精品解析：山东省济宁市第七中学（五四制）2024-2025学年八年级上学期第一次学情检测数学试题

初三年级数学学科10月学情评估 一、选择题 1. 在中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 能使分式的值为零的所有x的值是(　　) A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝1或x＝﹣1 D. x＝2或x＝1 4. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱我中华 B. 我游中华 C. 中华美 D. 我爱美 7. 若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 8. 已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 已知长方形的周长为cm，它两邻边长分别为cm，cm，且满足，则该长方形的面积为（ ）cm2． A. B. C. D. 10. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 若分式方程有增根，则m＝__________． 13. 若=2，则=_____ 14. 已知两个不等于0的实数a，b满足，则的值为________． 15. 对于两个不相等的有理数我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为_____________． 三、解答题 16. 分解因式： （1） （2）． 17. 计算： （1） （2） 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，再选一个合适的数x代入求值． 20. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第8个等式：____________． （2）写出你猜想的第n个等式：____________(用含有n的等式表示），并证明这个等式． 21. 阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边，，满足，判断的形状 22. 若关于x的分式方程=2a无解，求a的值． 23. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科10月学情评估 一、选择题 1. 在中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质分析判断即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】 在中，是分式的有是分式，共3个， 故选C 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”分析判断即可． 【详解】解：A.等号右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； B. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； C. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； D.符合因式分解的定义，因此该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 3. 能使分式的值为零的所有x的值是(　　) A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝1或x＝﹣1 D. x＝2或x＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构成不等式组求解即可． 【详解】由题意可知： 解得x=-1. 故选B. 【点睛】此题主要考查了分式的值为0的条件，利用分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构造不等式组求解是解题关键． 4. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变，解决即可． 【详解】、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形正确，符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 6. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱我中华 B. 我游中华 C. 中华美 D. 我爱美 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 2，，，对应的汉字分别为：爱、我、中、华， 呈现的密码信息可能是“爱我中华”， 故选A． 7. 若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 【答案】B 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解． 【详解】解： = = = =1； 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键． 8. 已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先求出分式方程的解，再根据解是整数，得到，最后根据分母不为0，得到，即可得到k的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：， ， 分式方程的解是正数， ， ， ，， 且， ， 且， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键． 9. 已知长方形的周长为cm，它两邻边长分别为cm，cm，且满足，则该长方形的面积为（ ）cm2． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由长方形的周长可以求出①，再利用完全平方公式可以得出②，联立①②，解方程组即可得出x，y的值，最后求长方形的面积即可得出结论； 【详解】解：∵长方形的周长为cm， ， ①， ， ， ， ②， 联立①②，得， 解得：， ∴长方形的面积（cm2）， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式，解二元一次方程组，本题的关键是把看作一个整体，进行因式分解． 10. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程． 【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 若分式方程有增根，则m＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，检验增根的方法是：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根．根据解分式方程的步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解： 去分母得， 解得： ∵方程有增根， ∴ 解得：， 故答案为：． 13. 若=2，则=_____ 【答案】 【解析】 【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】=2，得x+y=2xy 则==， 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想． 14. 已知两个不等于0的实数a，b满足，则的值为________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据两个不等于0的实数，满足，可以得到，然后即可得到，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：两个不等于0的实数，满足， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确和的关系． 15. 对于两个不相等的有理数我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论与的大小情况，利用题中的新定义得出对应方程，求解即可． 【详解】解：（1）当时，方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）当时，方程整理得：， 去分母到：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解分式方程，关键在于理解把新定义方程转化为对应的分式方程，分情况讨论注意要验根，避免增根． 三、解答题 16. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）根据整式乘法先展开，利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】此题考查了提公因式发与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减法则进行计算即可； （2）先算括号里的，根据除法法则把除法变乘法，利用完全平方公式将分母因式分解，最后约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式的加减法则的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案； （2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案． 【小问1详解】 去分母：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 去分母：， 解得：， 经检验：是增根，舍去， ∴原方程无解． 【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根． 19. 先化简，再求值：，再选一个合适的数x代入求值． 【答案】；时，原式． 【解析】 【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为1，，2，取，把代入化简后的结果，即可求出答案． 【详解】解： ， 要使分式有意义，则， 即x不能为1，，2， 取， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第8个等式：____________． （2）写出你猜想的第n个等式：____________(用含有n的等式表示），并证明这个等式． 【答案】（1）； （2）第n个等式是， ， ∴等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第8个等式； （2）第n个等式是，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：（1）根据前面的规律，第8个等式是：； （2）略 【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法． 21. 阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边，，满足，判断的形状 【答案】（1） （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）首先将三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定．正确分组分解因式是解题关键． 22. 若关于x的分式方程=2a无解，求a的值． 【答案】a的值为：1或 【解析】 【分析】直接解分式方程，再根据1−2a＝0时；1−2a≠0，x==3时，分别得出答案． 【详解】去分母得：x﹣3a=2a（x﹣3）， 整理得：（1﹣2a）x=﹣3a， 当1﹣2a=0时，方程无解，故a=； 当1﹣2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1， 故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤并分类讨论是解题关键． 23. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $