， ， ， 是的平分线， ． 故选：A ． 7．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解． 【详解】解：设中点为， 如图，当与重合时， 此时 由折叠得， ， 为等边三角形， ， ， ， 在的左侧， ①如图，当在线段上（不与、重合）   ， 由折叠得， ， ， ， ， ， ②如图，当与重合时    此时， ； ③如图，在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述：， ； 故选：B. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 8．（3分）（24-25八年级·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 9．（3分）（24-25八年级·北京顺义·期末）七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成多种图形.如图，号等腰直角三角形中，直角边的长为，号正方形的边长为．选择其中标有的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图所示，图中空白部分的面积分别记为，，则与的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形、七巧板．首先分别用含和的代数式分别表示出四个等腰直角三角形的面积，可得：，根据七巧板可知，从而可得． 【详解】解：设图中重叠部分的面积为， 由图可知，两个等腰直角三角形的直角边长为， 号两个图形的面积分别为， 号正方形的边长为， 号等腰直角三角形的直角边长为， 号两个图形的面积分别为， ，， ， 由图可知， ． 故选：D． 10．（3分）（24-25八年级·天津和平·期末）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中，正确的结论的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，等边三角形的判定，①延长交于点N，根据三角形的高，角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出，由此可对结论①进行判断；②证明得，则是等腰三角形，然而根据已知条件无法判定或，因此不一定是等边三角形，由此可对结论②进行判断；③证明得，进而得，再证明得，进而得，由此可对结论③进行判断；④由得，证明得，进而得，则，然后证明，得到，由此判断结论⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①延长交于点N，如图所示： ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故结论②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴结论④不正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①③⑤，共3个． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得，进而由勾股定理得，由折叠的性质得，可得，设，在中，由勾股定理得，得到，再利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，最后利用三角形面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵ ，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 14．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 在上截取，连接，过点作交的延长线于点，设，证明是等腰直角三角形得，则，证明和全等得，，进而得，根据三角形的面积公式得，，，再根据，解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【详解】（1）解：    ， 在与中， ， ； （2）解：过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 18．（6分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）（1）如图1，在中，，点D在上，，则 ； （2）如图2，在中，，点D在上，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，，求的度数． 【答案】（1）（2）30度；（3）80度 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，易得；根据三角形外角的性质，易得；设，进而得到，结合三角形内角和定理列方程求解，即可解题； （2）如图2，在上取一点E，使，证明，结合全等三角形性质，即可解题； （3）先根据三角形的内角和定理得，由等腰三角形的性质得，延长至点G，使，连接，作，交于F，交于点P，连接，设与交于点E，证明和，即可解题． 【详解】解：（1）设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，在上取一点E，使， ， ， ， ， 即， ，， ，， ， ，， ， ； （3），， ， ， ， ， ， 如图，延长至点G，使，连接，作，交于F，交于点P，连接，设与交于点E， ，， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，三角形内角和为，三角形全等的性质和判定等知识点，正确作辅助线构建等边三角形和全等三角形是解本题的关键． 19．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．    (1)如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使； (2)如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质画出直线即可；取格点Q，使且，连接，交直线于点P，则点P即为所求． （2）根据三角形的高的定义画出即可；取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G，则点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． 取格点Q，使且，连接，交直线于点P， 则点P即为所求．    （2）解：如图，即为所求． 取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G， 则点G即为所求．    【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（8分）（24-25八年级·云南昭通·期末）已知，在中，，是中线，以为边在右侧作等边． (1)如图1，连接，交于点F． ①若，求的度数； ②求证：； (2)如图2，若点B、A、E在一条直线上，以为边在下方作等边，连接交于点P，试猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①，②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形三线合一得出平分，且，设，则．在中，，，，再求解可得出结论； （2）过点E作于H，由等边三角形性质可得，，再求得，，即，再由等腰三角形性质可得，，可证得，从而得出，再由等边三角形的性质可得，，再证得，证明，可得，即．再证明可得出结论． 【详解】（1）解：①∵，是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴； ②证明：∵，是中线，是等边三角形， ∴平分，且，，， 设， 则． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解： 证明：如图，过点E作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵B、A、E在一条直线上，，， ∴，， 即， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 又∵， ∴ 【点睛】本题词考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键． 21．（10分）（24-25八年级·福建龙岩·期末）已知，在等边 中，点，分别在，上，且，连接与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； (3)如图3，连接，当时，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，进而证明，得，根据三角形的外角性质即可得解； （2）由，得，进而证明，，最后证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （3）如图，过点作于点，由（）得，，，进而得，，证明，得，再证明得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由（）得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （3）解∶如图，过点作于点， 由（）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 22．（10分）（24-25八年级·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，； 【拓展延伸】见解析； 【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证， ，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 23．（12分）（24-25八年级·山东临沂·期末）【探究】（1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】（2）如图3，等边三角形中，，点在上，，点是线段上的点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角时，请补全图形，求的长． 【答案】（1）①，理由见解析，②，理由见解析；（2）补全图形见解析， 【分析】本题主要考查三角形综合题，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）①根据条件易证，再进行线段转化易得答案；②与第①小问思路一样，证出即可； （2）过作交于，由可得，可得，再由为等边三角形，可得，再求解即可． 【详解】（1）①解，，理由如下： 和是等边三角形， ，，． ， ， 又，， ， ， ， 即； ②解：，理由如下： 和是等边三角形， ，．， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，补全图形， 过作交于， ， ， ， 为等边三角形， 又为等边三角形， 由（1）①同理得， ， ， 又为等边三角形， ， 24．（12分）（24-25八年级·广西百色·期末）综合与实践 【积累经验】 （1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可； 【类比应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形． ①如图3，当时，求点的坐标； ②直接写出其他符合条件的点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）①；②，， 【分析】（1）因为于，，所以，因为，即可通过证明． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可证． （3）①过点作轴，过点作的延长线，易得，，，通过证明，再设点的坐标为，，根据，，进行列式作答即可； ②分类讨论，当时，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】解：（1）于，， ，， ， 即， ， ， ， ； 故答案为：，；         （2）如图2，过点作轴于点． 点，， ，．             由（1）可知， ，， ，         点的坐标为．         （3）①如图3，过点作轴，过点A作，交的延长线于点． ，， ，，， ．         轴， ． ， ， ，．         点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，． ，，点， ，，         解得，， 故点的坐标为         ②，，过点作轴，过点作射线轴，且过点作，如图： ， ∴， ∴， 因为， ， 过点作轴，过点作， ， ， ，， 点在第一象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 此时无解， 当，，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，如图： ，， ， 即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 当，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于，如图： ，， ， 即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 当时，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，如图： ，， ，即， ， ， ，， 点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上， 设点的坐标为，， ，，， ，， 解得，， 故点的坐标为； 综上，其他符合条件的点的坐标为，，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$