精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2024～2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期初三年级数学练习四 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额元，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 如图，直线， 相交于点O，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数， ）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 正十边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边 中，点D是 ．边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边 ， 交交于F，给出如下三个结论： ①；②；③；④ 上述结论一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为________． 12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13. 某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下： 水果产量 果树棵数 根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____． 14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____． 15. 如图，是 的弦， 是 的直径， 于点E．在下列结论中，正确的是________． ①；②；③；④；⑤． 16. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完________个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序________． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 15 15 60 90 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了 ，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上， ，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数 的值，直接写出m的取值范围． 23. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息． a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图： b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数： 蔬菜价格 众数 中位数 西红柿（元/千克） 6 m 黄瓜（元/千克） n 6 根据以上信息，回答下列问题： （1） ________，_________； （2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定； （3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高． 24. 如图， 为 的直径，C为 上一点，D为弧 的中点，交 的延长线于点E． （1）求证：直线为 的切线； （2）延长 交于点F．若 ，，求 的长． 25. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为要求清洗后的清洁度为 方案一：采用一次清洗方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： C 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； 结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为________个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约________个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量最少为________为个单位质量，清洗后的清洁度C可以达到（结果保留一位有效数字） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 27. 如图， 为等边三角形，以C为旋转中心，将射线 顺时针旋转角度，点B与点E关于直线对称，连接，， ，且， 分别交射线于点D，F． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段， ，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“非常距离”为，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值； （2）已知是直线上的一个动点， ①如图2，若，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标； ②如图3，若是以原点为圆心，为半径的圆上的一个动点，点与点的“非常距离”的最小值为，直接写出点的坐标和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期初三年级数学练习四 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额元，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意． 故选：D． 3. 如图，直线 ，相交于点O，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，以及角的和差，数形结合是解答本题的关键．根据对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵与 是对顶角， ， ， ， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数， ）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k的值的就在反比例函数图象上，反之则不在． 【详解】解：∵点在反比例函数， ∴， A．在x轴上，而反比例函数图象与坐标轴没有交点，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定． 【详解】解：A、若，则，故不合题意； B、若，则，故符合题意； C、若，则，故不合题意； D、若，则，故不合题意， 故选：B． 6. 正十边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：正十边形的内角和为 ． 故选C． 7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故选：B． 8. 如图，等边 中，点D是．边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边 ，交 交于F，给出如下三个结论： ①；②；③；④ 上述结论一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据是等边三角形，得出，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；证明，即可判断②；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断③；根据题意得出当点重合时，最大，此时，当时，最小，即可判断④； 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ， 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故③错误； 当点重合时，最大，此时， 当时，最小， 此时， ， ， ， ∵点是边上一点（不与点，点重合）， ∴，故④正确； 故选：B． 【点晴】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解． 先观察多项式，发现各项都含有公因式提取公因式后得到再观察括号内的式子它符合平方差公式的形式，其中进而分解得到最终结果． 【详解】解： 故答案为： ． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程，然后检验即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式大于0，即可求解本题． 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 13. 某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下： 水果产量 果树棵数 根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用乘以水果产量不低于千克的果树的百分比即可求解． 【详解】解：估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为（棵）． 故答案为： ． 14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 15. 如图， 是的弦，是的直径， 于点E．在下列结论中，正确的是________． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键，根据垂径定理，圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可以得到，故①正确； ∵是的直径， ∴，故②正确； ∵， ， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ， 不能判断，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 16. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完________个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序________． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 15 15 60 90 【答案】 ①. 5 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15分钟）和（15 分钟），（30 分钟），（60 分钟）， （60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完五个展馆． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观 展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 或者先参观展馆共30分钟，正好去参观展馆 30 分钟，正好去参观 展馆60 分钟，正好去参观展馆60 分钟，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 则若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，最合理的参观顺序是或， 故答案为：或． 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，5 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式= = = =， ∵， ∴． ∴原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，并运用整体思想代入计算是解题的关键． 20. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了 ，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合， 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得： ， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】略 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上， ，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）证明，进而得到 ，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数 的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由两点坐标待定系数法求得一次函数解析式，再令即可求得点横坐标； （2）根据题意列出不等式，再求出使不等式成立时的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得 ， ∴该一次函数的表达式为， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：当时，， 化简得：， ∵时，不等式要一直成立， ∴要小于的最小值， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数和不等式的关系，掌握不等式的解集范围是解题关键． 23. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息． a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图： b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数： 蔬菜价格 众数 中位数 西红柿（元/千克） 6 m 黄瓜（元/千克） n 6 根据以上信息，回答下列问题： （1） ________， _________； （2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定； （3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高． 【答案】（1） ， （2）西红柿 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据中位线和众数的定义求解即可； （2）根据图中折线的起伏程度即可得到答案； （3）根据题意可知价格最低的月份即是产量最高的月份，由此结合统计图即可得到答案． 【小问1详解】 解：把西红柿这8个月的价格从低到高排列为5，6，6，6，7，8，9，10，处在最中间的两个数分别为6，7， ∴ ； ∵黄瓜价格中，价格为6元出现了三次，出现的次数最多， ∴； 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，西红柿的价格起伏比较小，黄瓜价格的起伏比较大， ∴西红柿的价格相对更加稳定， 故答案为；西红柿； 【小问3详解】 解：∵这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低， ∴价格最低的月份即是产量最高的月份， 由折线统计图可知在6月份的时候，两种蔬菜的价格都最低， ∴推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求中位线和众数，折线统计图，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 如图， 为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线为的切线； （2）延长 交于点F．若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵ 为的直径， ∴ ，即 ∵， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴ ， ∵是半径， ∴直线为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连，，证明，由垂径定理得出，得出 ，由切线的判定可得出答案； （2）根据锐角三角函数求出 ，根据平行线的性质得出 ，根据锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得： ， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键． 25. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为要求清洗后的清洁度为 方案一：采用一次清洗方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： C 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； 结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为________个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约________个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量最少为________为个单位质量，清洗后的清洁度C可以达到（结果保留一位有效数字） 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． （Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过 个单位质量，则清洗后的清洁度能达到，再根据图象解答即可． 【详解】解：（Ⅰ）表格如下： C √ √ √ √ √ √ √ √ √ （Ⅱ）函数图象如下： 由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小， 故答案为：4； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为个单位质量，，即可节水约个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过 个单位质量，则第一次用水量为6个单位质量，总用水量最少为 个单位质量，则清洗后的清洁度C可以达到， 故答案为： ． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，转化成顶点式即可求解； （2）分和两种情况，结合二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； ①当时，和都在对称轴右侧，此时随的增大而增大， ， ， 此时， ， 又 ∵， ； ②当时，在对称轴右侧，在对称轴左侧， 此时，与矛盾，故不符合题意， 综上，． 27. 如图，为等边三角形，以C为旋转中心，将射线顺时针旋转角度，点B与点E关于直线对称，连接 ，，，且，分别交射线于点D，F． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解 （2） （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）利用对称求解； （3）连接，在上截取，连接 ，证明，推出，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形． 【小问2详解】 解：∵点B与点E关于直线对称， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：猜想：． 证明：连接，在上截取，连接 ． 由（2）可知． ， ∴ 是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵点与点 关于直线对称， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作图，轴对称变换，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“非常距离”为，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值； （2）已知是直线上的一个动点， ①如图2，若，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标； ②如图3，若 是以原点为圆心，为半径的圆上的一个动点，点与点 的“非常距离”的最小值为，直接写出点 的坐标和的值． 【答案】（1）①点的坐标是或；②3 （2）①；②点E的坐标为或，的值为或 【解析】 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为 ，由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得的值； ②设点的坐标为．因为，所以点与点的“非常距离”最小值为3； （2）①设点的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点的坐标； ②根据“非常距离”的定义，点 在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点 的“非常距离”是，分点E在第一象限和第三象限，画出示意图，解直角三角形求出 的坐标，进而得到点C的坐标，即可求出b值． 【小问1详解】 解：①∵为轴上的一个动点，点， ∴设点的坐标为 ， ， ∴， 解得：或 ； ∴点的坐标是或； ②设点的坐标为， ，， ∴当时，点与点的“非常距离”为； 当时，点与点的“非常距离”为； ∴点与点的“非常距离”的最小值为； 【小问2详解】 解：①若，则直线， 如图，当点与点的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义，若，则点与点的“非常距离”为，此时．即， ∵是直线上的一个动点，点的坐标是， ∴设点的坐标为， ， 此时， ， ∴点与点的“非常距离”的最小值为：， 此时； ②根据题意，当点 在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点 的“非常距离”最小值为， 分别过点C作轴的垂线，过点E作轴的垂线，交于点F，过 作轴，连接 ，并延长交于点G，设与轴交于， 如图，当点E在第一象限时， 对于，当时， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ∴， ∵点与点 的“非常距离”最小值为， ∴， ∴，即， 将代入，则， 解得：； 同理，当点E在第三象限时， 由对称的性质得：， ∵点与点 的“非常距离”最小值为， ∴， ∴，即， 将代入，则， 解得：； 综上，点E的坐标为或，的值为或． 【点睛】本题考查了新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解直角三角形等知识，读懂“非常距离”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $