精品解析：江西省九江市2025届高三第二次高考模拟统一考试数学试题

九江市2025年第二次高考模拟统一考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 4. 植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（ ） A. B. 变量与的相关系数 C. 在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 5. 已知点在椭圆上，点在圆上.若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数对任意的，都有，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最小正周期为 10. 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 11. 如图，三棱锥中，平面，为其表面上一点，与四个顶点的距离分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点不存在 B. 若，则点存在且唯一 C. 若，则的最小值为1 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中第4项的系数是__________. 13. 如图，已知抛物线的焦点为为上两点，轴，为正三角形，则__________. 14. 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的外接球半径为，求二面角的余弦值. 17. 如图，中，角所对的边分别为为边上一点，，记. （1）若，求证：； （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 19. 在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. （1）求曲线的方程并确定点的位置； （2）点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2025年第二次高考模拟统一考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性结合充分不必要条件判断即可. 【详解】由得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法及共轭复数概念和虚部的概念得到答案. 【详解】的虚部为， 故选：C. 3. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B. 4. 植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（ ） A. B. 变量与的相关系数 C. 在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中心在方程上可求解A，进而可判断B，根据回归方程的含义即可求解CD. 【详解】由线性回归方程过样本中心点知，，故A错误； 小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数，故B错误； 由线性回归方程可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正确； 若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误. 故选：C. 5. 已知点在椭圆上，点在圆上.若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，由椭圆的性质结合椭圆中的关系和离心率的定义计算即可. 【详解】 ， ， ，， 所以，. 故选：D. 6. 已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期得出，再根据函数单调性得出函数值即可. 【详解】， 且在[0，1]上单调递减，因为，所以， 故选:B. 7. 已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，由此确定正三棱柱底面边长. 求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的关系得到，再在直角三角形中求，进而得出球心到平面距离. 根据勾股定理求截面圆半径，再用圆面积公式得截面圆面积. 用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值. 【详解】如图，设球的半径为球与正三棱柱的各个面均相切 正三棱柱的高为，底面边长为. 设正三棱柱上，下底面的中心分别是是的中点，连接交于， 则到平面的距离 .又. 所得截面圆半径， 故选：A. 8. 窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将曲线放入平面直角坐标系中，确定的坐标，再利用判别式法求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可. 【详解】如图，设为原点，我们可以把放入平面直角坐标系中， 连接，再利用曲线的对称性，我们不妨设， 因为，所以， 我们把视为以为主元的一元二次方程， 故，解得， 即，代入，解得，此时， 此时由两点间距离公式得，故D正确. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数对任意的，都有，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最小正周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据最小值求得，判定A；利用两角和余弦公式和余弦函数的单调性研究，从而判定B；利用余弦函数的奇偶性判定C；利用二倍角余弦公式化简，利用余弦函数的周期性分析，得到周期，从而判定D. 【详解】依题意知，是的最小值，故，解得，故A正确； 由，得. 由，得在[上单调递增， 在上单调递增，故B错误； 为偶函数，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由递推关系构造数列，即可证明；对B：根据A中证，求得，再利用逐差法即可求得；对C，先求得，再求得，再根据其通项公式，判断其单调性即可；对D：利用作差法判断的大小，再根据C中所求的单调性，即可判断. 【详解】对A：由，得，且， 故是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 对B：由上可知，， 即，故是等比数列，B正确； 对C：设的前项积为的前项和为， 当时，；当时，单调递减， 而，，故C错误； 对D：当时，，，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，三棱锥中，平面，为其表面上一点，与四个顶点的距离分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点不存在 B. 若，则点存在且唯一 C. 若，则的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A若存在则必在过的外心且与平面垂直的直线上，再分类讨论；B找出线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点即可；C根据可得的轨迹在空间中为椭球面，判断在椭球内，在椭球外，则可知椭球面与的交点处取最小值；D建立空间坐标系，分点平面或平面两种情况求最小值. 【详解】设的外心为，因， 则若点存在，则必在过且与平面垂直的直线上， 而该直线与三棱锥表面交于点， 当重合时，，不满足题意； 当重合时，，不满足题意. 故点不存在，故A正确； 因，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，有两个点，故B错误； 若点在面上，， 故点在以为焦点，为长轴长的椭圆上，即. 而，故点在椭圆内， 在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点都， 而，故点在椭球面外， 因此与椭球面必有交点， 根据两点之间线段距离最短，故的最小值为1，故C正确； 如图建立空间直角坐标系，则， 设，则. ①若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，则，，此时， 当且仅当时取等号； ②若点平面，平面的法向量为， 由得，且，消去整理得 因， 则， 当且仅当时取等号. 综上，，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中第4项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项中令可得. 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中第4项系数是. 故答案为：. 13. 如图，已知抛物线的焦点为为上两点，轴，为正三角形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程可得，即可利用焦点弦公式求解，或者利用抛物线焦半径的公式求解. 【详解】延长交抛物线于点. 解法一：由题意得， 则直线， 联立方程组整理得， 解得. ， . 解法二：， 由抛物线的对称性得， . 故答案为：2 14. 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解. 解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解. 解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答. 【详解】解法一：. ， 的零点等价于函数的零点. 又函数定义域为，且 是上的奇函数， 只需要考虑在上有一个零点即可. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减，的值域是. 当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意； 当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意； 当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使. 当时，，此时在上单调递增，，； 当时，，此时在上单调递减； 又，，， ，在上存在唯一零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 解法二：，是的一个零点. 当时，由，得，令，. 函数定义域为， 为上偶函数. 则问题转化为直线与函数的图象在上有一个交点. 由，可得，设， 则.在上单调递增， 则，即当时， ， 在上单调递减. 又，，在上的值域为， 故，即，故实数的取值范围是. 解法三：令，得，设.，. 函数的定义域为，且； 函数的定义域为，且， 与都是上的奇函数， 则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 又函数在上单调递增，. 又，，在单调递减， 又，作出函数与直线的图象， ，即，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 【答案】（1）丙投篮水平较高，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据独立事件的概率公式可得出关于、、的方程组，解出这三个概率的值，比较大小后可得出结论； （2）记组投中次数为，组投中次数为，由（1）知，，若组获胜，则，或，或，，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得组获胜的概率. 【小问1详解】 丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得，解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. 【小问2详解】 记组投中次数为，组投中次数为， 由（1）知，， 若组获胜，则，或，或，， 所以，， ， . 故组获胜的概率为 . 16. 如图，在三棱锥中，平面平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的外接球半径为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：过点作，垂足为 平面平面，平面平面平面， 又平面 平面平面. 又平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，先由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，又平面， 三棱锥的外接球球心为中点， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ， . 设平面的一个法向量为， 则 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 则 故二面角的余弦值为. 17. 如图，中，角所对的边分别为为边上一点，，记. （1）若，求证：； （2）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理可求解； （2）利用正弦定理求解. 【小问1详解】 ，又为等腰直角三角形， ， 在中，由余弦定理得， 又 . 【小问2详解】 ， 又 在中，由正弦定理，得， 即 即 ， ， 解得， 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由定义域及的图象关于直线对称可求，进而，解方程可得到； （3）构造函数，利用导数研究的单调性，利用分类讨论的方法即可. 【小问1详解】 当时，，得 曲线在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. 【小问3详解】 设，则. 在上单调递增，对任意的恒成立， 即，且. ①当时，，即在上单调递增，.由，得. ②当时，当时，单调递减；当时，单调递增， 设， 易知在上单调递减. 存在唯一的，使. 当时，单调递增，；当时，单调递减 存在唯一的，使. 令，解得 由①②，得的取值集合为. 19. 在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. （1）求曲线的方程并确定点的位置； （2）点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 【答案】（1），点为坐标原点 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）（i）由题意易得，，进而得到是首项为1，公比为的等比数列，进而求和即可； （ii）先求出直线的方程为，，，可得直线的方程为，进而求证即可. 【小问1详解】 依题意，得即 ，故曲线方程为. 点在曲线上，，故曲线方程为 由对称性可知，点为坐标原点 【小问2详解】 （i）依题意，得， 得①， 又直线的斜率为2且， ②. 将②代入①中，得③， 将②和③相加，得， 从而是首项为1，公比为的等比数列， . （ii）点在定直线上. 证明如下： ， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为， 令，得， 直线与直线的交点坐标为， 故点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $