专题13 因式分解（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题13 因式分解专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．将正整数n代入代数式计算，正确的结果可能是（    ） A．32736 B．32737 C．32738 D．32739 2．若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（    ）． A．2 B．4 C．3 D．5 4．已知在中，a、b、c是三边的长，且，那么的值是（    ）． A． B． C． D．1 5．三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个 6．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．正整数满足，则 ． 8．若，则代数式的值是 ． 9．已知：，，，则 ． 10．计算： ． 11．设，，且，则 ． 12．已知，均为完全平方数，则 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）已知：a为有理数，，求的值． 14．（本题12分）已知实数满足 且 ，求的值. 15．（本题12分）为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积？ 16．（本题12分）已知．求的值． 17．（本题14分）中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法： ①；②． （其中为三角形的三边长，为面积） (1)请证明：； (2)如图，线段，点在上，且，点是线段上一点，分别以为圆心，的长为半径画圆，和交于点，直接写出的面积的最大值：_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题13 因式分解专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．将正整数n代入代数式计算，正确的结果可能是（    ） A．32736 B．32737 C．32738 D．32739 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，利用提取公因式法和公式法将进行因式分解，可以将写成3个连续的自然数的乘积的形式，进而推出是6的倍数，由此可解． 【详解】解： ， 是3个连续的自然数的乘积， 是6的倍数， 四个选项中，只有32736是6的倍数， 故选：A． 2．若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m和n的值，再求解即可． 【详解】解：由已知， 故可得，， ∴，， ∴， 故选：D 3．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（    ）． A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案． 【详解】将，，三式相加， 得 整理得 即 ，，， ． 4．已知在中，a、b、c是三边的长，且，那么的值是（    ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出，得出，求出，再代入求值即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个 【答案】C 【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键． 【详解】由题意知是的倍数， ∵， ∴（1）8整除且整除；（2）125整除且整除1)， 由（1）得，由（2）得， ∴共有两个， 故选C． 6．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 【答案】B 【分析】设，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧． 【详解】设， 是偶数， 是奇数，选项符合题意， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．正整数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得，然后由为正整数，可得且，进而求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵为正整数， ∴且 ∴，， 解得：或， ∴， 故答案为：． 8．若，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】等式可变形为，再根据非负数的性质可求出，．将所求式子因式分解变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查完全平方公式，非负数的性质，因式分解，代数式求值等知识．根据完全平方公式将等式变形，结合非负数的性质求出和是解题关键． 9．已知：，，，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再根据完全平方公式把原式因式分别为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】2009 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：2009． 11．设，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将与的差进行因式分解，得到，推出与的关系，并判断其是否满足，最后将其代入中化简求解，即可解题． 【详解】解：，， 若，则， 则，矛盾． 所以， 即， 所以． 故答案为：． 12．已知，均为完全平方数，则 【答案】或或 【分析】本题考查完全平方数，设①，②（、为整数），得，将所有可能情况列出来即可解答．解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知道完全平方数是整数． 【详解】解：设①，②（、为整数）， ②－①得：，即， 可能情况如下： ，，，，，， 解得：（舍去），，，（舍去），（舍去），， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或． 故答案为：或或． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）已知：a为有理数，，求的值． 【答案】1 【详解】试题分析：首先将1+a+a2+a3+…+a2012变形为：1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），然后将a3+a2+a+1=0代入即可求得答案． 试题解析： ：∵a3+a2+a+1=0， ∴1+a+a2+a3+…+a2012， =1+a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）， =1． 【点睛】此题考查了因式分解的应用．得到1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）是解此题的关键． 14．（本题12分）已知实数满足 且 ，求的值. 【答案】2 【详解】试题分析：展开已知条件可得，得到a+c=2b，即可得到结论． 试题解析：解：∵， ∴， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 点睛：本题考查了分式化简求值．解题的关键是把已知进行变形，得到． 15．（本题12分）为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积？ 【答案】k=-3 【分析】首先由x2+3x+2=(x+1)(x+2)，可设多项式=(x+my+1)×(x+ny+2)，然后根据多项式乘以多项式的运算法则求(x+my+1)×(x+ny+2)的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组m+n=-2、mn=k、2m+n=-5，解得m和n的值，并求出k值. 【详解】因为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以令原式=(x+my+1)×(x+ny+2)，即x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2=x2-2xy+ky2+3x-5y+2,所以m+n=-2、mn=k、2m+n=-5,求得m=-3，n=1，所以k=mn=-3，所以当k=-3时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积. 【点睛】熟练掌握因式分解提公因式法、公式法． 16．（本题12分）已知．求的值． 【答案】56 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子因式分解成，再由一直条件式得到，进而求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵ ∴， ， ， ， ∴原式． 17．（本题14分）中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法： ①；②． （其中为三角形的三边长，为面积） (1)请证明：； (2)如图，线段，点在上，且，点是线段上一点，分别以为圆心，的长为半径画圆，和交于点，直接写出的面积的最大值：_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质． （1）对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成； （2）设，则，利用表示出面积，再利用二次函数知识即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：设，则，， ∴， ∴ ， 而对于，当时，它有最大值3， ∴有最大值； 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$