专题02 相交线与平行线 （必刷50题30种题型）七年级数学下学期新教材冀教版

专题02 相交线与平行线 （必刷50题30种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是命题（高频） 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 （高频） 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 举反例（难点） 题型六 定理与证明（重点） 题型七 平面内两直线的位置关系 题型八 相交线 （高频） 题型九 对顶角的定义 （重点） 题型十 对顶角相等 题型十一 垂线的定义理解 题型十二 画垂线（重点） 题型十三 垂线段最短 （易错） 题型十四 点到直线的距离（高频） 题型十五 同位角、内错角、同旁内角（重点） 题型十六 求平行线间的距离（高频） 题型十七 利用平行线间距离解决问题 题型十八 用直尺、三角板画平行线（易错） 题型十九 平行公理的应用（高频） 题型二十 同位角相等两直线平行 题型二十一 内错角相等两直线平行（易错） 题型二十二 同旁内角互补两直线平行（难点） 题型二十三 根据平行线的性质求角的度数 题型二十四 平行线的性质在生活中的应用 题型二十五 根据平行线判定与性质求角度 题型二十六 根据平行线判定与性质证明（重点） 题型二十七 生活中的平移现象（高频） 题型二十八 图形的平移 题型二十九 利用平移的性质求解（重点） 题型三十 平移(作图)（难点） 题型一 题型一 判断是否是命题 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？ C．延长线段到C，使得 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，理解并掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义“判断一件事情的句子”判定即可求解． 【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； C、延长线段到C，使得，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意； 故选：D ． 题型二 写出命题的题设与结论 2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【详解】解：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； 3．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 题型三 判断命题真假 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、全等三角形的性质、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为能被整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例. (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)等角的余角相等. 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题，反例见解析 (2)如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假； （2）分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：知，但； （2）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 题型四 举例说明假（真）命题 6．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 【详解】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题， 这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（22-23七年级下·河北沧州·期末）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（    ） A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 【答案】A 【知识点】求一个角的补角、举例说明假（真）命题 【分析】根据反证法的步骤进行判断即可． 【详解】解：令这个角为，则这个角的补角为， 根据“任何一个角的补角都不小于这个角”得 解得， 所以假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”的反例应满足， 所以B，C项错误； “两个角互为邻补角”，无法说明两个角的大小关系，故D项错误． 故选：A 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题的关键是懂得反证法的步骤和意义． 题型五 举反例 8．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、举反例 【分析】将各选项的的值代入即可求得答案． 【详解】A、，不能证明命题为假命题，该选项不符合题意； B、，能证明命题为假命题，该选项符合题意； C、，不能证明命题为假命题，该选项不符合题意； D、，不能证明命题为假命题，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题、有理数的乘方，牢记命题、真命题、假命题的定义是解题的关键． 题型六 定理与证明 9．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线、定理与证明 【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可． 【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实． 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键． 题型七 平面内两直线的位置关系 10．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列生活实例中，属于平行线的有（    ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】根据平行线的定义可知①③④⑤是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有4个， 故选D． 题型八 相交线 11．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 【答案】B 【知识点】相交线、平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查同一平面内两直线的位置关系．掌握同一平面内两直线的位置关系是相交或平行是解题的关键． 根据图形直接判定即可． 【详解】解：由图可知，直线a与b的位置关系是相交． 故选：B． 题型九 对顶角的定义 12．（23-24七年级下·河北承德·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角，根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”结合具体的图形进行判断即可． 【详解】解：对于选项A，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项A不符合题意； 对于选项B，图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项B符合题意； 对于选项C，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项C不符合题意； 对于选项D，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项D不符合题意． 故选：B． 13．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ； （2）已知，且，则的度数为 ． 【答案】 / / /度 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算： （1）根据补角和对顶角的定义求解即可； （2）先求出，再由平角的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是， 故答案为：；； （2）∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十 对顶角相等 14．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条直线相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 15．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，设，则，可得，进而可得，即可由角平分线的定义得，最后根据对顶角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型十一 垂线的定义理解 16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，已知，嘉琪发现点在同一直线上，她的理论依据是 ． 【答案】在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】垂线的定义理解 【分析】根据在平面内，过直线外一点画垂线的特征即可判断．熟记在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 【详解】已知，嘉琪发现点在同一直线上，她的理论依据是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 17．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线、相交于点，于点，且平分． (1)直接写出度数： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何角度的计算，垂直的定义，角平分线的性质，熟练掌握几何角度的计算是解题的关键； （1）根据垂直的定义，即可求解； （2）根据角平分线可得的度数，进而求解； 【详解】（1）解：， ； （2）解：平分，， ∴， ∴； 题型十二 画垂线 18．（22-23七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】根据垂线的定义可直接得出答案． 【详解】解：由垂线的定义可知，直线， 因此垂线经过的点是点C， 故选C． 【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足． 19．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．    (1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图． (2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、画垂线 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可得到答案； （2）根据垂线段最短，作即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：   ； （2）解：根据题意画出图如图所示：   ． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短以及垂线段最短是解题的关键． 题型十三 垂线段最短 20．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质．利用垂线段最短分析． 【详解】解：已知，在中，，， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当和重合时，， 则的长不可能是， 故选：A． 21．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，汽车站、码头分别位于A，B两点，直线m，n分别表示公路与河流． (1)从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由； (2)从码头B到公路m怎样走最近？画出最近路线，并说明理由； (3)在（1），（2）的基础上，比较和的大小． 【答案】(1)作图见详解，两点之间线段最短 (2)作图见详解，垂线段最短 (3) 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段、垂线段最短 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据两点之间线段最短解决问题． （2）根据垂线段最短解决问题， （3）根据直角三角形的斜边大于直角，作答即可． 【详解】（1）连接，如图， 从汽车站A到码头B沿走最近， 理由：两点之间线段最短； （2）过点B作于点C，如图， 从码头B到公路m沿走最近， 理由：垂线段最短； （3）结合（1）（2）可知：是直角三角形， ∵直角三角形的斜边大于直角， ∴． 题型十四 点到直线的距离 22．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 23．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】根据点到直线距离的定义即可得出结论．本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：∵ ∴点到的距离是线段的长度． 故答案为：． 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 24．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义、对顶角的定义，根据同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截得到的两个角，分别位于截线的同侧，被截线的同侧”求解即可． 【详解】解：由图可得，和是同位角， 故选：A． 25．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，与互为同旁内角的有 ． 【答案】、和 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同旁内角的特点，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与互为同旁内角的有，，； 故答案为：、和． 题型十六 求平行线间的距离 26．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：（厘米）． 【详解】应分两种情况： ①如图：   a与c的距离为： （厘米）． ②如图   a与c的距离为： （厘米）． 综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离． 题型十七 利用平行线间距离解决问题 27．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了点到直线的距离、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离的定义等知识点,熟记相关定义和性质是解答本题的关键．根据平行线间的距离、三角形的周长、面积以及角的定义逐项排查即可． 【详解】解：A．∵直线，点P在直线m上移动， ∴是随的运动而变化的，故A不符合题意； B．∵、的长度随点P的移动而变化， ∴的周长会随点P的移动而变化,即B不符合题意； C．∵，则点P到直线n的距离不变，的大小不变， ∴的面积不变，即C符合题意； D．以上答案都不对是错误的，即D不符合题意． 故选：C． 题型十八 用直尺、三角板画平行线 28．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行 【知识点】用直尺、三角板画平行线、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案． 【详解】解：直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行； 29．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（    ） A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条 【答案】C 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】分两种情况讨论：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，当A在直线外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 【详解】解：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条， 当A在直线外时， 同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 题型十九 平行公理的应用 30．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 31．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    【答案】见解析 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行求解即可． 【详解】解：∵长方形的硬纸片对折，是折痕， ∴，， ∴， ∴另一个面不论怎样改变位置，总有与平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行公理是解题的关键． 题型二十 同位角相等两直线平行 32．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图．将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转的最小度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数． 【详解】解：∵时，，    ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键． 题型二十一 内错角相等两直线平行 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判断，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：∵与都为直角三角板， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 34．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴________（________________） ∵（已知） ∴________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 【答案】见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型二十二 同旁内角互补两直线平行 35．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，已知相交于点，，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】对顶角相等、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据内错角相等、同旁内角互补，两直线平行判断即可． 【详解】解：A、当时，此时，则，原说法错误，不符合题意； B、当时，此时，无法证明平行，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时，则，原说法正确，符合题意 D、当时，此时，无法证明平行，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 36．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）在图中，点D在的延长线上，在不增加辅助线的前提下，增加一个条件 后，能判定． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，依据平行线的判定方法作答即可． 【详解】解：增加条件， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二十三 根据平行线的性质求角的度数 37．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点，作，过点，作，，根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：过点，作，过点，作； 根据，，， 则， ，， ， 则， ， ， ，     ； 故选：B 38．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，已知交的延长线于点． (1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系； (2)写出图中和相等的所有的角； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2) (3)； 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂直于同一直线的两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质以及等角的余角相等，即可求解； （3）根据平行线的性质结合（1）（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴， ∵， ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴图中和相等的角有 （3）∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． 题型二十四 平行线的性质在生活中的应用 39．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 40．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【知识点】平行公理推论的应用、平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 题型二十五 根据平行线判定与性质求角度 41．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的概念， 过点P作，首先由角平分线求出，然后求出，然后证明出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故选：C． 42．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 题型二十六 根据平行线判定与性质证明 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过点作，证明，可得，，再进一步解答即可. 【详解】解：如图，过点作， ， 又∵， ∴， ， ，即， ． 故选：C． 44．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：． 证明：， ； ； ∴ （同位角相等，两直线平行）； ∴ ； ∵（已知）； ∴ ； ∴（ ）； ∴（ ）． 【答案】已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由垂直的定义得出，进而可得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出，最后根据平行线的性质进而可证明． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）； ∴，（内错角相等，两直线平行）； ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 题型二十七 生活中的平移现象 45．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列现象中，属于平移的是（　　） A．传送带上物品的输送 B．教室的门打开 C．方向盘的转动 D．钟摆的运动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了平移的定义，掌握图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等是解题的关键． 根据平移的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．传送带上物品的输送，是平移，因此选项A符合题意； B．教室的门打开，是旋转，不是平移，因此选项B不符合题意； C．方向盘的转动，是旋转，不是平移，因此选项C不符合题意； D．钟摆的运动，是旋转，不是平移，因此选项D不符合题意． 故选：A． 题型二十八 图形的平移 46．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列选项的右边图形可由左边图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移的性质，根据平移前后的图形的大小，形状和方向都不发生改变即可得出结果． 【详解】解：下列选项的右边图形可由左边图形平移得到的是 故选B． 题型二十九 利用平移的性质求解 47．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． (1)画出平移后的； (2)连接、，则这两条线段之间的位置关系是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】图形的平移、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可． 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）根据平移的性质，可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．平移后的图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，连接各组对应点的线段平行（或在一条直线上）且相等。 48．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)10 (3)6 【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数； （2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积； （3）依题意得，，即，由此得，再根据平移的性质得，据此可得的长． 【详解】（1）由平移性质得：，，，，， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ； （3）的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即， ， ， 由平移的性质得：， ， ， 即的长度为6． 题型三十 平移(作图) 49．（23-24七年级下·河北沧州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是______． 【答案】(1)作图见解析 (2)平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查作图—平移变换， （1）根据平移的性质找出点、的对应点、，然后顺次连接即可； （2）由平移性质可得结论； 解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】（1）解：由题意可知向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则点到达点的位置， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度到达点的位置，点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度到达点的位置， 连接、、， 则即为所作； （2）∵平移后得到，且点D是点A的对应点，点E是点B的对应点， ∴且， ∴这两条线段之间的关系是：平行且相等． 故答案为：平行且相等． 50．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，将三角形平移得到三角形，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是________ 【答案】(1)画图见解析 (2)互补 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、两直线平行同旁内角互补 【分析】（）根据的位置，确定平移规则，找到点的位置，再连接即可； （）根据平移和平行线的性质即可求解； 本题考查了平移作图，平行线的性质，掌握平移和平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得，， ∴， ∴和的数量关系是互补， 故答案为：互补． $$专题02 相交线与平行线 （必刷50题30种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是命题（高频） 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 （高频） 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 举反例（难点） 题型六 定理与证明（重点） 题型七 平面内两直线的位置关系 题型八 相交线 （高频） 题型九 对顶角的定义 （重点） 题型十 对顶角相等 题型十一 垂线的定义理解 题型十二 画垂线（重点） 题型十三 垂线段最短 （易错） 题型十四 点到直线的距离（高频） 题型十五 同位角、内错角、同旁内角（重点） 题型十六 求平行线间的距离（高频） 题型十七 利用平行线间距离解决问题 题型十八 用直尺、三角板画平行线（易错） 题型十九 平行公理的应用（高频） 题型二十 同位角相等两直线平行 题型二十一 内错角相等两直线平行（易错） 题型二十二 同旁内角互补两直线平行（难点） 题型二十三 根据平行线的性质求角的度数 题型二十四 平行线的性质在生活中的应用 题型二十五 根据平行线判定与性质求角度 题型二十六 根据平行线判定与性质证明（重点） 题型二十七 生活中的平移现象（高频） 题型二十八 图形的平移 题型二十九 利用平移的性质求解（重点） 题型三十 平移(作图)（难点） 题型一 题型一 判断是否是命题 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？ C．延长线段到C，使得 D．对顶角相等 题型二 写出命题的题设与结论 2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 3．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 题型三 判断命题真假 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等 C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则 5．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例. (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)等角的余角相等. 题型四 举例说明假（真）命题 6．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 7．（22-23七年级下·河北沧州·期末）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（    ） A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 题型五 举反例 8．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C． D． 题型六 定理与证明 9．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 题型七 平面内两直线的位置关系 10．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列生活实例中，属于平行线的有（    ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队所在直线；④百米跑道线；⑤火车的水平铁轨直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 相交线 11．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 题型九 对顶角的定义 12．（23-24七年级下·河北承德·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ； （2）已知，且，则的度数为 ． 题型十 对顶角相等 14．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条直线相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 15．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 题型十一 垂线的定义理解 16．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，已知，嘉琪发现点在同一直线上，她的理论依据是 ． 17．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线、相交于点，于点，且平分． (1)直接写出度数： (2)求的度数． 题型十二 画垂线 18．（22-23七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 19．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．    (1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图． (2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案． 题型十三 垂线段最短 20．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 21．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，汽车站、码头分别位于A，B两点，直线m，n分别表示公路与河流． (1)从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由； (2)从码头B到公路m怎样走最近？画出最近路线，并说明理由； (3)在（1），（2）的基础上，比较和的大小． 题型十四 点到直线的距离 22．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度． 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 24．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 25．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，与互为同旁内角的有 ． 题型十六 求平行线间的距离 26．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 题型十七 利用平行线间距离解决问题 27．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ）    A．的大小 B．的周长 C．的面积 D．以上答案都不对 题型十八 用直尺、三角板画平行线 28．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 29．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（    ） A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条 题型十九 平行公理的应用 30．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 31．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    题型二十 同位角相等两直线平行 32．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图．将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转的最小度数是（   ）    A． B． C． D． 题型二十一 内错角相等两直线平行 33．（24-25七年级下·全国·单元测试）小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 34．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴________（________________） ∵（已知） ∴________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 题型二十二 同旁内角互补两直线平行 35．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，已知相交于点，，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 36．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）在图中，点D在的延长线上，在不增加辅助线的前提下，增加一个条件 后，能判定． 题型二十三 根据平行线的性质求角的度数 37．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，已知交的延长线于点． (1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系； (2)写出图中和相等的所有的角； (3)若，求和的度数． 题型二十四 平行线的性质在生活中的应用 39．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 40．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 题型二十五 根据平行线判定与性质求角度 41．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（     ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    题型二十六 根据平行线判定与性质证明 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：． 证明：， ； ； ∴ （同位角相等，两直线平行）； ∴ ； ∵（已知）； ∴ ； ∴（ ）； ∴（ ）． 题型二十七 生活中的平移现象 45．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列现象中，属于平移的是（　　） A．传送带上物品的输送 B．教室的门打开 C．方向盘的转动 D．钟摆的运动 题型二十八 图形的平移 46．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，下列选项的右边图形可由左边图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 题型二十九 利用平移的性质求解 47．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． (1)画出平移后的； (2)连接、，则这两条线段之间的位置关系是______． 48．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 题型三十 平移(作图) 49．（23-24七年级下·河北沧州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是______． 50．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，将三角形平移得到三角形，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是________ $$