清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+26题型解读）七年级数学下学期新教材冀教版

清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+26题型解读） 清单01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 清单02 对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 清单03 垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 清单04 垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 清单05 点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 清单06 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 清单07 平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 清单08 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 清单09 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 清单10 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 清单11 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 清单12 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 清单13 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 清单14 平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【考点题型一】判断是否是命题（） 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？ C．延长线段到C，使得 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，理解并掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义“判断一件事情的句子”判定即可求解． 【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； C、延长线段到C，使得，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意； 故选：D ． 【变式1-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）下列语句中：①若，则；②同位角相等吗？③画线段；④如果，，那么；⑤直角都相等。是命题的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义逐项判断即可． 【详解】②③都不是判断一件事情的语句，不是命题；①④⑤为判断一件事情的语句，是命题． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的识别，牢记命题的定义（判断一件事情的语句叫做命题）是解题的关键． 【考点题型二】举例说明假（真）命题（） 【例2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于命题“若，则．”下面四组关于的值中，能够作为反例说明这个命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例，根据反例满足条件，与结论矛盾，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为反例； B、，且，不能作为反例； C、，不能作为反例； D、，但，不满足，故可以作为反例； 故选D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）黑板上写有3个命题： ①若，则； ②若是有理数，则； ③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______； (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 【答案】(1)①，， (2)②当时，， ③当，时，与都是锐角， 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论、绝对值的意义、举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了命题的判定，掌握相关知识的运算，命题真假的判定是关键． （1）根据平方，绝对值的性质，锐角、钝角的数量关系判定即可； （2）根据命题的特点分别举出反例即可． 【详解】（1）解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：； 若是有理数，则不一定成立，是假命题； 若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题； 故答案为：①，，； （2）解：反例： ②当时，，； ③当，时，与都是锐角，． 【考点题型三】相交线（） 【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相交线 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式3-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【知识点】相交线、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故填：相交；垂直． 【考点题型四】对顶角的定义（） 【例4】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【变式4-1】.（23-24七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 【考点题型五】对顶角相等（） 【例5】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，结合，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴； 故选B． 【变式5-1】.（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉淇同学周末去公园踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔（下图），为了测量古塔底部的底角的度数，嘉淇设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数，这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查的是对顶角相等的性质，在两直线相交的前提下，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【考点题型六】垂线的定义理解（） 【例6】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（　　） A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、画垂线 【分析】此题主要考查了垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法，理解垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法是解决问题的关键．作直线交于，交于，交于，交于，根据垂直的定义，利用三角尺或量角器即可得出答案． 【详解】解：作直线交于，交于，交于，交于，如下图所示： 利用三角尺可得出直线（或利用量角器量出，，，的度数即可得出直线）． 故选：C． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线，，相交于一点，，若，则 °． 【答案】/60度 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、垂线的概念，由对顶角相等结合垂线角即可得出答案，牢记相关定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【考点题型七】垂线段最短（） 【例7】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【答案】D 【知识点】线段的和与差、垂线段最短 【分析】本题考查了线段的和差，垂线段最短，根据线段的和差和垂线段最短即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 如图，， 由图可知，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点B到点D 的摆动过程中，点A到直线的距离越来越小，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；小球从D到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点D到点C的摆动过程中，点A到直线的距离越来越大，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小； 综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短， 故选：D． 【变式7-1】.（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知：点P是直线外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接、、． (1)通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“>”连接； (2)请在直线上作出一点D，使的长度最短，并说明它的理论依据； 【答案】(1) (2)作图见解析，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了线段长度的比较、垂线段最短等知识点，理解点到直线的距离中，垂线段最短是解答本题的关键． （1）先用直尺测量、、的大小，然后再比较即可解答； （2）过点作，垂足为，则最短． 【详解】（1）解：通过测量可知，， 故； （2）解：过点P作于D点，则D点即可所求， 理论依据：垂线段最短． 【考点题型八】同位角、内错角、同旁内角（） 【例8】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）下列各图中，不是同位角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键， 在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角． 根据同位角的定义逐一判断，解决此题． 【详解】解：A．，是同位角，A故不合题意； B．，是同位角，故B不合题意； C．，是同位角，故C符合题意； D．，不是同位角，故D不合题意． 故选：C． 【变式8-1】.（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图：和是 角；和是 角． 【答案】 内错 同位 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角的定义，熟练掌握同位角、内错角的定义是解答本题的关键． 根据同位角、内错角的定义解答即可． 【详解】解：和是内错角，和是同位角， 故答案为：内错，同位． 【考点题型九】求平行线间的距离（） 【例9】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（    ） A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：D． 【变式9-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是 （填序号）．      【答案】①③/③① 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴③的面积不会随点的移动而变化； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 【考点题型十】利用平行线间距离解决问题（） 【例10】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，甲、乙两只蚂蚁在两条平行马路同一侧的，两点处，比赛看谁先横过马路．如果它们同时出发，速度一样，都走最近的道路，结果是 ，依据是 ． 【答案】 同时到达 平行线间的距离处处相等 【知识点】垂线段最短、利用平行线间距离解决问题 【分析】根据垂线段最短，以及平行线间的距离处处相等，进行作答即可． 【详解】解：∵点到直线之间，垂线段最短， ∴两只蚂蚁走的都是垂线段， ∵平行线间的距离处处相等，它们同时出发，速度一样， ∴它们同时到达； 故答案为：同时到达，平行线间的距离处处相等． 【点睛】本题考查平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离处处相等，是解题的关键． 【变式10-1】.（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键． 【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于5， 故选：D． 【考点题型十一】平行公理的应用（） 【例11】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可求解，理解并熟记平行公理是解题的关键． 【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：． 【变式11-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的公理，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，注意要分情况进行讨论，熟记平行线公理，分情况进行讨论是解题关键． 根据点在直线上与不在直线上两种情况进行讨论求解． 【详解】解：①若点在直线上，则不能作出的平行线， ②若点不在直线上，则有且只有一条直线与平行， 所以不能确定． 故选：D． 【考点题型十二】同位角相等两直线平行（） 【例12】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式12-1】.（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图所示，点D、E、F分别是上的点，请添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：可添加：（答案不唯一）． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 【考点题型十三】内错角相等两直线平行（） 【例13】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，过直线l外一点A作直线l的平行线，其直接依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据图形，可以发现直线l和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，本题得以解决． 【详解】解：由图可知，直线l和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行， 故选：B． 【变式13-1】.（23-24七年级下·河北张家口·期中）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点是上一点，且，求证：． 证明：（已知）． _______（    ） ______． ．（    ）． ______（______）． ∴______（    ）． 【答案】，垂直的定义，，已知，，同角的余角相等， ，内错角相等，两直线平行； 【知识点】内错角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】证明：（已知）． （垂直的定义） ． ．（已知）． （同角的余角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【考点题型十四】同旁内角互补两直线平行（） 【例14】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 【变式14-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：， ，故①不能判定； ， ，故②能判定； ， ，故③不能判定； ， ，故④不能判定； 综上所述可判断的只有②， 故选：C． 【考点题型十五】两直线平行同位角相等（） 【例15】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平角的定义及平行线的性质的应用，根据“两直线平行，同位角相等”得出的度数是解此题的关键． 先根据直角与平角的定义求得的度数，然后再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】如图． ∵直角三角板的直角与组成一个平角， ∴，又 ∴． ∴（两直线平行，同位角相等） 故选：C． 【变式15-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【知识点】两直线平行同位角相等、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【考点题型十六】两直线平行内错角相等（） 【例16】（23-24七年级下·河北保定·期末）在作业纸上，，点在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两位同学提供了如下间接测量方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（    ） 方案Ⅰ： ①分别测量和 ②计算出的大小即可 方案Ⅱ： ①延长交于点 ②测量的大小即可 A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，添加适当的辅助线，根据平行线的性质判断即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，过    作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 如图，延长交于， ∵， ∴， ∴方案Ⅱ可行； 故选：C． 【变式16-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇同学对“任意一个三角形的内角和一定等于”说理，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来说理．请你完成以下说理过程． 如图，已知：．请对说明理由． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键． 【详解】证明：过点A作，如图所示． ∵， ∴，， ∵， ∴． 【考点题型十七】两直线平行同旁内角互补（） 【例17】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行直线的性质，两直线平行，同位角相对；两直线平行，同旁内角互补，先根据，求出，在根据，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式17-1】.（23-24七年级下·河北邢台·期中）问题情境：已知，，平分交于点． 探究（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，，，当时，求的度数； 【答案】（1），见解析；（2） 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质与判定 （1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论； 【详解】解：（1）． 理由如下：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【考点题型十八】平行公理推论的应用（） 【例18】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【答案】D 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是平行线公理及推论，牢记平行公理是关键，根据平行公理及垂直的性质直接判断即可． 【详解】解：已知直线l，在同一平面内， 与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误； 经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误； 若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确； 故选：D． 【变式18-1】.（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 【答案】/度 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，过作，根据平行线的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：过作，由题意可得，， ∵，， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 故答案为：． 【考点题型十九】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例19】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，若直线，，α，β是两个角的度数，保持直线与的位置关系，将α的值增大，则β的值(    ) A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过C点作，利用平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：过C点作， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴β随α增大而增大， 的值增大，则β的值增大． 故选：A． 【变式19-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)如图1，当P点在的左侧时，若，，则 ； (2)如图2，当P点在的右侧时，猜想，满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点Q，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键． （1）过点作，证，则，，从而得，再根据，可得的度数； （2）过点作，证，则，，从而得，由此可得，，满足的数量关系； （3）由（2）可知，由得，由角平分线定义得，由（1）得，再由角平分线定义得，则，同理：，…，以此类推：，据此可得 的度数． 【详解】（1）过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：． （2），，满足的数量关系是：，理由如下： 过点P作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴， 由（1）可知：， ∵，分别平分，， ∴， ∴， 同理：， …，以此类推：， ∴． 【考点题型二十】平行线的性质在生活中的应用（） 【例20】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式20-1】.（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 【考点题型二十一】根据平行线判定与性质求角度（） 【例21】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，于点，于点，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据得，根据，得，推出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：B 【变式21-1】.（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，，与分别与交于点G和点D，与交于点N，．若平分，，求的度数． 解：，， 　　． 　　． ， ， 　　． 　　， 平分， 　　． ， ， 　　， ， 　　． 　　 【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；150；角平分线定义；105；105；两直线平行，同位角相等 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 结合角平分线定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：，， 等量代换． 同位角相等，两直线平行． ， ，两直线平行，同旁内角互补． ， 平分， 角平分线定义． ， ， ， ， ．两直线平行，同位角相等 【考点题型二十二】根据平行线判定与性质证明（） 【例22】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定．根据，可得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式22-1】.（23-24七年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题． (1)嘉嘉认为是真命题，并作出图1，，，与交于点G．根据嘉嘉的作图，求证：； (2)淇淇对嘉嘉的判断提出质疑，认为该命题是假命题，并作出图2，其他条件与（1）相同，得到，根据淇淇的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质； （1）根据平行线的性质得， ，即可求出； （2）根据平行线的性质得，，即可求出． 【详解】（1）证明： ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解： 理由： ∴ ∵ ∴ ∴ 【考点题型二十三】生活中的平移现象 【例23】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日开幕，会徽标志如下图所示，以下通过平移这个标志能得到的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查的是平移的性质，直接利用平移的性质可得答案． 【详解】解：A、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； B、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； C、能通过平移这个标志能得到，该选项符合题意； D、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式23-1】.（21-22七年级下·河北承德·期中）下列情形中，不属于平移的有(    ) A．钟表的指针转动 B．电梯上人的升降 C．火车在笔直的铁轨上行驶 D．农村辘轳上水桶的升降 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】平移的两个要素：平移的方向与平移的距离，利用平移的两要素来判断即可． 【详解】解：A、钟表指针的转动，是围绕一个点旋转，不是平移现象，故本选项符合题意； B、电梯中人的升降是平移，故本选项不符合题意； C、火车在笔直的铁轨上行驶是平移，故本选项不符合题意； D、农村辘轳上水桶的升降是平移，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查平移的定义，解题关键就是了解平移的两要素：方向和距离． 【考点题型二十四】图形的平移（） 【例24】47．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，下列线段可以由线段经过平移得到的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，平移后只是位置发生变化，形状，大小，方向都不发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，只有线段可以由线段经过平移得到； 故选D． 【变式24-1】（21-22七年级下·河北唐山·期末）如图，中任意一点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到． (1)请直接写出的坐标； (2)回答与的大小、形状和位置有什么关系？ 【答案】(1) (2)与的大小、形状完全相同，它可以看成是将向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到的 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据题意“中任意一点经过平移后对应点为”，可知平移的规律：向右平移5个单位，再向上平移2个单位，根据平移规律，即可得出平移后点的坐标； （2）根据平移的性质和题意，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中任意一点经过平移后对应点为， ∴平移规律为：向右平移5个单位，再向上平移2个单位， 又∵，，， ∴，，． （2）解：与的大小、形状完全相同，它可以看成是将向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到的． 【点睛】本题考查了平移的性质、图形的平移，解本题的关键在熟练掌握平移性质以及点的坐标的平移规律．平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；（3）对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等． 【考点题型二十五】利用平移的性质求解（） 【例25】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式25-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平移的性质、平行线的性质，根据对顶角相等、垂直定义及平行线的性质、角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平移直线a到直线d的位置， ∴, ∴， 故答案为：． 【考点题型二十六】利用平移解决实际问题（） 【例26】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 平方米．    【答案】48 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键． 根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故答案为：48． 【变式26-1】.（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了图形的平移，通过平移，两块绿地可以拼成一个新长方形，求出新长方形的长和宽即可求解，掌握图形的平移变换是解题的关键． 【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新长方形，新长方形的长为，宽为， 故绿地的面积为：， 故选：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 相交线与平行线 （14个考点梳理+26题型解读） 清单01 相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 清单02 对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 清单03 垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 清单04 垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 清单05 点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 清单06 同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 清单07 平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 清单08 平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 清单09 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 清单10 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 清单11 平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 清单12 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 清单13 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 清单14 平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【考点题型一】判断是否是命题（） 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？ C．延长线段到C，使得 D．对顶角相等 【变式1-1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）下列语句中：①若，则；②同位角相等吗？③画线段；④如果，，那么；⑤直角都相等。是命题的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型二】举例说明假（真）命题（） 【例2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于命题“若，则．”下面四组关于的值中，能够作为反例说明这个命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）黑板上写有3个命题： ①若，则； ②若是有理数，则； ③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______； (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 【考点题型三】相交线（） 【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【考点题型四】对顶角的定义（） 【例4】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【变式4-1】.（23-24七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【考点题型五】对顶角相等（） 【例5】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉淇同学周末去公园踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔（下图），为了测量古塔底部的底角的度数，嘉淇设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数，这个测量方案的依据是 ． 【考点题型六】垂线的定义理解（） 【例6】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（　　） A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P 【变式6-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线，，相交于一点，，若，则 °． 【考点题型七】垂线段最短（） 【例7】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【变式7-1】.（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知：点P是直线外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接、、． (1)通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“>”连接； (2)请在直线上作出一点D，使的长度最短，并说明它的理论依据； 【考点题型八】同位角、内错角、同旁内角（） 【例8】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）下列各图中，不是同位角的是（   ） A．B．C． D． 【变式8-1】.（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图：和是 角；和是 角． 【考点题型九】求平行线间的距离（） 【例9】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（    ） A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对 【变式9-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是 （填序号）．      【考点题型十】利用平行线间距离解决问题（） 【例10】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，甲、乙两只蚂蚁在两条平行马路同一侧的，两点处，比赛看谁先横过马路．如果它们同时出发，速度一样，都走最近的道路，结果是 ，依据是 ． 【变式10-1】.（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【考点题型十一】平行公理的应用（） 【例11】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式11-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 【考点题型十二】同位角相等两直线平行（） 【例12】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】.（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图所示，点D、E、F分别是上的点，请添加一个条件 ，使． 【考点题型十三】内错角相等两直线平行（） 【例13】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，过直线l外一点A作直线l的平行线，其直接依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【变式13-1】.（23-24七年级下·河北张家口·期中）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点是上一点，且，求证：． 证明：（已知）． _______（    ） ______． ．（    ）． ______（______）． ∴______（    ）． 【考点题型十四】同旁内角互补两直线平行（） 【例14】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型十五】两直线平行同位角相等（） 【例15】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【考点题型十六】两直线平行内错角相等（） 【例16】（23-24七年级下·河北保定·期末）在作业纸上，，点在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两位同学提供了如下间接测量方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是（    ） 方案Ⅰ： ①分别测量和 ②计算出的大小即可 方案Ⅱ： ①延长交于点 ②测量的大小即可 A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【变式16-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇同学对“任意一个三角形的内角和一定等于”说理，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来说理．请你完成以下说理过程． 如图，已知：．请对说明理由． 【考点题型十七】两直线平行同旁内角互补（） 【例17】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式17-1】.（23-24七年级下·河北邢台·期中）问题情境：已知，，平分交于点． 探究（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，，，当时，求的度数； 【考点题型十八】平行公理推论的应用（） 【例18】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【变式18-1】.（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 【考点题型十九】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例19】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，若直线，，α，β是两个角的度数，保持直线与的位置关系，将α的值增大，则β的值(    ) A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【变式19-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)如图1，当P点在的左侧时，若，，则 ； (2)如图2，当P点在的右侧时，猜想，满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点Q，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数． 【考点题型二十】平行线的性质在生活中的应用（） 【例20】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】.（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【考点题型二十一】根据平行线判定与性质求角度（） 【例21】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，于点，于点，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式21-1】.（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，，与分别与交于点G和点D，与交于点N，．若平分，，求的度数． 解：，， 　　． 　　． ， ， 　　． 　　， 平分， 　　． ， ， 　　， ， 　　． 　　 【考点题型二十二】根据平行线判定与性质证明（） 【例22】（23-24七年级下·河北承德·期末）如图，已知，，求证：． 【变式22-1】.（23-24七年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题． (1)嘉嘉认为是真命题，并作出图1，，，与交于点G．根据嘉嘉的作图，求证：； (2)淇淇对嘉嘉的判断提出质疑，认为该命题是假命题，并作出图2，其他条件与（1）相同，得到，根据淇淇的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． 【考点题型二十三】生活中的平移现象 【例23】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日开幕，会徽标志如下图所示，以下通过平移这个标志能得到的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式23-1】.（21-22七年级下·河北承德·期中）下列情形中，不属于平移的有(    ) A．钟表的指针转动 B．电梯上人的升降 C．火车在笔直的铁轨上行驶 D．农村辘轳上水桶的升降 【考点题型二十四】图形的平移（） 【例24】47．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，下列线段可以由线段经过平移得到的是（    ）    A． B． C． D． 【变式24-1】（21-22七年级下·河北唐山·期末）如图，中任意一点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到． (1)请直接写出的坐标； (2)回答与的大小、形状和位置有什么关系？ 【考点题型二十五】利用平移的性质求解（） 【例25】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式25-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 【考点题型二十六】利用平移解决实际问题（） 【例26】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 平方米．    【变式26-1】.（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$